Bài giảng Giới hạn của dãy số - Lê Xuân Đại

trên bởi
√
a + 1.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP. HCM — 2012. 64 / 80
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số Dùng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu
Thật vậy, x1 =
√
a <
√
a + 1, x2 =
√
a +
√
a <√
a +
√
a + 1 <
√
a + 2
√
a + 1 =
√
a + 1.
Giả sử đã chứng minh được rằng xn 6
√
a + 1. Ta
sẽ chứng minh xn+1 6
√
a + 1.
Thật vậy, xn+1 =
√
a + xn <
√
a +
√
a + 1 <√
a + 2
√
a + 1 =
√
a + 1. Vậy theo nguyên lý qui
nạp ta có xn 6
√
a + 1,∀n ∈ N
Như vậy, dãy xn đã cho đơn điệu tăng và bị chặn
trên nên nó hội tụ.
Giả sử lim
n→∞ xn = x . Ta có
xn+1 =
√
a + xn ⇒ x2n+1 = a + xn.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP. HCM — 2012. 65 / 80
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số Dùng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu
Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi n→∞
ta được
lim
n→∞ x
2
n+1 = a + lim
n→∞ xn.
Do đó x2 = a + x ⇒ x = 1−
√
1 + 4a
2
∨
x =
1 +
√
1 + 4a
2
. Vì an > 0 nên x =
1 +
√
1 + 4a
2
.
Vậy lim
n→∞ xn =
1 +
√
1 + 4a
2
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP. HCM — 2012. 66 / 80
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số Dùng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu
Ví dụ
Tìm giới hạn của dãy an được xác định như sau:
0 1.
Giải. Đầu tiên ta sẽ chứng minh an bị chặn, cụ
thể là 0 < an < 1. Thật vậy, ta có 0 < a1 < 1.
Giả sử đã chứng minh được rằng 0 < an < 1. Ta
sẽ chứng minh 0 < an+1 < 1. Thật vậy,
an+1 = an(2− an) = 1− (1− an)2. Do
0 < (1− an)2 < 1 nên 0 < an+1 < 1. Vậy theo
nguyên lý qui nạp ta có 0 < an+1 < 1,∀n ∈ N.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP. HCM — 2012. 67 / 80
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số Dùng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu
Ví dụ
Tìm giới hạn của dãy an được xác định như sau:
0 1.
Giải. Đầu tiên ta sẽ chứng minh an bị chặn, cụ
thể là 0 < an < 1. Thật vậy, ta có 0 < a1 < 1.
Giả sử đã chứng minh được rằng 0 < an < 1. Ta
sẽ chứng minh 0 < an+1 < 1. Thật vậy,
an+1 = an(2− an) = 1− (1− an)2. Do
0 < (1− an)2 < 1 nên 0 < an+1 < 1. Vậy theo
nguyên lý qui nạp ta có 0 < an+1 < 1,∀n ∈ N.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP. HCM — 2012. 67 / 80
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số Dùng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu
Bây giờ ta sẽ chứng minh dãy an đơn điệu tăng.
Thậy vậy
an+1 = an(2− an)⇒ an+1
an
= 2− an > 1. Từ đó
an+1 > an. Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng
và bị chặn trên nên nó hội tụ. Giả sử lim
n→∞ an = a.
Ta có an+1 = an(2− an). Lấy giới hạn 2 vế của
đẳng thức này khi n→∞ ta được
lim
n→∞ an+1 = limn→∞ an. limn→∞(2− an). Do đó
a = a.(2− a)⇒ a = 0∨ a = 1. Vì an > a0 > 0
và an đơn điệu tăng nên a = 1. Vậy lim
n→∞ an = 1.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP. HCM — 2012. 68 / 80
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số Dùng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu
Ví dụ
Cho dãy a1 = k
√
5, an+1 =
k
√
5an, k ∈ N. Chứng
minh rằng dãy (an) hội tụ và tìm giới hạn của nó.
Giải. Dãy an là dãy đơn điệu tăng vì
a1 < a2 < a3 < . . . . Ta sẽ chứng minh dãy an bị
chặn trên bởi k−1
√
5. Thật vậy,
a1 =
k
√
5, a2 =
k
√
5a1 = 5
1
k+
1
k2 < 5
1
k−1 = k−1
√
5.
Giả sử đã chứng minh được rằng an 6 k−1
√
5. Ta
sẽ chứng minh an+1 6 k−1
√
5.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP. HCM — 2012. 69 / 80
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số Dùng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu
Ví dụ
Cho dãy a1 = k
√
5, an+1 =
k
√
5an, k ∈ N. Chứng
minh rằng dãy (an) hội tụ và tìm giới hạn của nó.
Giải. Dãy an là dãy đơn điệu tăng vì
a1 < a2 < a3 < . . . . Ta sẽ chứng minh dãy an bị
chặn trên bởi k−1
√
5. Thật vậy,
a1 =
k
√
5, a2 =
k
√
5a1 = 5
1
k+
1
k2 < 5
1
k−1 = k−1
√
5.
Giả sử đã chứng minh được rằng an 6 k−1
√
5. Ta
sẽ chứng minh an+1 6 k−1
√
5.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP. HCM — 2012. 69 / 80
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số Dùng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu
Thật vậy,
an+1 =
k
√
5an 6 5
1
k+
1
k(k−1) = 5
1
k−1 = k−1
√
5.
Vậy theo nguyên lý qui nạp ta có
an 6 k−1
√
5,∀n ∈ N
Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn
trên nên nó hội tụ.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP. HCM — 2012. 70 / 80
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số Dùng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu
Giả sử lim
n→∞ an = a. Ta có
an+1 =
k
√
5an ⇒ akn+1 = 5an. Lấy giới hạn 2 vế
của đẳng thức này khi n→∞ ta được
lim
n→∞ a
k
n+1 = 5. lim
n→∞ an.
Do đó ak = 5.a⇒ a = 0∨ a = k−1√5. Vì
an >
k
√
5 nên a = k−1
√
5. Vậy lim
n→∞ an =
k−1√5.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP. HCM — 2012. 71 / 80
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số Dùng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu
Ví dụ
Chứng minh rằng dãy an =
n!
nn
hội tụ và tìm giới
hạn của nó.
Giải. Dãy an là dãy đơn điệu giảm. Thật vậy, vì
an+1
an
=
(n+1)!
(n+1)n+1
n!
nn
=
nn
(n + 1)n
< 1,
nên an+1 < an.
Dãy an bị chặn dưới bởi 0 vì an > 0. Dãy an đã
cho đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên nó hội tụ.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP. HCM — 2012. 72 / 80
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số Dùng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu
Ví dụ
Chứng minh rằng dãy an =
n!
nn
hội tụ và tìm giới
hạn của nó.
Giải. Dãy an là dãy đơn điệu giảm. Thật vậy, vì
an+1
an
=
(n+1)!
(n+1)n+1
n!
nn
=
nn
(n + 1)n
< 1,
nên an+1 < an.
Dãy an bị chặn dưới bởi 0 vì an > 0. Dãy an đã
cho đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên nó hội tụ.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP. HCM — 2012. 72 / 80
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số Dùng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu
Giả sử lim
n→∞ an = a. Ta có an+1 =
nn
(n + 1)n
.an. Lấy
giới hạn 2 vế của đẳng thức này khi n→∞ ta
được
lim
n→∞ an+1 = limn→∞
nn
(n + 1)n
. lim
n→∞ an.
Do đó a = e−1.a⇒ a = 0. Vậy lim
n→∞
n!
nn
= 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP. HCM — 2012. 73 / 80
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số Sử dụng giới hạn của số e
Ví dụ
Tìm giới hạn lim
n→∞
(
1 +
1
n + k
)n
, k ∈ N
Giải.
lim
n→∞
(
1 +
1
n + k
)n
=
lim
n→∞
(
1 +
1
n + k
)(n+k). nn+k
= e.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP. HCM — 2012. 74 / 80
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số Sử dụng giới hạn của số e
Ví dụ
Tìm giới hạn lim
n→∞
(
1 +
1
n + k
)n
, k ∈ N
Giải.
lim
n→∞
(
1 +
1
n + k
)n
=
lim
n→∞
(
1 +
1
n + k
)(n+k). nn+k
= e.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP. HCM — 2012. 74 / 80
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số Sử dụng giới hạn của số e
Ví dụ
Tìm giới hạn lim
n→∞
(
n
n + 1
)n
.
Giải.
lim
n→∞
(
1− 1
n + 1
)n
=
lim
n→∞
(
1− 1
n + 1
)−(n+1). n−(n+1)
= e−1.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP. HCM — 2012. 75 / 80
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số Sử dụng giới hạn của số e
Ví dụ
Tìm giới hạn lim
n→∞
(
n
n + 1
)n
.
Giải.
lim
n→∞
(
1− 1
n + 1
)n
=
lim
n→∞
(
1− 1
n + 1
)−(n+1). n−(n+1)
= e−1.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP. HCM — 2012. 75 / 80
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số Sử dụng giới hạn của số e
Ví dụ
Tìm giới hạn lim
n→∞
(
1 +
1
2n
)n
.
Giải.
lim
n→∞
(
1 +
1
2n
)n
= lim
n→∞
(
1 +
1
2n
)2n. n2n
= e
1
2 .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP. HCM — 2012. 76 / 80
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số Sử dụng giới hạn của số e
Ví dụ
Tìm giới hạn lim
n→∞
(
1 +
1
2n
)n
.
Giải.
lim
n→∞
(
1 +
1
2n
)n
= lim
n→∞
(
1 +
1
2n
)2n. n2n
= e
1
2 .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP. HCM — 2012. 76 / 80
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số Sử dụng giới hạn của số e
Ví dụ
Tìm giới hạn lim
n→∞
(
2n + 1
2n
)2n
.
lim
n→∞
(
2n + 1
2n
)2n
= lim
n→∞
(
1 +
1
2n
)2n
= e.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP. HCM — 2012. 77 / 80
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số Sử dụng giới hạn của số e
Ví dụ
Tìm giới hạn lim
n→∞
(
2n + 1
2n
)2n
.
lim
n→∞
(
2n + 1
2n
)2n
= lim
n→∞
(
1 +
1
2n
)2n
= e.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP. HCM — 2012. 77 / 80
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số chứng minh dãy số phân kỳ
Định lý
Nếu dãy (xn) hội tụ thì tất cả giới hạn riêng của
dãy (xn) đều bằng nhau và bằng giới hạn của dãy
số (xn).
Chú ý. Để chứng minh dãy (xn) phân kỳ ta làm
như sau:
Cách 1. Chỉ ra 2 dãy con hội tụ về 2 giới hạn
riêng khác nhau.
Cách 2. Chỉ ra 1 dãy con phân kỳ.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP. HCM — 2012. 78 / 80
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số chứng minh dãy số phân kỳ
Ví dụ
Chứng minh rằng dãy an = (−1)n2n + 3
3n + 1
phân kỳ.
Giải. Xét 2 dãy con với chỉ số chẵn và lẻ ta có
a2k = (−1)2k 2.2k + 3
3.2k + 1
→ 2
3
,
a2k+1 = (−1)2k+12.(2k + 1) + 3
3.(2k + 1) + 1
→ −2
3
khi n→∞. Vậy tồn tại 2 dãy con có giới hạn
khác nhau nên dãy đã cho phân kỳ.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP. HCM — 2012. 79 / 80
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số chứng minh dãy số phân kỳ
Ví dụ
Chứng minh rằng dãy an = (−1)n2n + 3
3n + 1
phân kỳ.
Giải. Xét 2 dãy con với chỉ số chẵn và lẻ ta có
a2k = (−1)2k 2.2k + 3
3.2k + 1
→ 2
3
,
a2k+1 = (−1)2k+12.(2k + 1) + 3
3.(2k + 1) + 1
→ −2
3
khi n→∞. Vậy tồn tại 2 dãy con có giới hạn
khác nhau nên dãy đã cho phân kỳ.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP. HCM — 2012. 79 / 80
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số chứng minh dãy số phân kỳ
THANK YOU FOR ATTENTION
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TP. HCM — 2012. 80 / 80