Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 2: Mô hình toán học hệ thống điều khiển liên tục - Huỳnh Thái Hoàng
Khái niệm về mô hình toán học
Hàm truyền
Phép biến đổi Laplace
Định nghĩa hàm truyền
Hàm truyền của một số phần tử
Hàm truyền của hệ thống tự động
Đại số sơ đồ khối
Sơ đồ dòng tín hiệu
Phương trình trạng thái (PTTT)
Khái niệm về PTTT
Cách thành lập PTTT từ phương trình vi phân
Quan hệ giữa PTTT và hàm truyền
Tóm tắt nội dung Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 2: Mô hình toán học hệ thống điều khiển liên tục - Huỳnh Thái Hoàng, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút "TẢI VỀ" ở trên
L
tx
L
Ktx
L
Rtx
&
& ư
ưưư
ư
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 79
Vài thí dụ về phương trình trạng tháiø ï à ï ù
=
+=
)()(
)()()(
tt
tUtt
Cx
BAxx
ω
u&⇔
Thí dụ 2:ï Động cơ DC (tt)ä
[ ]
=
)(
)(
10)(
2
1
tx
tx
tω
⇔
)(
0
1
)(
)(
)(
)(
2
1
2
1 tULtx
tx
J
B
J
K
L
K
L
R
tx
tx
ưư
ưư
ư
+
−Φ
Φ−−
=
&
&
−Φ
Φ−−
=
J
B
J
K
L
K
L
R
ưư
ư
A [ ]10=C
=
0
1
ưLBtrong đó:
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 80
Cách thành lập PTTT từ PTVPù ø ä ø
Trường hợp 1: Vế phải của PTVP không chứa đạo hàm của ø ï á û û â ù ï ø û tín hiệu vàộ ø
)()()()()( 011
1
10 trbtcadt
tdca
dt
tcda
dt
tcda nnn
n
n
n
=++++ −−
−
L
Hệ thống mô tả bởi PTVP
)()(
)()(
)()(
)()(
1
23
12
1
txtx
txtx
txtx
tctx
nn −=
=
=
=
&
M
&
&
Đặt biến trạng thái theo qui tắc:
Biến đầu tiên đặt bằng tín hiệu ra:
Biến thứ i (i=2..n) đặt bằng đạo hàm
của biến thứ i−1:
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 81
Cách thành lập PTTT từ PTVPù ø ä ø
Trường hợp 1 (tt)ø ï
Phương trình trạng thái:
=
+=
)()(
)()()(
ttc
trtt
Cx
BAxx&
trong đó:
=
−
)(
)(
)(
)(
)(
1
2
1
tx
tx
tx
tx
t
n
n
Mx
−−−−
=
−−
0
1
0
2
0
1
0
1000
0100
0010
a
a
a
a
a
a
a
a nnn K
K
MMMM
K
K
A
=
0
0
0
0
0
a
b
MB
[ ]0001 K=C
Chứng minh: xem LT ĐKTĐ, trang 64-65
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 82
Cách thành lập PTTT từ PTVPù ø ä ø
Thí dụ trường hợp 1ï ø ï
Viết PTTT mô tả hệ thống có quan hệ vào ra cho bởi PTVP sau:
)()(10)(6)(5)(2 trtctctctc =+++ &&&&&&
−−−
=
−−−
=
5.235
100
010
100
010
0
1
0
2
0
3
a
a
a
a
a
a
A
=
=
5.0
0
0
0
0
0
0
a
b
B
[ ]001=C
=
=
=
)()(
)()(
)()(
23
12
1
txtx
txtx
tctx
&
& Đặt các biến trạng thái:
Phương trình trạng thái:
=
+=
)()(
)()()(
ttc
trtt
Cx
BAxx&
trong đó:
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 83
Cách thành lập PTTT từ PTVPù ø ä ø
Trường hợp 2: Vế phải của PTVP có chứa đạo hàm của tínø ï á û û ù ù ï ø û hiệu vàộ ø
Hệ thống mô tả bởi PTVP:
=++++ −−
−
)()()()( 11
1
10 tcadt
tdca
dt
tcda
dt
tcda nnn
n
n
n
L
)()()()( 121
2
11
1
0 trbdt
tdrb
dt
trdb
dt
trdb nnn
n
n
n
−−−
−
−
−
++++ L
Đặt biến trạng thái theo qui tắc:
Biến đầu tiên đặt bằng tín hiệu ra:
Biến thứ i (i=2..n) đặt bằng đạo hàm
