Bài giảng Lý thuyết mạch điện - Chương 7: Tần số phức - Nguyễn Trung Lập

=
V
VH 
Xét các trường hợp cụ thể: 
a. vi(t)= 5e-3t(cost-10o) (V) 
Vi(s)=5∠-10O và s=-3+j 
Hàm số mạch H(s) trở thành 
°−∠=++++++
++=+ 60,31,55
500j)200(-3j)20(-3j)(-3
10)j25(-3j)(-3 23H 
VO(s)=H(s).Vi(s)=1,55∠-60,3O. 5∠-10O=7,75∠-70,3O 
vO(t)= 7,75e-3t(cost-70,3o) (V) 
b. vi(t)= 10(cos10t+20o) (V) 
Vi(s)=10∠20O và s=0+j10 
Hàm số mạch H(s) trở thành 
°−∠=+++
+= 01,30,196
500200(j10)20(j10)(j10)
10)25(j10(j10) 23 1H 
VO(s)=H(s).Vi(s)=0,196∠-101,3O. 10∠20O=1,96∠-81,3O
 vO(t)= 1,96(cos10t-81,3o) (V) 
c. vi(t)= 10e-t (V) 
Vi(s)=10 và s=-1+j0=-1 
Hàm số mạch H(s) trở thành 
0,705
500200(-1)20(-1)(-1)
10)25(-1(-1) 23 =+++
+=H 
VO(s)=H(s).Vi(s)=0,705. 10=7,05 
 vO(t)= 7,05e-t (V) 
d. vi(t)= 10 (V) 
Vi(s)=10 và s=0 
Hàm số mạch H(s) trở thành 
0,5
500200(0)20(0)(0)
10)25(0(0) 23 =+++
+=H 
VO(s)=H(s).Vi(s)=0,5. 10=5 
 vO(t)= 5 (V) 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH 
________________________________________________________Chương 7 Tần số 
phức - 
7
7.4 HÀM SỐ MẠCH 
7.4.1 Cực và Zero của hàm số mạch 
Khái niệm hàm số mạch được mở rộng cho lãnh vực tần số và nó vẫn được xác định như 
trước đây (chương 5) 
01
n
n
01
m
m
asa.....sa
bsb.....sb(s) +++
+++==
)s(
)s(
D
NH 
(Xem lại chương 5 cách xác định N(s) và D(s)) 
Giả sử phương trình N(s)=0 có m nghiệm z1, z2,. . . zm. 
và phương trình D(s)=0 có n nghiệm p1, p2, . . . .pn, H(s) được viết lại 
)p-).....(sp-)(sp-(s
)z-).....(sz-)(sz-(sK(s)
n21
m21=H 
z1, z2,. . . zm được gọi là các Zero của H(s) 
p1, p2, . . . .pn được gọi là các Cực của H(s) 
Biểu diễn trên mặt phẳng s, với trục thưc σ và trục ảo jω 
Zero được ký hiệu bởi vòng tròn nhỏ (o) và Cực bởi dấu (x) 
Thí dụ 7.6 
 Vẽ giản đồ Cực và Zero của hàm số mạch 
(H 7.8) 
13)s2)(ss(s
2)2s1)(s6(s(s) 2
2
+++
+++=
4
H 
Viết lại H(s) 
3)s2)(ss(s
)j)(s11)(s6(s(s)
j2)(3j2
j1
−++++
−++++=H 
Các Zero: -1, -1-j, -1+j 
và các Cực: 0, -2, -2-j3 và -2+j3 
Giản đồ Cực và Zero của H(s) (H 7.8) 
Vài điểm cần lưu ý về Cực và Zero 
* Nếu N(s) hoặc D(s) có nghiệm lặp lại 
bậc r, ta nói H(s) có Zero hay Cực đa 
trùng bậc r 
* Nếu N(s) (hoặc D(s)) → 0 khi s→ ∞ ta nói H(s) có Zero hay (Cực) ở vô cực. 
* Các Zero và Cực ở vô cực không vẽ được trên mp s 
* Nếu n>m, H(s) có Zero bậc n-m ở vô cực 
* Nếu n<m, H(s) có Cực bậc m-n ở vô cực 
* Kể cả các Zero và Cực ở ∞ thì số Zero và Cực của H(s) bằng nhau. 
Như vậy, trong thí dụ 7.6 ta phải kể thêm một Zero ở vô cực 
Thí dụ 7.7 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH 
________________________________________________________Chương 7 Tần số 
phức - 
8
Vẽ giản đồ Cực và Zero của hàm số mạch 
(H 7.9) 
22
2
j)1sj)-1(s
3)7s(s(s) +++
+=
(
H 
Hàm số mạch này có: 
* Zero bậc 1 tại s=0 và Zero bậc 2 tại s=-3 
* Cực bậc 2 tại s=-1+j và -1-j 
* Ngoài ra khi s→ ∞ , H(s) =7/s → 0 nên H(s) 
có một Zero ở vô cực 
Giản đồ Cực và Zero của H(s) (H 7.9) 
7.4.2 Xác định đáp ứng tự nhiên từ 
hàm số mạch 
Nhắc lại, phương trình vi phân tổng quát của mạch điện là: 
xb
dt
dxb.............
dt
xdb
dt
xdbya
dt
dya..............
dt
yda
dt
yda 011m
1m
1mm
m
m011n
1n
1nn
n
n ++++=++++ −
−
−−
−
−
Phương trình đặc trưng tương ứng 
ansn+an-1sn-1+. . . . . + a1s+a0=0 có nghiệm s1, s2,. . . .sn
Đáp ứng tự nhiên tsn
ts
2
ts
1n
n21 ek.....ekek)t(y ++=
* Nghiệm của phương trình đặc trưng chính là nghiệm của D(s)=0, chính là các Cực 
của H(s) (Kể cả các cực đã đơn giản với Zero, nếu có) 
* Vậy khi biết Cực của H(s) ta có ngay dạng của đáp ứng tự nhiên. 
Và tính chất của đáp ứng tự nhiên có thể được phát biểu dựa trên vị trí của các Cực 
của H(s) trên mặt phẳng phức. 
7.4.3 Hàm ngã vào và hàm truyền (Driving point & Transfer function) 
7.4.3.1 Hàm ngã vào 
(H 7.10) 
Xét một lưỡng cực (H 7.10) 
Nếu kích thích là nguồn dòng điện thì đáp ứng là hiệu thế và Hàm ngã vào là tổng trở 
Z(s) 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH 
________________________________________________________Chương 7 Tần số 
phức - 
9
(s)
(s)
(s)
I
VZ = 
Nếu kích thích là nguồn hiệu thế thì đáp ứng là dòng điện và Hàm ngã vào là tổng dẫn 
Y(s). 
(s)
(s)
(s)
(s)
V
I
Z
Y == 1 
* Đối với một lưỡng cực, Z(s)=1/Y(s) nên Cực của hàm này là Zero của hàm kia nên 
đáp ứng tự nhiên có thể xác định bởi Cực hay Zero. 
* Một mạch không chứa nguồn phụ thuộc thì luôn luôn ổn đinh nên Cực (hoặc Zero) 
của Z(s) nằm ở 1/2 mp trái hở và chỉ những Cực bậc nhất mới nằm trên trục ảo. 
* Một mạch có chứa nguồn phụ thuộc thì điều kiện ổn đinh tùy thuộc giá trị của nguồn 
này. 
Thí dụ 7.8 
Tìm tổng trở vào của mạch và điều kiện của gm để mạch ổn định khi mạch được kích 
thích bởi một nguồn dòng điện (H 7.11a) 
 (a) (H 7.11) (b) 
Vẽ lại mạch ở lãnh vực s, với nguồn kích thích I1(s) (H 7.11b). 
 Viết KCL cho mạch 
2/s5
(s)(s)(s) 221 ++=
VII (1) 
Với (2) (s)g(s) 1m2 VI =
Và (3) (s)-(s)(s) 112 IVV =−
Thay (2) và (3) vào (1) 
mm1
1
2g)s5g(1
26s
(s)
(s)(s) ++
+==
I
VZ 
Đáp ứng tự nhiên xác định bởi Cực của Z(s) 
m
m
1 5g1
2g-p += 
p1 là số thực nên điều kiện để mạch ổn định là p1< 0 
-2gm(1+5gm)0. 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH 
________________________________________________________Chương 7 Tần số 
phức - 
10
7.4.3.2 Hàm truyền 
(H 7.12) 
Xét một tứ cực (H 7.12). Tùy theo tín hiệu vào và tín hiệu ra, hàm số mạch có thể là 
một trong bốn lượng sau: 
(s)
(s)
1
2
I
V , 
(s)
(s)
1
2
V
V , 
(s)
(s)
1
2
I
I , 
(s)
(s)
1
2
V
I 
* Trong mỗi trường hợp, hàm số mạch diễn tả quan hệ giữa dòng điện và hiệu thế ở 2 
cặp cực khác nhau và được gọi là hàm truyền. 
* Cực của hàm truyền cũng xác định tính chất của đáp ứng tự nhiên 
Với mạch ổn định H(s) không thể có Cực nằm trên 1/2 mặt phẳng phải hay có Cực đa trùng 
trên trục ảo. 
* Tổng quát 1/H(s) không là hàm truyền khác của cùng một mạch nên tính chất của 
đáp ứng tự nhiên không thể xác định bởi Zero của H(s). 
Thí dụ 7.9 
 Tìm hàm truyền 
(s)
(s)(s)
1
2
I
VH = của mạch (H 7.13 ) 
Xác định vị trí Cực của H(s) khi A biến thiên từ 0→∞. 
