Bài giảng Kỹ thuật số - Chương 2: Đại số Boole, cổng Logic

y
z
Với cổng NAND có nhiều ngõ vào, 
ngõ ra sẽ là 0 nếu tất cả các ngõ vào đều là 1
14
5. Cổng NOR (74LS02):
x y z
0 0
0 1
1 0
1 1
1
0
0
0
x
y
Với cổng NOR có nhiều ngõ vào, 
ngõ ra sẽ là 1 nếu tất cả các ngõ vào đều là 0
z
x
y
z = x+y
6. Cổng XOR (Exclusive_OR) (74LS86):
x
y
z = x⊕y
x y z
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
0
x
y
z
Với cổng XOR có nhiều ngõ vào, ngõ ra sẽ là
1 nếu tổng số bit 1 ở các ngõ vào là số lẻ
z = x⊕y = x y + x y = (x + y)(x + y)
15
7. Cổng XNOR (Exclusive_NOR) (74LS266, CD4077):
x y z
0 0
0 1
1 0
1 1
1
0
0
1
x
y
z
Với cổng XNOR có nhiều
ngõ vào, ngõ ra sẽ là 1 
nếu tổng số bit 1 ở các
ngõ vào là số chẵn
x
y
z = x⊕y
z = x⊕y = x y + x y = (x + y)(x + y)
www.alldatasheet.com
16
V. Rút gọn hàm Boole:
Rút gọn (tối thiểu hóa) hàm Boole nghĩa là đưa hàm Boole
về dạng biểu diễn đơn giản nhất, sao cho:
- Biểu thức có chứa ít nhất các thừa số và mỗi thừa số
chứa ít nhất các biến.
- Mạch logic thực hiện có chứa ít nhất các vi mạch số.
1. Phương pháp đại số:
Dùng các định lý và tiên đề để rút gọn hàm.
F (A, B, C) = Σ (2, 3, 5, 6, 7)
= ABC + ABC + ABC + ABC + ABC
= AB(C + C) + AC(B + B) + AB(C + C)
= AB + AC + AB
= (A + A)B + AC
= B + AC
17
A
B
F
0 1
0
1
2. Phương pháp bìa KARNAUGH:
a. Cách biểu diễn:
- Bìa K gồm các ô vuông, mỗi ô vuông biểu diễn cho tổ
hợp n biến. Như vậy bìa K cho n biến sẽ có 2n ô.
- Hai ô được gọi là kề cận nhau khi tổ hợp biến mà chúng
biểu diễn chỉ khác nhau 1 biến.
- Trong ô sẽ ghi giá trị tương ứng của hàm Boole tại tổ hợp
đó. Ởû dạng chính tắc 1 thì đưa các giá trị 1 và X lên các ô, 
không đưa các giá trị 0. Ngược lại, dạng chính tắc 2 thì chỉ đưa
giá trị 0 và X. 
* Bìa 2 biến:
0
1
2
3
F (A, B) = Σ (0, 2) + d(3) = ∏ (1) . D(3)
A
B
F
0 1
0
1
1 1
X
A
B
F
0 1
0
1 0 X
18
* Bìa 3 biến:
AB
C
F
0
1
00 01 11 10
0
1
2
3
6
7
4
5
AB
C
F
0
1
00 01 11 10
F (A, B, C) = Σ (2, 4, 7) + d(0, 1) = ∏ (3, 5, 6) . D(0, 1)
X
X
1
1
1
AB
C
F
0
1
00 01 11 10
X
X 0
0
0
19
* Bìa 4 biến: AB
CD
F
00
00 01 11 10
01
11
10
0
1
4
5
8
9
3
2
7
6 1014
15
13
12
11
* Bìa 5 biến:
30
31
29
28
BC
DE
F
00
00 01 11 10
01
11
10
10 0011 01
A 0 1
0
1
4
5
8
9
3
2
7
6 1014
15
13
12
11
18
19
17
16
22
23
21
20
26
27
25
24
20
b. Rút gọn bìa Karnaugh:
- Liên kết đôi: Khi liên kết (OR) hai ô có giá trị 1 (Ô_1) 
kề cận với nhau trên bìa K, ta sẽ được 1 số hạng tích mất đi 1 
biến so với tích chuẩn (biến mất đi là biến khác nhau giữa 2 ô). 
