Bài giảng Giải tích mạng - Chương 4: Các ma trận mạng và phạm vi ứng dụng - Lê Kim Hùng (Phần 2)

4 1 
l
Vết cắt ràng 
buộc G 
Nút 
giả Nhánh 
cây giả 
 Hình 4.8 : Trình bày mạng điện thêm vào. (a) Nhánh cây giả nối tiếp với 
nhánh bù cây; (b) Thể hiện vết cắt ràng buộc 
ib 
it 
Bt 
Ut 
t 
Ub 
0
Bt 
Ut 
t 
Ub 
0
jb 
jt 
vy
B t t 
Ut 
Ub 
0
 (4.31)+ =
Trong đó: Vectơ dòng gốc và i
r
j
r
 được phân chia thành vectơ dòng bi
r
và bj
r
, nó liên 
kết với nhánh cây của mạng, vectơ dòng ti
r
và tj
r
 liên kết với nhánh bù cây. Vế trái của 
phương trình (4.31) là: 
ib+Btt it 
it 
jb+Btt jt 
jt
 + 
 GIẢI TÍCH MẠNG 
Trang 59 
Khi iBiBi ttttb
rrr
.. =+ và jBjBj ttttb
rrr
.. =+ 
Tuy nhiên: 
0. =tt iB
r
 và cáynhaïnh
t IjB
rr =.
Thì vế trái của phương trình (4.31) là: 
Inhánh cây 
it+jt
0
it 
jt 
Inhánh cây =+ 
Từ mỗi thành phần của vectơ ti
r
 là bằng nguồn dòng của nhánh cây giả, tt ji
rr + là vectơ 
trong đó mỗi thành phần của nó bằng tổng đại số nguồn dòng của nhánh cây giả với 
nhánh bù cây liên kết. Vì vậy: 
Inhán cây h=cáynhaïnhIˆ 
it+jt 
Và phương trình (4.30) trở thành. 
[ ]vyBI tcáynhaïnh rˆˆ = (4.32) 
Hiệu điện thế qua nhánh cây giả là bằng 0, vectơ điện áp của mạng điện thêm vào là: 
=cáynhaïnhEˆ 
Enhánh cây 
0 
Điện áp qua các nhánh của mạng điện gốc theo phương trình (4.21) là: 
cáynhaïnhEBv
rr .= 
Tuy nhiên: 
cáynhaïnhcáynhaïnh EBEB
rr
.ˆ. = 
Nên (4.33) cáynhaïnhEBv
rr .ˆ=
Thế phương trình (4.33) vào trong phương trình (4.32) ta được. 
[ ] cáynhaïnhtcáynhaïnh EByBI r.ˆˆˆ = (4.34) 
Phương trình đặc tính của mạng điện thêm vào là 
cáynhaïnhcáynhaïnhcáynhaïnh EYI
r
.ˆˆ = (4.35) 
Từ phương trình (4.34) và (4.35) ta có ma trận tổng dẫn của mạng điện thêm vào là: 
[ ]ByBY tcáynhaïnh ˆˆˆ = (4.36) 
Phương trình (4.36) có thể viết theo hình thức phân chia như sau: 
Y 
Y4 
2 
Y1 
Y3 
Bt 
Ut 
t 
Ub 
0
y lb 
yll
yb 
ylb
b
0 
Ut 
Ub 
Bt 
(4.37) =
 GIẢI TÍCH MẠNG 
Trang 60 
Với: [ybb]: Là ma trận tổng dẫn gốc của nhánh cây 
 [ybl] = [ylb]t: Là ma trận tổng dẫn gốc, mỗi thành phần là tổng dẫn tương hỗ 
giữa nhánh cây với nhánh bù cây. 
 [yll]: Là ma trận tổng dẫn gốc của nhánh bù cây. 
