Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 8: Hệ thống điều khiển phi tuyển - Huỳnh Thái Hoàng ‘

 mô tả của khâu relay 3 vị trí là: 
‘ Điều kiện để trong hệ
thống có dao động là đường 
cong Nyquist G(jω) và
đường đặc tính −1/N(M) 
phải cắt nhau. Điều này 
xảy ra khi: 
)(
)(
1
πω−≤− jGMN
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 61
Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến û ù á ä ä ä á - Thí dụ 2ï
‘ Tần số cắt pha của G(jω) (xem cách tính ở thí dụ 1) 
sec)/rad( 58.1=−πω
‘ Để dao động xảy ra ta phải có điều kiện: 
82.1
)58.12(1)58.12.0(158.1
10)(
)(
1
22
=×+×+=≤− −πωjGMN
55.0)( ≥⇒ MN (*)
‘ Theo bất đẳng thức Cauchy
D
V
M
D
M
D
D
V
M
D
M
VMN mmm πππ
21214)(
2
2
22
2
2
=






 −+

≤−=
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 62
Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến û ù á ä ä ä á - Thí dụ 2ï
‘ Do đó điều kiện (*) được thỏa mãn khi:
55.02 ≥
D
Vm
π 864.0≥⇔ D
Vm
‘ Vậy điều kiện để trong hệ có dao động tự kích là: 864.0≥
D
Vm
‘ Biên độ dao động là nghiệm của phương trình:
82.1)(
)(
1 ==− −πωjGMN 55.0)( =⇔ MN 55.01
4
2
2
=−⇔
M
D
M
Vm
π
‘ Khi Vm=6, D=0.1, giải phương trình trên ta được: 90.13=M
‘ Vậy dao động trong hệ là: )58.1sin(90.13)( tty =
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 63
Phương pháp Lyapunovù
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 64
Phương pháp Lyapunovù
‘ Phương pháp Lyapunov cung cấp điều kiện đủ để đánh giá tính ổn 
định của hệ phi tuyến.
‘ Có thể áp dụng cho hệ phi tuyến bậc cao bất kỳ.
‘ Có thể dùng phương pháp Lyapunov để thiết kế các bộ điều khiển 
phi tuyến. 
‘ Hiện nay phương pháp Lyapunov là phương pháp được sử dụng 
rộng rãi nhất để phân tích và thiết kế hệ phi tuyến.
Giới thiệú ä
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 65
Điểm cân bằng của hệ phi tuyếnå â è û ä á
‘ Một điểm trạng thái xe được gọi là điểm cân bằng nếu như hệ
đang ở trạng thái xe và không có tác động nào từ bên ngoài thì hệ
sẽ nằm nguyên tại đó. 
‘ Dễ thấy điểm cân bằng phải là nghiệm của phương trình: 
0== == 0,),( uu exxxfx&
‘ Hệ phi tuyến có thể có nhiều điểm cân bằng hoặc không có điểm 
cân bằng nào. Điều này hoàn toàn khác so với hệ tuyến tính , hệ
tuyến tính luôn luôn có 1 điểm cân bằng là xe = 0.
),( uxfx =&
‘ Xét hệ phi tuyến mô tả bởi phương trình trạng thái sau: 
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 66
Điểm cân bằng của hệ phi tuyến å â è û ä á – Thí dụ
‘ Thành lập PTTT. Đặt: 


=
=
)()(
)()(
2
1
ttx
ttx
θ
θ
&
‘ PTTT mô tả hệ con lắc là: ))(),(()( tutt xfx =&




+−−= )(1)()(sin
)(
),(
2221
2
tu
ml
tx
ml
Btx
l
g
tx
uxftrong đó:
‘ Xét hệ con lắc mô tả bởi PTVP: 
m
u
lθ
+−
0
)(sin)()(2 tumgltBtml =++ θθθ &&&
‘ Xác định các điểm cân bằng (nếu có) 
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 67
Điểm cân bằng của hệ phi tuyến å â è û ä á – Thí dụ




+−−= )(1)()(sin
)(
),(
2221
2
tu
ml
tx
ml
Btx
l
g
tx
uxf
‘ Điểm cân bằng phải là nghiệm của phương trình: 
0== == 0,),( uu exxxfx&



=−−
=
0sin
0
221
2
ee
e
x
ml
Bx
l
g
x
⇒


=
=
πkx
x
e
e
1
2 0⇒
‘ Kết luận: Hệ con lắc có 
vô số điểm cân bằng:


=
0
πk
ex


 +=
0
)12( πk
ex


=
0
2 πk
ex
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 68
Ổn định tại điểm cân bằngÅ ï å â è
‘ Định nghĩa: Một hệ thống được gọi là ổn định tại điểm cân bằng
xe nếu như có một tác động tức thời đánh bật hệ ra khỏi xe và đưa 
đến điểm được x0 thuộc lân cận nào đó của xe thì sau đó hệ có khả
năng tự quay được về điểm cân bằng xe ban đầu.
Chú ý: tính ổn định của hệ phi tuyến chỉ có nghĩa khi đi cùng với 
điểm cân bằng. Có thể hệ ổn định tại điểm cân bằng này nhưng 
không ổn định tại điểm cân bằng khác.
Điểm cân bằng ổn định Điểm cân bằng không ổn định
‘ Thí dụ:
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 69
ỔÅn định Lyapunov
‘ Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả bởi PTTT:
0),( == uuxfx&
Giả sử hệ thống có điểm cân bằng xe = 0.
(1)
‘ Hệ thống được gọi là ổn định 
Lyapunov tại điểm cân bằng
xe = 0 nếu với ε > 0 bất kỳ
bao giờ cũng tồn tại δ phụ
thuộc ε sao cho nghiệm x(t)
của phương trình (1) với điều 
kiện đầu x(0) thỏa mãn:
0,)( )0( ≥∀<⇒< tt εδ xx
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 70
ỔÅn định tiệäm cậän Lyapunov
‘ Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả bởi PTTT:
0),( == uuxfx&
Giả sử hệ thống có điểm cân bằng xe = 0.
(1)
‘ Hệ thống được gọi là ổn định 
tiệm cận Lyapunov tại điểm 
cân bằng xe = 0 nếu với ε > 0
bất kỳ bao giờ cũng tồn tại δ
phụ thuộc ε sao cho nghiệm 
x(t) của phương trình (1) với 
điều kiện đầu x(0) thỏa mãn:
0)(lim )0(
t
=⇒< ∞→ txx δ
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 71
So sáùnh ổån định Lyapunov vàø ổån định tiệäm cậän Lyapunov
Ổn định Lyapunov Ổn định tiệm cận Lyapunov
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 72
Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunovù á ù
‘ Cho hệ phi tuyến phương trình trạng thái:
),( uxfx =& (1)
‘ Định lý:
Ž Nếu hệ thống tuyến tính hóa (2) ổn định thì hệ phi tuyến (1) ổn 
định tiệm cận tại điểm cân bằng xe.
Ž Nếu hệ thống tuyến tính hóa (2) không ổn định thì hệ phi tuyến 
(1) không ổn định tại điểm cân bằng xe.
Ž Nếu hệ thống tuyến tính hóa (2) ở biên giới ổn định thì không 
kết luận được gì về tính ổn định của hệ phi tuyến tại điểm cân 
bằng xe.
Giả sử xung quanh điểm cân bằng xe , hệ thống (1) có thể tuyến 
tính hóa về dạng:
u~~~ BxAx +=& (2)
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 73
Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov ù á ù – Thí dụ
‘ Xét tính ổn định của hệ thống tại điểm cân bằng:
))(),(()( tutt xfx =&




+−−= )(1)()(sin
)(
),(
2221
2
tu
ml
tx
ml
Btx
l
g
tx
uxf
trong đó:
‘ Xét hệ con lắc mô tả bởi PTTT: 
m
u
lθ
+−
0
(a) (b)

=
0
0
ex 

=
0
π
ex
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 74
Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov ù á ù – Thí dụ (tt)




+−−= )(1)()(sin
)(
),(
2221
2
tu
ml
tx
ml
Btx
l
g
tx
uxf
0
)0(1
1
11 =∂
∂=
== ux
fa
0,x
l
gtx
l
g
x
fa
uu
−=−=∂
∂=
==== )0(
1
)0(1
2
21 )(cos
0,x0,x
1
)0(2
1
12 =∂
∂=
== ux
fa
0,x
2
)0(2
2
22 ml
B
x
fa
u
−=∂
∂=
==0,x
‘ Mô hình tuyến tính quanh điểm cân bằng [ ]Te 00=x
u~~~ BxAx +=&




−−= 2
10
ml
B
l
gA⇒
⇒ PTĐT 01det)det(
2
=



+
−
=−
ml
Bs
l
g
s
sI A 02
2 =++
l
gs
ml
Bs⇔
Kết luận: Hệ thống ổn định (theo hệ quả tiêu chuẩn Hurwitz)
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 75
Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov ù á ù – Thí dụ (tt)




+−−= )(1)()(sin
)(
),(
2221
2
tu
ml
tx
ml
Btx
l
g
tx
uxf
0
)0
0
(1
1
11 =∂
∂=
=

= ux
fa
,x
π
l
gtx
l
g
x
fa
uu
=−=∂
∂=
=

==

= )00(
1
)0
0
(1
2
21 )(cos
,x,x
ππ
1
)0
0
(2
1
12 =∂
∂=
=

= ux
fa
,x
π
2
)0
0
(2
2
22 ml
B
x
fa
u
−=∂
∂=
=

= ,x π
‘ Mô hình tuyến tính quanh điểm cân bằng [ ]Te 0π=x
u~~~ BxAx +=&




−= 2
10
ml
B
l
gA⇒
⇒ PTĐT 01det)det(
2
=



+−
−
=−
ml
Bs
l
g
s
sI A 02
2 =−+
l
gs
ml
Bs⇔
Kết luận: Hệ thống không ổn định (PTĐT không thỏa điều kiện cần)
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 76
Phương pháp trực tiếp Lyapunov ù ï á – Định lý ổn địnhù å
Nếu tồn tại hàm V(x) sao cho:
ii) 0)0( =V
i) xx ∀≥ ,0)(V
iii) 0 ,0)( ≠∀< xxV&
Thì hệ thống (1) ổn định Lyapunov tại điểm 0.
Giả sử hệ thống có điểm cân bằng xe = 0.
‘ Định lý ổn định Lyapunov: Cho hệ phi tuyến không kích thích mô 
tả bởi phương trình trạng thái:
0),( == uuxfx& (1)
Chú ý: Hàm V(x) thường được chọn là hàm toàn phương theo biến 
trạng thái.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 77
Phương pháp trực tiếp Lyapunov ù ï á – Định lý không ổn địnhù â å
Nếu tồn tại hàm V(x) sao cho:
ii) 0)0( =V
i) xx ∀≥ ,0)(V
iii) 0 ,0)( ≠∀> xxV&
Thì hệ thống (1) không ổn định tại điểm 0.
Giả sử hệ thống có điểm cân bằng xe = 0.
‘ Định lý không ổn định: Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả
bởi phương trình trạng thái:
0),( == uuxfx& (1)
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 78
Phương pháp trực tiếp Lyapunovù ï á – Thí dụ
‘ Xét tính ổn định của hệ thống tại điểm cân bằng u(t)=0:
))(),(()( tutt xfx =&




+−−= )(1)()(sin
)(
),(
2221
2
tu
ml
tx
ml
Btx
l
g
tx
uxf
trong đó:
‘ Xét hệ con lắc mô tả bởi PTTT: 
m
u
lθ
+−
0
(a) (b)

=
0
0
ex 

=
0
π
ex
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 79
Phương pháp trực tiếp Lyapunovù ï á – Thí dụ
( )[ ] 2221 2 5.0sin2)( xg
lxV +=x
‘ Chọn hàm Lyapunov
(a)


=
0
0
ex
‘ Rõ ràng:
xx ∀≥ ,0)(V
0 khi 0)( == xxV
‘ Xét )(xV&
( ) ( ) 22111 5.0cos5.0sin2)( xxg
lxxxV &&& +=x




+−−= )(1)()(sin
)(
),(
2221
2
tu
ml
tx
ml
Btx
l
g
tx
uxf
0,0)( 22 ≠∀<−= xx xmgl
BV&⇒
‘ Kết luận: Hệ thống ổn định tiệm cận tại điểm cân bằng [ ]T00=ex
( ) ( ) 

 −−+= 221212 sinsin xml
Bx
l
gx
g
lxx
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 80
Phương pháp trực tiếp Lyapunovù ï á – Thí dụ
‘ Chọn hàm Lyapunov chứng tỏ rằng 
hệ thống không ổn định (SV tự làm)
(b)




+−−= )(1)()(sin
)(
),(
2221
2
tu
ml
tx
ml
Btx
l
g
tx
uxf


=
0
π
ex