Bài giảng Hàm phức và biến đổi Laplace - Chương 1: Biến đổi Laplace

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí MinhBộ môn Toán Ứng dụng-------------------------------------------------------------------------------------Hàm phức và biến đổi Laplace Chương 1: Biến đổi LaplaceGiảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2007) 1 Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản về hàm phức và biến đổi Laplace. Sinh viên sau khi kết thúc môn học nắm vững các kiến thức nền tảng và biết giải các bài toán cơ bản:Mục tiêu của môn học1. Các phép biến đổi Laplace, giải phương trình, hệ phương trình vi phân bằng các phép biến đổi Laplace, ứng dụng vào giải tích mạch điện.2. Giải tích phức: các phép đạo hàm, vi phân, tích phân, chuỗi Taylor, chuỗi Laurent, thặng dư và cách tính, ánh xạ bảo giác.2 Biến đổi LaplaceBiến đổi Laplace ngược Ứng dụng biến đổi LaplaceHàm biến phức: đạo hàmtích phân hàm biến phức Ánh xạ bảo giácChuỗi lũy thừa, chuỗi Laurent3Nhiệm vụ của sinh viên. Đi học đầy đủ (vắng 20% trên tổng số buổi học bị cấm thi!). Làm tất cả các bài tập cho về nhà. Đọc bài mới trước khi đến lớp.Đánh giá, kiểm tra. Thi giữa học kỳ: hình thức trắc nghiệm (20%) Thi cuối kỳ: hình thức trắc nghiệm (80%)4Tài liệu tham khảo1. Dennis G. Zill. A first course in complex analysis with applications. Jones and Bartlett Publishers, 2003.2. Nguyễn Kim Đính. Phép biến đổi Laplace. NXB ĐHQG tp.HCM, 2003. 3. Nguyễn Kim Đính. Hàm phức và ứng dụng. NXBĐHQG tp.HCM, 2002 4.  5Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0.1 – Định nghĩa phép biến đổi Laplace.0.2 – Tính chất của biến đổi Laplace.60.1 Định nghĩa biến đổi Laplace.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa biến đổi Laplace Cho là một hàm trên . Biến đổi Laplace của là một hàm F được định nghĩa bởi tích phân suy rộng 70.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace.----------------------------------------------------------------- Nhắc lại: Tích phân suy rộng (1) được định nghĩa 80.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ----------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm hằng Giải90.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải100.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giảisử dụng tích phân từng phần ta tính được110.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giảisử dụng tích phân từng phần ta tính được120.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giảisử dụng tích phân từng phần ta tính được130.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm hyperbolic Giải140.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm hyperbolic Giải150.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho và là hai hàm có biến đổi Laplace trên 1.Tính tuyến tính và c là một hằng số. Khi đó: Chứng minh trực tiếp từ định nghĩa.160.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải170.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải180.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải190.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Tính chất dời theo s. Giả sử . Khi đóChứng minh. 200.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải210.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải220.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3. Tính chất dời theo t. Giả sử . Khi đótrong đó Trong thực tế ta thường gặp dạng sau đây230.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải240.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải250.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải260.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải270.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4. Tính chất đổi thang đo. Giả sử . Khi đóChứng minh. Đặt 280.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Giải Ví dụ tìm Cho290.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5. Nhân với tn. Giả sử . Khi đóChứng minh. Đạo hàm hai vế, ta có Dùng qui nạp, suy ra kết quả. 300.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải310.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải320.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6. Chia cho t. Giả sử . Khi đóChứng minh. Tích phân hai vế, ta có 330.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm Giải340.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7. Đạo hàm của hàm gốc. Giả sử và liên tục. Khi đó Hệ quả. 350.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Giải Ví dụ Tìm hàm lọc360.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8. Tích phân của hàm gốc. Giả sử . Khi đóChứng minh. Sử dụng tính chất 7, đạo hàm của hàm gốc. 370.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Giải Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm 380.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9. Hàm tuần hoàn. Giả sử là hàm tuần hoàn với chu kỳ T > 0. Khi đó390.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Giải Ví dụ Tìm biến đổi Laplace của hàm với f(t) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T = 5.400.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Bài tập 1. Tìm biến đổi Laplace của hàm 410.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Bài tập 1. Tìm biến đổi Laplace của hàm 420.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Bài tập 1. Tìm biến đổi Laplace của hàm 430.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Bài tập 2. Tìm biến đổi Laplace của hàm 440.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Bài tập 3. Tìm biến đổi Laplace của hàm 450.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Bài tập 4. Tìm biến đổi Laplace của hàm Từ đó suy ra 460.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Bài tập 5. Tính các tích phân suy rộng sau470.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace ------------------------------------------------------------- Bài tập 6. Tính các tích phân suy rộng sau4849BÀI TẬP BiẾN ĐỔI LAPLACE50515253545556575859