Phương trình (4.37) viết lại như sau [ ] [ ] [ ] [ ] tlltttbllbttbb ByBByyByY +++=1 (4.38) 
Từ [ ]ByBY tcáynhaïnh ˆ=
Hay 
Ub 
Btt 
Ynhánh cây = 
Ub 
Bt
y lb 
yll
yb 
ylb
b
Thì [ ] [ ] [ ] [ ] tlltttbllbttbbcáynhaïnh ByBByyByY +++= (4.39) 
Từ phương trình (4.38) và (4.39) ta có: 
Ynhánh cây = Y1
Ma trận tổng trở nhánh cây có thể thu được từ 
Znhánh cây = Y1-1
4.6.2. Ma trận tổng trở vòng và tổng dẫn vòng. 
Ma trận tổng trở vòng ZVòng cũng có thể thu được bằng cách dùng ma trận tổng trở vòng 
thêm vào C liên kết với các biến và các tham số của mạng điện gốc liên hệ với mạng 
điện thêm vào. Mạng điện thêm vào thu được bằng sự nối kết với một nhánh bù cây giả 
mắc song song với mỗi nhánh cây của mạng điện gốc. Giữ nguyên trật tự các thành 
phần liên kết trong mạng, tổng trở của mỗi nhánh bù cây giả bằng 0 và nguồn áp bằng 
nhưng ngược hướng với áp qua nhánh cây liên kết trình bày trên hình 4.9.a. Dòng qua 
nhánh bù cây giả bằng 0. Vòng hở có thể xem như vòng liên thông giữa nhánh cây và 
nhánh bù cây giả tưởng cho trên hình 4.9b. 
ˆ
 GIẢI TÍCH MẠNG 
Trang 61 
1 
vb 
vb 
i = 0 
Nhánh bù 
cây giả 
eb 
2 
1 
Vòng 
hở A 
3 4 
Nhánh bù 
cây giả 
0 
2 
(a) 
 (b) 
 Hình 4.9 : Trình bày mạng điện thêm vào. (a) Nhánh bù cây giả song song 
với nhánh cây; (b) Thể hiện vòng hở. 
Phương trình đặc tính của mạng điện thêm vào trong cấu trúc vòng tham khảo 
như sau: 
VoìngVoìngVoìng IZE ˆ.ˆˆ = 
Ma trận Zvòng sẽ thu được trực tiếp từ ma trận tổng trở VoìngZˆ của mạng điện thêm vào. 
Phương trình đặc tính cho mạng điện gốc là: [ ] izev rrr .=+ 
Nhân hai vế với ta thu được: tCˆ
[ ] izCeCvC ttt rrr .ˆ.ˆ.ˆ =+ (4.40) 
Phương trình (4.40) có thể được viết dưới dạng phân chia như sau: 
eb
et
v b
vt 
0 
Ut 
Ub 
Cbt 
0
Ut
Ub 
Cbt 
iz
0 
Ut 
Ub 
Cbt 
 + (4.41) = 
Trong đó: Vectơ điện áp gốc và vr er được phân chia thành vectơ điện áp và bv
r
be
r liên 
kết với nhánh cây của mạng và vectơ điện áp tv
r và te
r liên kết với nhánh bù cây. Vế trái 
của phương trình (4.41) là. 
 GIẢI TÍCH MẠNG 
Trang 62 
vb 
Cbtvb+vt 
e b 
Cbteb+et
 +
Khi vCvvC ttbtb
rrr .. =+ và eCeeC ttbtb rrr .. =+ 
Tuy nhiên. 
0. =vCt r và Voìngt EeC
rr =. 
