Bài giảng Lý thuyết mạch điện - Chương 4: Mạch điện đơn giản RL và RC - Nguyễn Trung Lập

i tắt (H 4.10b). 
Điện trở tương đương của mạch: Rtđ=4Ω+ 84
4.8
+ Ω = 3
20Ω 
i1f = 2
3
20/3
10 = (A) 
 ⇒ i2f = 
2
1 (A) 
Vậy i2(t)=Ae-10t + 
2
1 (A) và A được xác định từ điều kiện đầu như trước đây. 
Thí dụ 4.3 
Tìm i(t) của mạch (H 4.11) khi t>0, cho v(0)=24 V 
(H 4.11) 
Ta có 
i = in + if
’ Để xác định in ta lưu ý nó có cùng dạng của hiệu thế v ở 2 đầu tụ điện. 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH 
___________________________________________Chương 4 Mạch điện đơn giản- RL 
& RC - 
10 
Thật vậy, tất cả các đáp ứng tự nhiên khác nhau trong một mạch thì liên hệ với nhau 
qua các phép toán cộng, trừ, vi tích phân; các phép toán này không làm thay đổi giá trị trên 
mũ mà nó chỉ làm thay đổi các hệ số của hàm mũ. 
Thời hằng của mạch là: 
τ =RC=10x0,02=0,2 s 
in =Ae-5t 
’ Ở trạng thái thường trực, tụ điện tương đương mach hở: 
if = i = 1A 
Vậy i(t) =Ae-5t + 1 (A) 
’ Để xác định A, ta phải xác định i(0+) 
Viết phương trình cho vòng bên phải 
-4 i(0+) +6[1- i(0+)] +24 = 0 ⇒ i(0+) = 3 A 
3=A+1 ⇒ A=2 
Vậy i(t) =2e-5t + 1 (A) 
Thí dụ 4.4 
Xác định i(t) và v(t) trong mạch (H 4.12a) khi t>0. Biết rằng mạch đạt trạng thái 
thường trực ở t=0- với khóa K hở. 
(H 4.12a) 
(H 4.12b) 
Ở trạng thái thường trực (t=0-), tụ điện tương mạch hở và cuộn dây là mạch nôi tắt. 
Hiệu thế 2 đầu tụ là hiệu thế 2 đầu điện trở 20Ω và dòng điện qua cuộn dây chính là dòng qua 
điện trở 15Ω 
Dùng cầu chia dòng điện xác định dễ dàng các giá trị này: 
i(0-)=2A và v(0-) = 60 V 
Khi đóng khóa K, ta đã nối tắt 2 nút a và b (H 4.12b). 
Mạch chia thành 2 phần độc lập với nhau, mỗi phần có thể được giải riêng. 
* Phần bên trái ab chứa cuộn dây là mạch không chứa nguồn: 
i(t) = Ae-15t (A) 
Với i(0-) = i(0-)=2 ⇒ A=2 
i(t) = 2e-15t (A) 
* Phần bên phải ab là mạch có chứa nguồn 6A và tụ .15F 
Hiệu thế v(t) có thể xác định dễ dàng bằng phương pháp ngắn gọn: 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH 
___________________________________________Chương 4 Mạch điện đơn giản- RL 
& RC - 
11
v(t) = 20e-t+40 (V) 
4.4 VÀI TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT 
4.4.1 Đáp ứng đối với hàm nấc 
Xét một mạch không chứa năng lượng ban đầu, kích thích bởi một nguồn là hàm nấc 
đơn vị. Đây là một trường hợp đặc biệt quan trọng trong thực tế. 
Mạch (H 4.13), trong đó vg=u(t) 
(H 4.13) 
Ap dụng KCL cho mạch 
0
R
u(t)
dt
dC =−+ vv 
Hay 
u(t)
RCRCdt
d 1=+ vv 
* Khi t < 0, u(t)=0, phương trình trở thành: 
0
RCdt
d =+ vv và có nghiệm là: v(t)=Ae-t/RC
Điều kiện đầu v(0-) = 0 ⇒ A = 0 và v(t)=0 
* Khi t ≥ 0 , u(t) = 1, pt thành: 
RCRCdt
d 1=+ vv 
v(t) = vn+vf
vf được xác định từ mạch ở trạng thái thường trực: vf = vg=u(t) = 1 V 
v(t)=Ae-t/RC + 1 
Với v(0+) = v(0-) = 0 ⇒ A = -1 
v(t)=1- e-t/RC 
Tóm lại 
⎩⎨
⎧
≥−=
<=
− 0t,e1(t)
0t,0(t)
t/RCv
v
Hay v(t)=(1- e-t/RC)u(t) (V) 
Thí dụ 4.5 
Mạch (H 4.14). Xác định vo(t) 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH 
___________________________________________Chương 4 Mạch điện đơn giản- RL 
& RC - 
12 
(H 4.14) 
Viết KCL ở ngã vào đảo của OPAMP: 
0
dt
dC
R
oi =+ vv 
Hay 
RCdt
d io vv −= 
Lấy tích phân từ pt 0+ đến t 
vo(t) = ∫ + ++− t0 oi )(0dtRC1 vv 
Ta thấy vo(t) tỉ lệ với tích phân của vi(t), nếu vo(0+)=0. 
Mạch này có tên là mạch tích phân. 
Xét trường hợp vi(t) = Vu(t) 
vo(t) = ∫ + ++− t0 o )(0u(t)dtRCV v 
Tụ điện không tích điện ban đầu nên vo(0+) = 0 
và vo(t) = tu(t)
RC
V− 
Đây chính là hàm dốc với độ dốc -V/RC. Giản đồ vo(t) được vẽ ở (H 4.15) 
(H 4.15) 
Thí dụ 4.6 
Xác định v(t) trong mạch (H 4.16a). Với nguồn kích thích ig(t) có dạng sóng như (H 
4.16b) 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH 
___________________________________________Chương 4 Mạch điện đơn giản- RL 
& RC - 
13
 (a) (b) 
 (H 4.16) 
Mạch không tích trữ năng lượng ban đầu nên i(0-)=0; ở t=0 nguồn dòng điện 10A áp 
vào mạch, cho đến lúc t=1 s thì nguồn này bị ngắt (giống như mở khóa K) 
Tóm lại, ta có thể hình dung mạch hoạt động như sau: 
* 0<t<1, mạch có nguồn ngoài i=10A và không tích trữ năng lượng ban đầu. 
* t ≥ 1, mạch không có nguồn ngoài và cuộn dây đã tích trữ năng lượng ứng với dòng 
i(1-) 
Lời giải của bài toán gồm 2 phần: 
* Khi 0<t<1, tìm đáp ứng đối với hàm nấc 10 A 
v(t) = vn +vf
vn = Ae-(Rtđ/L)t =Ae-5t/5 = Ae-t
vf = 2(10
23
3
+ )= 12 V (nối tắt cuộn dây, dùng đl Ohm và cầu phân thế) 
v(t) = Ae-t +12 
 i(t) là dòng điện qua điện trở 2Ω cũng là dòng điện qua cuộn dây, dòng điện này không thay 
đổi tức thời nên hiệu thế qua điện trở 2Ω cũng không thay đổi tức thời 
i(0+) =i(0-) =0 nên v(0+) =v(0-) =0 
suy ra A = -12 
Tóm lại 
v(t) = 0 khi t < 0 
v(t) = 12(1-e-t ) khi 0 ≤ t ≤ 1 
* Khi t > 1, mạch không chứa nguồn nhưng có tích trữ năng lượng ban đầu, ta tìm đáp ứng tự 
nhiên của mạch: 
v(t) = Be-(t-1) 
Ở t=1- , v(1-) = 12(1-e-1 ) 
Ở t=1+ , v(1+) = B 
Do tính liên tục: v(1+) = v(1-) ⇒ B = 12(1-e-1 ) 
và lời giải cuối cùng: 
v(t) = 12(1-e-1 )e-(t-1) khi t>1 
Lời giải cho mọi t: 
v(t) = 12(1-e-t )[u(t)-u(t-1)] + 12(1-e-1 )e-(t-1)u(t-1). 
Giản đồ v(t) cho ở (H 4.17) 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH 
___________________________________________Chương 4 Mạch điện đơn giản- RL 
& RC - 
14 
(H 14.7) 
4.4.2 Áp dụng định lý chồng chất 
Với các mạch có chứa 2 hay nhiều nguồn độc lập, chúng ta có thể dùng định lý chồng 
chất để giải 
Trở lại thí dụ 4.6. 
Nguồn dòng ig trong mạch có thể viết lại: 
ig = 10u(t) - 10u(t-1) 
Nguồn này có thể xem như gồm 2 nguồn mắc song song i 1 và i2
ig = i 1 + i2 với i 1 = 10 u(t) và i2 = -10u(t-1) (H 4.18) 
(H 4.18) 
Gọi v1 và v2 lần lượt là các đáp ứng đối với từng nguồn i 1 và i2 
Trong phần trước ta đã xác định được: 
v1(t) = 12(1-e-t )u(t) 
Dòng i2 có dạng đảo của i 1 và trễ 1s.Vậy v2(t) có được bằng cách nhân v1(t) với -1 và 
thay t bởi (t-1): 
v2(t) = -12(1-e-(t-1) )u(t-1) 
Và kết quả cuối cùng: 
v(t) = v1(t) + v2(t) = 12(1-e-t )u(t) -12(1-e-(t-1) )u(t-1) 
Kết quả này có vẻ như khác với kết quả trước. Tuy nhiên sinh viên có thể chứng minh 
hai kết quả chỉ là một. 
Thí dụ 4.7 
Mạch (H 4.19). Xác định hiệu thế v(t) ở 2 đầu tụ khi t>0. Biết rằng tụ đã nạp điện ban 
đầu với hiệu thế V0
(H 4.19) 
Ap dụng KVL cho mắt lưới bên trái: 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH 
___________________________________________Chương 4 Mạch điện đơn giản- RL 
& RC - 
15
121021 IRVVdtC
1)R(R −=+++ ∫ ii 
Nhân 2 vế phương trình cho hằng số K 
)121021 (KIRKVKVdtKC
1)KR(R −=+++ ∫ ii 
Biểu thức cho thấy đáp ứng dòng điện i trở thành Ki khi các nguồn độc lập (V1& I1) và 
hiệu thế ban đầu của tụ (V0) nhân với K. Kết quả này có thể mở rộng cho mạch tuyến tính 
chứa một hoặc nhiều tụ điện (hay cuộn dây). Hiệu thế ban đầu của tụ (hay dòng điện ban đầu 
của cuộn dây) cũng được xem như một nguồn độc lập. 
Ap dụng định lý chồng chất, ta xác định v là tổng của v1, v2 và v3 lần lượt là đáp ứng 
riêng rẽ của V1, I1 và V0. Các mạch điện tương ứng là (H 4.20a), (H 4.20b) và (H 4.20c) 
 (a) (b) (c) 
 (H 4.20) 
Áp dụng phương pháp giải ngắn gọn, ta được các kết quả: 
v1=V1(1-e-t/(R1+R2)C) 
v2=-R2I1(1-e-t/(R1+R2)C) 
v3=V0e-t/(R1+R2)C
Trong đó v1 và v2 là đáp ứng của mạch có chứa nguồn DC và v3 là đáp ứng của mạch không 
chứa nguồn. 
v(t) = v1+ v2+ v3 = V1(1-e-t/R1+R2)C) - R2I1(1-e-t/R1+R2)C)+ V0e-t/R1+R2)C
 = V1- R2I1+(R2I1- V1+ V0)e-t/R1+R2)C
Có thể thấy ngay đáp ứng gồm 2 phần: đáp ứng ép và đáp ứng tự nhiên 
vf = V1- R2I1
và vn=(R2I1- V1+ V0)e-t/R1+R2)C
Các kết quả này cũng có thể kiểm chứng như sau: 
Từ (H 4.20a) và (H 4.20b) ta có ngay: 
v1f = V1
v2f = - R2I1 
Và đáp ứng tự nhiên, xác định từ mạch không chứa nguồn: 
vn =A e-t/R1+R2)C A là hằng số tích phân 
v(t)= V1- R2I1+Ae-t/R1+R2)C
Với v(0)=V0 ⇒ A= R2I1- V1+V0
Ta được lại kết quả trên. 
BÀI TẬP 
--o0o-- 
4.1 Mạch (H P4.1). Khóa K mở ở t=0 và i(0-)=2 (A). Xác định v khi t>0 
4.2 Mạch (H P4.2). Xác định v khi t>0, cho i(0+)=1 (A) 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH 
___________________________________________Chương 4 Mạch điện đơn giản- RL 
& RC - 
16 
 (H P4.1) (H P4.2) 
4.3 Mạch (H P4.3) đạt trạng thái thường trực ở t=0- với khóa K ở vị trí 1. Chuyển K sang vị 
trí 2, thời điểm t=0. Xác định v khi t>0 
(H P4.3) 
4.4 Mạch (H P4.4) đạt trạng thái thường trực ở t=0- với khóa K đóng. Xác định i khi t>0 
(H P4.4) 
4.5 Mạch (H P4.5) đạt trạng thái thường trực ở t=0- với khóa K đóng. Xác định i và v khi t>0 
4.6 Mạch (H P4.6) đạt trạng thái thường trực ở t=0- với khóa K đóng. Xác định v khi t>0 
 (H P4.5) (H P4.6) 
4.7 Mạch (H P4.7) đạt trạng thái thường trực ở t=0- với khóa K ở vị trí 1. Chuyển K sang vị trí 
2, thời điểm t=0. 
a. Xác định i khi t>0 
b. Làm lại câu a, cuộn dây 2H được thay bằng tụ điện C=1/16 F 
 (H P4.7) (H P4.8) 
4.8 Mạch (H P4.8). 
a. Xác định v khi t>0, cho i(0+)=1 (A) 
 b. Làm lại bài toán, thay nguồn 18V bởi nguồn 6e-4t (V) và mạch không tích trử năng 
lượng ban đầu 
4.9 Mạch (H P4.9) đạt trạng thái thường trực ở t=0- với khóa K mở. Xác định i và v khi t>0 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH 
___________________________________________Chương 4 Mạch điện đơn giản- RL 
& RC - 
17
(H P4.9) 
4.10 Mạch (H P4.10). Xác định vo, cho vi=5e-tu(t) (V) và mạch không tích năng lượng ban đầu 
(H P4.10) 
___________________________________________________________________________ 
Nguyễn Trung Lập LÝ THUYẾT 
MẠCH