Giá trị A để mạch ổn định 
(H 7.13) 
Vẽ lại mạch ở lãnh vực tần số (H 7.14) 
(H 7.14) 
Viết KCL cho mạch 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH 
________________________________________________________Chương 7 Tần số 
phức - 
11
1
22222
1
A
1/21/ss/2
IVVVVV =−+++ (1) 
Hàm truyền 
2A)s(3s
s
(s)
(s)(s) 2
1
2
+−+== I
VH (2) 
Cực của H(s) tùy giá trị của A 
Nghiệm của D(s)=0 
s2+(3-A)s+2=0 (3) 
∆=(3-A)2-8=A2-6A+1 
∆≥0 khi 223A −≤ hay 223A +≥ 
Khi A biến thiên từ 0→∞ ta có các trường hợp sau: 
 * A=0 phương trình (3) trở thành s2-3s+2=0 có nghiệm s1,2=-1 & -2 
H(s) có 2 Cực phân biệt nằm trên phần âm của trục thực 
p1=-1 và p2=-2 
* 0<A<3-2 2 
- Khi A tăng từ 0 đến 3-2 2 phương trình (3) vẫn có 2 nghiệm âm phân biệt, các Cực 
p1và p2 nằm trên phần âm của trục thực và tiến lại gần nhau. 
 (H 7.15) 
* Khi A=3-2 2 =0,172 phương trình (3) có nghiệm kép, 
H(s) có một Cực bậc 2 tại p1= p2=- 2 
* 3-2 2<A<3+2 2 phương trình (3) có 2 nghiệm phức liên hiệp 
p1= σ1+jω1 và p2= σ1- jω1 Với p1. p2= σ12+ω12= ( 2 )2=2 
- Khi A thay đổi, quỹ tích nghiệm là vòng tròn tâm O bán kính 2 , nói cách khác Cực 
của H(s) di chuyển trên vòng tròn này 
* A=3 , phương trình (3) có 2 nghiệm ảo liên hiệp, ±j 2 p1và p2 nằm trên trục ảo 
* A=3+2 2=5,828, phương trình (3) có nghiệm kép, 
H(s) có một Cực bậc 2 tại p1= p2= 2 
* A>3+2 2 , phương trình (3) có 2 nghiệm thực dương, H(s) có các Cực nằm trên 
phần dương của trục thực 
* A→∞ một Cực →∞ và một Cực →0 
Tóm lại, qua biện luận trên ta rút ra được kết quả sau: 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH 
________________________________________________________Chương 7 Tần số 
phức - 
12
* A<3: Mạch ổn định 
* A=3: Mạch dao động với tần số ω = 2 rad/s 
* A>3 : Mạch dao động với biên độ tăng dần (bất ổn) 
(H 7.15) cho vị trí các Cực theo trị của A, gọi là hình quỹ tích nghiệm. 
BÀI TẬP 
--o0o-- 
7.1 Xác định đáp ứng ép v(t) của mạch (H P7.1). Cho vg1=4e-2tcos(t-45o) V và ig2=2e-tA 
7.2 Mạch (H P7.2). Xác định H(s)=Vo(s)/Vi(s). Suy ra đáp ứng ép vo(t) nếu vi=5cost V 
 (H P7.1) (H P7.2) 
7.3 Mạch (H P7.3). Xác định Z(s), tổng trở vào của mạch, và v(t). Cho vg=16e-4tcos2t V 
7.4 Mạch (H P7.4). Xác định H(s)=Vo(s)/Vi(s). Suy ra đáp ứng ép vo(t) nếu vi=e-tcost V 
 (H P7.3) (H P7.4) 
7.5 Mạch (H P7.5). 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
Chứng minh 
5
4
3
2
1
1
1
1
1(s)
Y
Z
Y
Z
YY
+
+
+
+= 
7.6 Dùng kết quả bài 7.5 để xác định tổng trở vào của 
mạch (H P7.6), sau đó xác định đáp ứng ép v(t). Cho ig=5e-2tcost (A) 
 (H P7.5)
MẠCH 
________________________________________________________Chương 7 Tần số 
phức - 
13
(H P7.6) 
7.7 Dùng định lý Thevenin xác định dòng điện i(t) trong mạch (H P7.7). 
Cho ig(t)=8e-2tcos4t A 
7.8 Mạch (H P7.8). Xác định H(s)=Vo(s)/Vi(s). Suy ra đáp ứng ép vo(t) nếu vi=e-tcost V 
 (H P7.7) (H P7.8) 
7.9 Mạch (H P7.9). Xác định H(s)=Vo(s)/Vi(s) và đáp ứng ép vo(t) nếu vi=2e-2tcost V 
(H P7.9) 
7.10 Mạch (H P7.10). Xác định H(s)=Vo(s)/Vi(s) và đáp ứng ép vo(t) nếu vi=6e-2tcost V 
(H P7.10) 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH 
________________________________________________________Chương 7 Tần số 
phức - 
14
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH