Bài giảng Lý thuyết mạch điện - Chương 5: Mạch điện bậc hai - Nguyễn Trung Lập

ờng hợp: 
c. C=1/5 F 
d. C=1/10 F 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH 
___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc 
hai - 
20 
(H P5.5) 
Giải 
Nguồn u(t) tương đương với khóa K đóng lúc t=0. Vậy đây là mạch bậc 2 không tích trữ 
năng lượng ban đầu nhưng có nguồn ngoài. 
Đáp ứng v(t) của mạch gồm vn và vf. 
β Xác định vf
Lúc mạch đạt trạng thái thường trực, cuộn dây tương đương mạch nối tắt và tụ điện tương 
đương mạch hở nên vf=6Ω.4A = 24 V 
β Xác định vn
Phương trình xác định vn 
 0dt
C
1R
dt
dL =++ ∫ iii (1) 
Thay L và R vào và lấy đạo hàm 
0
C
1
dt
d6
dt
d
2
2
=++ iii (2) 
κ C=(1/5) F 
Phương trình (2) thành 
05
dt
d6
dt
d
2
2
=++ iii (3) 
Phương trình đặc trưng và nghiệm 
s2 + 6 s + 5 = 0 ⇒ s1,2 = - 1 & - 5 
vn = Ae-t + Be-5t
v(t) = vn + vf = Ae-t + Be-5t + 24 (4) 
Tại t = 0, v(0) = 0 ⇒ A + B + 24= 0 (5) 
Tại t = 0-, dòng qua cuộn dây là 0, nên lúc t = 0+, dòng này cũng bằng 0, do đó dòng qua 
tụ là 4A (nguồn dòng) 
4)(0
dt
dC)(0C =+=+ vi 
⇒ 
C
4)(0
dt
d =+v (6) 
Lấy đạo hàm kết quả (4) ta được 
5tt 5BeAe
dt
)(d −− −−=tv 
5BA)(0
dt
d −−=+v (7) 
(6) và (7) cho 
-A - 5B =
C
4 = 20 (8) 
Giải hệ (4) và (8) 
A = - 25 và B = 1 
Tóm lại 
v(t) = - 25e-t + e-5t + 24 (V) 
κ C=(1/10) F 
Phương trình (2) thành 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH 
___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc 
hai - 
21
010
dt
d6
dt
d
2
2
=++ iii (3') 
Phương trình đặc trưng và nghiệm 
s2 + 6 s + 10 = 0 
s1,2 = - 3 ± j 
vn = e-3t(Acost+Bsint) 
v(t) = vn + vf = e-3t(Acost+Bsint) + 24 (4') 
Dùng các điều kiện đầu như trên, ta được 
Tại t = 0, v(0) = 0 = A + 24 (5') 
⇒ A = - 24 
Từ kết quả (4') ta được 
Bcost)AsinteBsint)Acost3e
dt
)(d 3tt +−++−= −− ((t 3v 
B3A)(0
dt
d +−=+v (7') 
(6) và (7') cho 
-3A +B = 40 (8') 
Thay A = - 24 vào (8') ta được 
B = - 32 
Tóm lại 
v(t) = e-3t(-24cost - 32sint) + 24 (V) 
5.6 Cho mạch điện (H P5.6a). Tìm v và i khi t>0 
 (a) (H P5.6) (b) 
Giải 
Nguồn u(t) tương đương với khóa K đóng lúc t=0. Vậy đây là mạch bậc 2 không tích trữ 
năng lượng ban đầu nhưng có nguồn ngoài. 
Đáp ứng v(t) của mạch gồm vn và vf và i(t) ạch gồm in và if. 
Lưu ý là các đáp ứng tự nhiên luôn có cùng dạng. Phần khác nhau trong các đáp ứng là các 
hằng số và đáp ứng ép. 
β Xác định các đáp ứng ép 
Từ mạch tương đương khi đạt trạng thái thường trực, ta tính được 
vf = 3Ω.2A = 6 V và if = 2A 
β Xác định các đáp tự nhiên 
Viết KCL cho mạch 
2
dt
d
20
1 =+ iv (1) 
Viết KVL cho vòng bên phải 
v-ii =+ 2
dt
d 4 (2) 
Từ (1) suy ra 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
dt
d
40
1 vi −= và 
dt
d
40
1
dt
d
2
2 vi −= 
MẠCH 
___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc 
hai - 
22 
Thay vào (2) và rút gọn 
12020
dt
d4
dt
d
2
2
=++ vvv (3) 
Phương trình đặc trưng và nghiệm 
s2 + 4 s + 20 = 0 
s1,2 = - 2 ± j4 
vn = e-2t(Acos4t+Bsin4t) 
v(t) = vn + vf = e-2t(Acos4t+Bsin4t) + 6 (4) 
i(t) = in + if = e-2t(Ccos4t+Dsin4t) + 2 (4') 
β Xác định A và B 
Tại t = 0, v(0) = 0 = A + 6 (5') 
⇒ A = - 6 
Tại t = 0-, dòng qua cuộn dây là 0, nên lúc t = 0+, dòng này cũng bằng 0, do đó dòng qua tụ là 
2A (nguồn) 
2)(0
dt
dC)(0C =+=+ vi (6) 
Từ kết quả (4) ta được 
4Bcos4t)4Asin4teBsin4t)Acos4t2e
dt
)(d 2tt +−++−= −− ((t 2v 
 4B2A)(0
dt
d +−=+v (7) 
(6) và (7) cho 
-2A +4B = 40 (8) 
Thay A = - 6 vào (8) ta được 
B = 7 
Tóm lại 
v(t) = e-2t(-6cost+7sint) + 6 (V) 
β Xác định C và D 
i(0) = 0 ⇒ C+2 = 0 ⇒ C = -2 
Tại t = 0-, dòng qua cuộn dây là 0, nên lúc t = 0+, dòng này cũng bằng 0, do đó dòng qua tụ là 
2A (nguồn) tạo ra điện thế 2V ở 2 đầu điện trở 1Ω.Đây cũng chính là hiệu thế 2 đầu cuộn dây 
tại t = 0+ 
2)(0
dt
dL)(0L =+=+ iv (6') 
Từ (4') ta có 
4Dcos4t)4Csin4teDsin4t)Ccos4t2e
dt
)(d 2tt +−++−= −− ((t 2i 
 4D2C)(0
dt
d +−=+i (7') 
(6') và (7') cho 
-2C +4D = 2 (8') 
Thay C = - 2 vào (8') ta được 
D = -
2
1 
Tóm lại 
i(t) = e-2t(-2cost - 
2
1 sint) + 2 (A) 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH 
___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc 
hai - 
23
5.7 Mạch (H P5.7) đạt trạng thái thường trực ở t=0- với khóa K ở vị trí 1. Chuyển K sang vị trí 
2, thời điểm t=0. Xác định i khi t>0 
(H P5.7) 
Giải 
Khi t>0, khóa K ở vị trí 2, mạch không chứa nguồn ngoài nhưng có tích trữ năng lượng. 
Mạch tương đương được vẽ lại ở (H P5.7a) 
 (H P5.7a) (H P5.7b) 
Viết phương trình vòng cho mạch 
022
dt
d
1
1 =−+ iii (1) 
02
dt
d5 1 =−−+ iii (2) 
Từ (2) suy ra 
)(
dt
d5
2
1
1
iii += và )( 2
2
1
dt
d
dt
d5
2
1
dt
d iii += 
Thay các trị này vào (1), sau khi rút gọn 
06
dt
d7
dt
d
2
2
=++ iii (3) 
Phương trình đặc trưng và nghiệm 
s2 + 7s + 6 = 0 ⇒ s1,2 = - 1 & - 6 
i = Ae-t + Be-6t (4) 
Xác định A và B 
Từ mạch tương đương ở t = 0- (H P5.7b), ta có 
Điện trở tương đương của mạch 
Rtđ= 2Ω+(2Ω.3Ω/2Ω+3Ω) = 3,2Ω 
i1(0-) = 40V/3,2Ω = 12,5 A 
và i(0-) = 12,5A Ω+Ω
Ω
32
2 = 5 A 
i(0+) = i(0-) =5 
⇒ A+B = 5 (5) 
Từ (2) suy ra 
)(02()(05)(0
dt
d
1 +++−=+ iii = - 25 + 25 = 0 
Lấy đạo hàm kết quả (4) và thay điều kiện này vào 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH 
___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc 
hai - 
24 
-A - 6B = 0 (6) 
Giải hệ (5) và (6) 
A = 6 và B = - 1 
Tóm lại 
i(t)= 6e-t - e-6t (A) 
5.8 Mạch (H P5.8) đạt trạng thái thường trực ở t=0. Xác định v khi t>0 
(H P5.8) 
Giải 
Khi t>0, khóa K mở, ta có mạch không chứa nguồn ngoài 
Viết KCL cho mạch 
0
dt
d
6
1
3
11 =+− vvv (1) 
0
dt
d
6
1
23
1 =++− vvvv (2) 
Từ (2) suy ra 
)(
dt
d5
2
1
1
vvv += và )( 2
2
1
dt
d
dt
d5
2
1
dt
d vvv += 
Thay các trị này vào (1), sau khi rút gọn 
06
dt
d7
dt
d
2
2
=++ vvv (3) 
Phương trình đặc trưng và nghiệm 
s2 + 7s + 6 = 0 ⇒ s1,2 = - 1 & - 6 
v = Ae-t + Be-6t (4) 
Xác định A và B 
Từ mạch tương đương ở t = 0- ((H P5.8), trong đó các tụ là mạch hở) ta có 
Điện trở tương đương của mạch 
Rtđ= 3Ω(3Ω+2Ω)/(3Ω+2Ω+3Ω) = (15/8)Ω 
v1(0-) = 20A(15/8Ω) = 75/2 V 
và v0-) = (75/2V) Ω+Ω
Ω
32
2 = 15 V 
v(0+) = v(0-) = 15 
⇒ A+B = 15 (5) 
Từ (2) suy ra 
 )(02)(05)(0
dt
d
1 +++−=+ vvv = - 75 + 75 = 0 
Lấy đạo hàm kết quả (4) và thay điều kiện này vào 
-A - 6B = 0 (6) 
Giải hệ (5) và (6) 
A = 18 và B = - 3 
Tóm lại 
v(t)= 18e-t - 3e-6t (V) 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH 
___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc 
hai - 
25
5.9 Mạch (H P5.9) đạt trạng thái thường trực ở t=0- Với khóa K ở 1. Tại t=0 bậc K sang vị trí 
2. Xác định i khi t>0 
(H P5.9) 
Giải 
Khi t>0, khóa K ở vị trí 2, ta có mạch không chứa nguồn ngoài và đã tích trữ năng lượng ban 
đầu. Đáp ứng chính là đáp ứng tự nhiên. 
Mạch tương đương ở t>0 trở thành mạch (H P5.9a) và được vẽ lại (H P5.9b) 
 (H P5.9a) (H P5.9b) 
Phương trình mạch điện 
0
5dt
d
20
1 =++ vvi (1) 
Với v = 5
dt
d i và 2dt
d5
dt
d iv 2= 
Thay vào (1) 
 04
dt
d4
dt
d
2 =++ iii
2
Phương trình đặc trưng và nghiệm 
s2 + 4 s + 4 = 0 (3) 
s1,2 = -2 (Nghiệm kép) 
i(t) có dạng 
i(t) = (At+B)e-2t (4) 
Xác định A và B 
Từ mạch tương đương ở t = 0- (H P5.9c) 
(H P5.9c) 
i(0-) = 6A.6Ω /6Ω+3Ω = 4 A và 
Từ kết quả (4) 
i(0+) = i(0-) = B = 4 ⇒ B = 4 
Mặt khác 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH 
___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc 
hai - 
26 
v(0-) = vba=- 6A.[3Ω + (6Ω.3Ω/6Ω+3Ω) = -30 V 
]2)eB)((At5[Ae
dt
(t)dL(t) 2t2t −− −++== iv 
 2B)]-[A)(0
dt
dL(0) =+= iv 
v(0+) = v(0-) = -30 =5(A-2B) = 5A-10B 
Với B = 4 ta được A = 2 
Tóm lại 
i(t)= (2t+4)e-2t (A) 
5.10 Mạch (H P5.10) đạt trạng thái thường trực ở t=0- Xác định i khi t>0 
(H P5.10) 
Giải 
Khi t>0, khóa K hở, ta có mạch không chứa nguồn ngoài và đã tích trữ năng lượng ban đầu. 
Đáp ứng chính là đáp ứng tự nhiên. 
Mạch tương đương ở t>0 trở thành mạch (H P5.10a) và được vẽ lại (H P5.10b), trong đó 
nhóm điện trở của mạch tương đương một điện trở duy nhất = 10Ω 
 (H P5.10a) (H P5.10b) (H P5.10c) 
Phương trình mạch điện 
050
dt
d10
dt
d
2 =++ iii
2
 (1) 
Phương trình đặc trưng và nghiệm 
s2 + 10 s + 50 = 0 (2) 
s1,2 = - 5 ± j5 
i(t) = e-5t(Acos5t+Bsin5t) (3) 
β Xác định A và B 
Mạch tương đương tại t = 0- được vẽ ở (H P5.10c) 
 Rtđ= 3Ω + (6Ω.30Ω /6Ω+30Ω) + 2Ω = 10Ω 
i(0-) = 
tâR
50V = 5 (A) 
Từ kết quả (3) 
i(0+) = i(0-) = 5 ⇒ A = 5 
Ta lại có 
vC(0-) = 50 - 3i(0-) - 6i1(0-) 
Trong đó 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH 
___________________________________________________ Chương5 Mạch điện bậc 
hai - 
27
A
6
5
6
15.
6246
6)0)(01 ==Ω+Ω+Ω
Ω−=− i(i 
 vC(0-) = 50V - 3Ω.5A - 6Ω (5/6A) =30 V (4) 
Tại t = 0+ 
⇒ )(010)(0
dt
d)(0C +++=+ iiv (5) 
Từ kết quả (3) cho 
5Bcos5t)(-5Asin5teBsin5t)(Acos5t5e
dt
d 5t5t +++−= −−i 
⇒ )(0
dt
d +i =-5A + 5B (6) 
(5) và (6) cho 
-5A +5B + 10x5 = 30 (7) 
Thay A = 5 vào (7) ta được 
B = 1 
Tóm lại 
i(t) = e-5t(5cost +sint) (A) 
5.11 Mạch (H P5.11) đạt trạng thái thường trực ở t=0- Xác định i khi t>0 
5.12 Mạch (H P5.12) đạt trạng thái thường trực ở t=0- Xác định v1 và v2 khi t>0 
 (H P5.11) (H P5.12) 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH