Bài giảng Hàm phức và biến đổi Laplace - Chương 2: Biến đổi Laplace ngược

ơng 2: Biến đổi Laplace ngượcGiảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2007) 1Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0.1 – Biến đổi Laplace ngược.0.2 – Tính chất của biến đổi Laplace ngược.20.1 Định nghĩa biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Xét phương trình vi phân cấp hai Áp dụng biến đổi Laplace phương trình trên ta được sử dụng các tính chất của phép biến đổi Laplace xuôi Vậy nghiệm của phương trình vi phân là 30.1 Định nghĩa biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa biến đổi Laplace ngượcBiến đổi Laplace ngược của hàm là một hàm liên tục trên và thỏa Ký hiệu phép biến đổi Laplace ngược là 40.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm GiảiDựa vào các biến đổi Laplace xuôi cơ bản ta thấyVậy biến đổi Laplace ngược của hàm đã cho là50.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm GiảiSử dụng tính chất dời theo s, ta cóVậy biến đổi Laplace ngược của hàm đã cho là60.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm GiảiDựa vào các biến đổi Laplace xuôi cơ bản ta thấyVậy biến đổi Laplace ngược của hàm đã cho là70.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm GiảiVậy biến đổi Laplace ngược của hàm đã cho là80.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Tính tuyến tínhGiả sử các biến đổi Laplace ngược tồn tại và liên tục trên và c là hằng số. Khi đó 90.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm Giải100.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm Giải110.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Tính chất dời theo s Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm 120.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3. Tính chất dời theo tQui tắc để tìm Laplace ngược của hàm có chứa 1. bỏ thừa số 2. Tìm Laplace ngược của hàm còn lại. 3. Dời hàm theo t vừa tìm được về phía phải a đơn vị, sau đó ngắt bỏ phía trái nếu a>0. 130.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm Giải140.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm Giải150.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm Giải160.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4. Tính chất đổi thang đo 5. Biến đổi Laplace ngược của đạo hàm hoặc công thức thường sử dụng170.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Trong một số trường hợp để tìm Laplace ngược, ta làm như sau:1. Tìm đạo hàm cấp n (tùy theo từng bài toán n =1 hoặc 2, )2. Tìm Laplace ngược của đạo hàm ở bước 1.3. Chia kết quả cho (-1)n.tn180.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm Giải190.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm Giải200.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm Giải210.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm Giải220.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm Giải230.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6. Biến đổi Laplace ngược của tích phânTrong một số trường hợp để tìm Laplace ngược, ta làm như sau:2. Tìm Laplace ngược của tích phân ở bước 1.3. Nhân kết quả cho t.1. Tích phân hàm F(s) từ s đến 240.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm Giải250.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7. Nhân cho SnNếu F(0) = 0, thìĐặt G(s) = sF(s), ta cóThường gặp260.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Để tìm Laplace ngược của hàm F(s), ta làm như sau:2. Tìm Laplace ngược của hàm ở bước 1.3. Đạo hàm kết quả ở bước 2.1. Bỏ thừa số s ở tử của F(s) ( tức là chia F(s) cho s)Qui tắc270.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm GiảiBỏ thừa số s ở tử của F(s), sau đó tìm Laplace ngược, ta được280.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm GiảiBỏ thừa số e-2s và s ở tử của F(s), tìm Laplace ngược, ta đượcáp dụng tính chất 3, dời theo t ta có kết quả.290.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8. Chia cho SnThường gặpĐặt , ta có 300.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Để tìm Laplace ngược của hàm F(s), ta làm như sau:2. Tìm Laplace ngược của hàm ở bước 1.3. Tích phân kết quả ở bước 2 từ 0 đến t.1. Bỏ thừa số s ở mẫu của F(s) ( tức là nhân F(s) với s)Qui tắc310.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm GiảiBỏ thừa số s ở mẫu của F(s), sau đó tìm Laplace ngược, ta được320.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9. Tích chậpGiả sửKhi đóđược gọi là tích chập của hai hàm f(t) và g(t).Chú ý:Tích thường330.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm Giải có thể giải bằng cách tính bình thường340.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10. Khai triển Heavisidea) Trường hợp Q(x) có nghiệm thực đơn.trong đó ak, k = 1, 2, , n là các nghiệm thực đơnDùng để tìm khai triển Laplace ngược của phân số hữu tỷChứng minh350.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm Giải360.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm Giải370.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) Trường hợp Q(x) có nghiệm thực bội.Chứng minhGiả sử Q(s) có nghiệm thực a bội m. Khi đó các số hạng củatương ứng với thừa số là trong đó380.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm 390.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược -----------------------------------------------------------------400.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------c) Trường hợp Q(x) có cặp nghiệm phức liên hợp.Giả sử Q(s) có cặp nghiệm phức liên hợp , tức là Q(s) có chứa thừa số (s + a)2 + b2.Khi đó số hạng của L-1 tương ứng với thừa số (s + a)2 + b2 là trong đó là phần thực và phần ảo của số phức với Chứng minh 410.2 Tính chất của biến đổi Laplace ngược ----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm Khi đó số hạng của L-1 tương ứng với thừa số (s + 1)2 + 22 là 42Bài tập ------------------------------------------------------------- Bài tập 1. Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm 43Bài tập ------------------------------------------------------------- Bài tập 1. Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm 44Bài tập ------------------------------------------------------------- Bài tập 2. Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm 45Bài tập ------------------------------------------------------------- Bài tập 3. Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm 46Bài tập ------------------------------------------------------------- Bài tập 4. Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm 47