của biến thứ i−1 trừ 1 lượng tỉ lệ với
tín hiệu vào:
)()()(
)()()(
)()()(
)()(
11
223
112
1
trtxtx
trtxtx
trtxtx
tctx
nnn −− −=
−=
−=
=
β
β
β
&
M
&
&
Chú ý: đạo hàm ở vế phải thấp hơn đạo hàm ở vế trái 1 bậc
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 84
Cách thành lập PTTT từ PTVPù ø ä ø
=
+=
)()(
)()()(
ttc
trtt
Cx
BAxx&
Trường hợp 2 (tt)ø ï
Phương trình trạng thái:
trong đó:
=
−
)(
)(
)(
)(
)(
1
2
1
tx
tx
tx
tx
t
n
n
Mx
−−−−
=
−−
0
1
0
2
0
1
0
1000
0100
0010
a
a
a
a
a
a
a
a nnn K
K
MMMM
K
K
A
[ ]0001 K=C
=
−
n
n
β
β
β
β
1
2
1
MB
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 85
Cách thành lập PTTT từ PTVPù ø ä ø
Trường hợp 2 (tt)ø ï
Các hệ số β trong vector B xác định như sau:
0
1122111
0
12212
3
0
111
2
0
0
1
a
aaab
a
aab
a
ab
a
b
nnnn
n
ββββ
βββ
ββ
β
−−−− −−−−=
−−=
−=
=
K
M
Chứng minh trường hợp n=3: xem LT ĐKTĐ, trang 67-68
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 86
Cách thành lập PTTT từ PTVPù ø ä ø
Thí dụ trường hợp 2ï ø ï
Viết PTTT mô tả hệ thống có quan hệ vào ra cho bởi PTVP sau:
[ ]001=C
Phương trình trạng thái:
=
+=
)()(
)()()(
ttc
trtt
Cx
BAxx&
−−−
=
−−−
=
5.235
100
010
100
010
0
1
0
2
0
3
a
a
a
a
a
a
A
trong đó:
)(20)(10)(10)(6)(5)(2 trtrtctctctc +=+++ &&&&&&&
Đặt các biến trạng thái:
−=
−=
=
)()()(
)()()(
)()(
223
112
1
trtxtx
trtxtx
tctx
β
β
&
&
=
3
2
1
β
β
β
B
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 87
Cách thành lập PTTT từ PTVPù ø ä ø
Thí dụ trường hợp 2 (tt)ï ø ï
Các hệ số của vector B xác định như sau:
−=×−×−=−−=
=×−=−=
===
15
2
0610520
5
2
0510
0
2
0
0
12212
3
0
111
2
0
0
1
a
aab
a
ab
a
b
βββ
ββ
β
−
=
15
5
0
B⇒
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 88
Thành lập PTTT từ PTVP dùng phương pháp tọa độ pha ø ä ø ø ù ï ä
Đặt biến trạng thái theo qui tắc:
Biến trạng thái đầu tiên là nghiệm của phương trình:
)()()()()( 1
0
1
0
1
1
1
1
0
11 krkx
a
a
dt
tdx
a
a
dt
txd
a
a
dt
txd nn
n
n
n
n
=++++ −−
−
L
)()(
)()(
)()(
1
23
12
txtx
txtx
txtx
nn −=
=
=
&
M
&
& Biến thứ i (i=2..n) đặt đạo hàm
biến i−1
Xét hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân
=++++ −−
−
)()()()( 11
1
10 tcadt
tdca
dt
tcda
dt
tcda nnn
n
n
n
L
)()()()( 11
1
10 trbdt
tdrb
dt
trdb
dt
trdb mmm
m
m
m
++++ −−
−
L
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 89
Thành lập PTTT từ PTVP dùng phương pháp tọa độ phà ä ø ø ù ï ä
=
+=
)()(
)()()(
ttc
trtt
Cx
BAxx& Phương trình trạng thái:
trong đó:
−−−−
=
−−
0
1
0
2
0
1
0
1000
0100
0010
a
a
a
a
a
a
a
a nnn K
K
MMMM
K
K
A
=
1
0
0
0
MB
= − 00
0
0
0
1
0
KK
a
b
a
b
a
b mmC
=
)(
)(
)(
)( 2
1
tx
tx
tx
t
n
Mx
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 90
Thí dụ thành lập PTTT từ PTVP dùng PP tọa độ phạ ø ä ø ø ï ä
−−−
=
−−−
=
5.05.22
100
010
100
010
0
1
0
2
0
3
a
a
a
a
a
a
A
=
1
0
0
B
[ ]5.005.1
0
0
0
1
0
2 =
=
a
b
a
b
a
bC
trong đó:
Viết PTTT mô tả hệ thống có quan hệ vào ra cho bởi PTVP sau:
)(3)()(4)(5)()(2 trtrtctctctc +=+++ &&&&&&&&
Đặt biến trạng thái theo phương pháp tọa độ pha, ta được phương
trình trạng thái:
=
+=
)()(
)()()(
ttc
trtt
Cx
BAxx
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 91
Thành lập PTTT từ sơ đồ khốiø ä ø à á
Thí dụï
Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có sơ đồ
khối như sau:
R(s)
+−
C(s)
)3)(1(
10
++ sss
Đặt biến trạng thái trên sơ đồ khối:
R(s)
+−
C(s)
)3(
10
+s)1(
1
+ss
1 X1(s)X2(s)X3(s)
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 92
Thành lập PTTT từ sơ đồ khốiø ä ø à á
Thí dụ (tt)ï
Theo sơ đồ khối, ta có:
)(
3
10)( 21 sXs
sX +=• )(10)(3)( 211 sXsXssX =+⇒
)(10)(3)( 211 txtxtx +−=⇒ & (1)
)(
1
1)( 32 sXs
sX +=• )()()( 322 sXsXssX =+⇒
)()()( 322 txtxtx +−=⇒ & (2)
( ))()(1)(3 sCsRssX −=• )()()( 13 sXsRssX −=⇒
)()()( 13 trtxtx +−=⇒ & (3)
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 93
Thành lập PTTT từ sơ đồ khốiø ä ø à á
Thí dụ (tt)ï
Kết hợp (1), (2), và (3) ta được phương trình trạng thái:
{
)(
1
0
0
)(
)(
)(
)(
001
110
0103
)(
)(
)(
)(
3
2
1
3
2
1
tr
t
tx
tx
tx
t
tx
tx
tx
BxAx
+
−
−
−
=
3214434421321
&
&
&
&
[ ]
==
)(
)(
)(
001)()(
3
2
1
1
tx
tx
tx
txtc 43421
C
Đáp ứng của hệ thống:
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 94
Tính hàm truyền từ PTTTø à ø
Cho hệ thống mô tả bởi PTTT:
=
+=
)()(
)()()(
ttc
trtt
Cx
BAxx&
Hàm truyền của hệ thống là:
( ) BAIC 1-−== s
sR
sCsG
)(
)()(
Chứng minh: xem LT ĐKTĐ, trang 78
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 95
Tính hàm truyền từ PTTTø à ø
Tính hàm truyền của hệ thống mô tả bởi PTTT:
=
+=
)()(
)()()(
ttc
trtt
Cx
BAxx&
Giải: Hàm truyền của hệ thống là:
( ) BAIC 1-−== s
sR
sCsG
)(
)()(
Thí dụï
−−= 32
10
A
=
1
3
B [ ]01=C
trong đó
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 96
Tính hàm truyền từ PTTTø à ø
Thí dụ (tt)ï
( )
+
−=
−−−
=−
32
1
32
10
10
01
s
s
ss AI
( )
−
+
−−+=
+
−=−
−
−
s
s
sss
s
s
2
13
)1.(2)3(
1
32
1 11AI
( ) [ ] [ ]13
23
1
2
13
01
23
1
22
1 +++=
−
+
++=−
− s
sss
s
ss
s AIC
( ) [ ]
23
1)3(3
1
3
13
23
1
22
1
++
++=
+++=−
−
ss
ss
ss
s BAIC
23
103)( 2 ++
+=
ss
ssG⇒
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 97
Nghiệm của phương trình trạng tháiä û ï ù
Nghiệm của phương trình trạng thái ?)()()( trtt BAxx +=&
∫ −Φ+Φ= + t dRttt
0
)()()0()()( τττ Bxx
)]([)( 1 st Φ=Φ −L
1)()( −−=Φ AIss
Trong đó: ma trận quá độ
Thí dụ: xem TD 2.15, Lý thuyết Điều khiển tự động
Đáp ứng của hệ thống?
)()( tt Cxc =
Chứng minh: xem Lý thuyết Điều khiển tự động
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 98
Tóm tắt quan hệ giữa các dạng mô tả toán họcù é ä õ ù ï â û ù ï
PT vi phân
Hàm truyền PT trạng thái
L L -1
( ) BAIC -1−= ssG )(
Đặt x
File đính kèm:
bai_giang_ly_thuyet_dieu_khien_tu_dong_chuong_2_mo_hinh_toan.pdf