Hoặc khi liên kết (AND) hai ô có giá trị 0 (Ô_0) kề cận với
nhau trên bìa K, ta sẽ được 1 số hạng tổng mất đi 1 biến so với
tổng chuẩn (biến mất đi là biến khác nhau giữa 2 ô).
* Nguyên tắc:
AB
C
F
0
1
00 01 11 10
1 1
B C
AB
C
F
0
1
00 01 11 10
0
0
A +B
21
- Liên kết 4: Tương tự như liên kết đôi khi liên kết 4 
Ô_1 hoặc 4 Ô_ 0 kề cận với nhau, ta sẽ loại đi được 2 biến (2 
biến khác nhau giữa 4 ô)
AB
C
F
0
1
00 01 11 10
1
1
1
1
B
AB
C
F
0
1
00 01 11 10
0 0 0 0
C
22
- Liên kết 8: liên kết 8 ô kề cận với nhau, ta sẽ loại đi
được 3 biến (3 biến khác nhau giữa 8 ô)
AB
CD
F
00 01 11 10
00
01
11
10
1 1 1
1 1 1
1
1
D
AB
CD
F
00 01 11 10
00
01
11
10
0
0
0
0
0
0 0
0
B
- Liên kết 2k: khi ta liên kết 2k Ô_1 hoặc 2k Ô_0 kề cận
với nhau ta sẽ loại đi được k biến (k biến khác nhau giữa 2k
ô) 
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10
1 1
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10 0
0
Các ví dụ về 2 ơ kế cận
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10 0
0
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10 1 1
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 
1
1 
1
DC
DA
DA
DB
Các ví dụ về 4 ơ kế cận
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 
0
0 
0
DC +
DA +
DA +
DB +
Các ví dụ về 4 ơ kế cận
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 
0
0 
0
DC +
CA +
DB +
CB +
Các ví dụ về 4 ơ kế cận
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 
1
1 
1
DC
CA
DB
CB
Các ví dụ về 4 ơ kế cận
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10
1 1 1 1
0 0
0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
C
DD
A
Các ví dụ về 8 ơ kế cận
29
* Các bước thực hiện rút gọn theo dạng S.O.P:
- Biểu diễn các Ô_1 lên bìa Karnaugh
- Thực hiện các liên kết có thể có sao cho các Ô_1 được
liên kết ít nhất 1 lần; mỗi liên kết cho ta 1 số hạng tích. 
(Nếu Ô_1 không có kề cận với các Ô_1 khác thì ta có liên
kết 1: số hạng tích chính bằng minterm của ô đó). 
- Biểu thức rút gọn có được bằng cách lấy tổng (OR) của
các số hạng tích liên kết trên. 
F(A, B, C) = Σ (0, 1, 3, 5, 6)
AB
C
F
0
1
00 01 11 10
1
1 1
1
1
A C
A B
B C
A B C
= A B + A C + B C + A B C
30
* Các bước thực hiện rút gọn theo dạng P.O.S:
- Biểu diễn các Ô_0 lên bìa Karnaugh
- Thực hiện các liên kết có thể có sao cho các Ô_0 được
liên kết ít nhất 1 lần; mỗi liên kết cho ta 1 số hạng tổng. 
- Biểu thức rút gọn có được bằng cách lấy tích (AND) của
các số hạng tổng liên kết trên. 
F(A, B, C, D) = Π (0, 4, 8, 9, 12, 13, 15)
AB
CD
F
00 01 11 10
00
01
11
10
(C + D)
(A + C)
(A + B + D)
00
0 0 00
0
= (C + D) (A + C) (A + B + D)
Ru 
t gon ha m sau
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10
1
11
1
1
1
1
=),,,( DCBAF BA + CB+DCBA
Ru 
t gon ha m sau
∑= )15,14,7,6,5,4,1,0()D,C,B,A(F
00 01 11 10
F
AB
CD
00
01
11
10
1
1
1
1
1
1
1
1
=)D,C,B,A(F CA + CB
33
* Trường hợp rút gọn hàm Boole có tùy định: thì ta có thể coi
các Ô tùy định này là Ô_1 hoặc Ô_0 sao cho có lợi khi liên kết
(nghĩa là có được liên kết nhiều Ô kề cận nhất)
F(A, B, C, D) = Σ (0, 4, 8, 10) + d (2, 12, 15)
1 1 1
X 1
X
X
AB
CD
F
00 01 11 10
00
01
11
10
C D
B D
= B D + C D
34
F(A, B, C, D) = Π (0, 2, 3, 4, 6, 10, 14) . D (8, 9, 11, 12, 13)
D
(B + C)
0 0 X
0 0
X
X
0
0
X
X
0
AB
CD
F
00 01 11 10
00
01
11
10
= D (B + C)
35
* Chú ý:
- Ưu tiên liên kết cho các ô chỉ có 1 kiểu liên kết (phải là liên
kết có nhiều ô nhất). 
- Khi liên kết phải đảm bảo có chứa ít nhất 1 ô chưa được liên
kết lần nào. 
- Ta coi các tùy định như là những ô đã liên kết rồi. 
- Có thể có nhiều cách liên kết có kết quả tương đương nhau
Vd: Rút gọn các hàm
F1(A, B, C, D) = Σ (1, 3, 5, 12, 13, 14, 15) + d (7, 8, 9)
F2(A, B, C, D) = Π (1, 3, 7, 11, 15) . D(0, 2, 5)
F1(A, B, C, D, E) = Σ (1, 3, 5, 7, 12, 14, 29, 31) 
+ d (13, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23)
F2(A, B, C, D, E) = Π (0, 8, 12, 13, 16, 18, 28, 30)
. D(2, 6, 10, 14, 15, 24, 26)
36
VI. Thực hiện hàm Boole bằng cổng logic:
1. Cấu trúc cổng AND _ OR:
Cấu trúc AND_OR là sơ đồ logic thực hiện cho hàm Boole
biểu diễn theo dạng tổng các tích (S.O.P) 
F(A, B, C, D) = A B D + C D
F(A, B, C, D)
A
B
C
D
AND 0R
37
2. Cấu trúc cổng OR _ AND :
Cấu trúc OR_AND là sơ đồ logic thực hiện cho hàm Boole
biểu diễn theo dạng tích các tổng (P.O.S).
F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C+ D)
OR AND
F(A, B, C, D)
A
B
C
D
38
3. Cấu trúc cổng AND _ OR _ INVERTER (AOI):
Cấu trúc AOI là sơ đồ logic thực hiện cho hàm Boole biểu
diễn theo dạng bù (INVERTER = NOT) của tổng các tích. 
F(A, B, C, D) = A D + B C 
A
B
C
D
F(A, B, C, D)
AND NOR
39
4. Cấu trúc cổng OR _ AND _ INVERTER (OAI):
Cấu trúc OAI là sơ đồ logic thực hiện cho hàm Boole biểu
diễn theo dạng bù của tích các tổng. 
A
B
C
D
F(A, B, C, D)
OR NAND
F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C) 
40
5. Cấu trúc toàn cổng NAND:
Cấu trúc NAND là sơ đồ logic thực hiện cho hàm Boole có
biểu thức là dạng bù của 1 số hạng tích. 
- Dùng định lý De-Morgan để biến đổi số hạng tổng thành tích. 
- Cổng NOT cũng được thay thế bằng cổng NAND
F(A, B, C, D) = A B D + C D
= A B D . C D
A
B
C
D
F(A, B, C, D)
NANDNAND
41
F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C+ D)
= A D . B C D
A
B
C
D
F(A, B, C, D)
42
- Trong thực tế người ta chỉ sử dụng 1 loại cổng NAND 2 ngõ vào; 
khi đó ta phải biến đổi biểu thức sao cho chỉ có dạng bù trên 1 số
hạng tích chỉ có 2 biến
F (A, B, C, D) = A B D . C D
= A B D . C D
A
B
C
D
F(A, B, C, D)
43
6. Cấu trúc toàn cổng NOR:
Cấu trúc NOR là sơ đồ logic thực hiện cho hàm Boole có
biểu thức là dạng bù của 1 số hạng tổng. 
- Dùng định lý De-Morgan để biến đổi số hạng tích thành tổng
- Cổng NOT cũng được thay thế bằng cổng NOR
F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C+ D)
= (A + D) + (B + C+ D)
A
B
C
D
F(A, B, C, D)
NOR NOR
44
F(A, B, C, D) = A B D + C D
= (A + B + D) + (C + D)
A
B
C
D
F(A, B, C, D)
45
F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C) (C + D)
= (A + D) + (B + C) + (C + D)
= (A + D) + (B + C) + (C + D)
A
B
C
D
F(A, B, C, D)