Vế trái của phương trình (4.41) trở thành 
vb 
0
eb 
EVòng
vb+eb 
EVòng
+ = 
Các thành phần của là bằng nguồn áp của nhánh bù cây giả tưởng, là vectơ 
trong các nhánh, mỗi thành phần là bằng tổng đại số nguồn áp trong vòng hở. Vì vậy. 
bv
r
bb ev
rr +
vb + eb 
EVòng
 (4.42) 
=VoìngEˆ 
Và từ phương trình (4.40) và (4.42) 
 (4.43) [ ] izCE tVoìng r.ˆˆ =
Ta có dòng trong vòng hở bằng 0, vectơ dòng của mạng điện thêm vào là: 
0
IVòng
 =VoìngIˆ 
Dòng điện đi qua các nhánh của mạng điện gốc từ phương trình (4.27) là 
 VoìngICi
rr
.= 
Tuy nhiên: 
 VoìngVoìng ICIC ˆ.ˆ. =
r
Thì VoìngICi ˆ.ˆ=
r
 (4.44) 
Thay thế phương trình (4.44) vào trong phương trình (4.43) 
 [ ] VoìngtVoìng ICzCE ˆ.ˆˆˆ = (4.45) 
Phương trình đặc tính của mạng điện thêm vào là: 
 VoìngVoìngVoìng IZE ˆ.ˆˆ = (4.46) 
Từ phương trình (4.45) và (4.46) ta có ma trận tổng trở của mạng điện thêm vào là: 
 (4.47) [ ]CzCZ tVoìng ˆ.ˆˆ =
Phương trình (4.47) có thể được viết dưới dạng phân chia như sau: 
 GIẢI TÍCH MẠNG 
Trang 63 
Z2 
Z4 
Z 1 
Z3 
0 
Ut 
Ub 
Cbt 
zb 
zll
l
zb
zlb
b
Cb 
Ut 
Ub 
0 
(4.48) =
Với: [zbb]: Là ma trận tổng trở gốc của nhánh cây 
 [zbl] = [zlb]t: Là ma trận tổng trở gốc mỗi thành phần là tổng trở tương hỗ 
giữa nhánh cây và nhánh bù cây 
 [zll]: Là ma trận tổng trở gốc của nhánh bù cây 
Phương trình (4.48) viết lại như sau: 
 [ ] [ ] [ ] [ ]llbltbblbbbbtb zzCCzCzCZ +++=4 (4.49) 
Từ [ ]CzCZ tVoìng=
Hay 
Ubt 
Ut 
Ut 
Cb 
zll
zbl
zlb
zbbZVòng = 
Thì 
 [ ] [ ] [ ] [ ]llbltbblbbbbtbVoìng zzCCzCzCZ +++= (4.50) 
Từ phương trình (4.49) và (4.50) ta có 
 Zvòng = Z4
Ma trận tổng dẫn vòng có thể thu được từ 
 Zvòng = Z4-1 
4.6.3. Ma trận tổng dẫn vòng thu được từ ma trận tổng dẫn mạng thêm 
vào. 
Ma trận tổng dẫn vòng YVòng có thể thu được từ ma trận tổng dẫn thêm vào 
. Từ phương trình (4.36) và (4.47). cáynhaïnhYˆ
 [ ] [ ]ByBCzCYZ ttcáynhaïnhVoìng ˆˆ.ˆˆˆ.ˆ = (4.51) 
Hình thức phân chia là: 
Cb 
Ut 
Ub 
0
=
Btt +Cb 
Ut 
Ub 
0 
Bt 
Ut 
t 
Ub 
0
 = (4.52)tBC ˆ.ˆ
Dòng điện đi qua các nhánh của mạng gốc từ phương trình (4.27) là: 
 VoìngICi
rr
.= 
Nhân cả hai vế với Bt ta có: 
 Voìngtt ICBiB
rr
..= (4.53) 
Tuy nhiên, từ phương trình (4.18) vế trái của phương trình (4.53) là bằng 0. Vì vậy, 
phương trình (4.53) có thể viết lại như sau: 
 0)( =+ Voìngttb IBC
r
Suy ra: 
 GIẢI TÍCH MẠNG 
Trang 64 
 (4.54) ttb BC −=
Thay thế phương trình (4.54) vào trong phương trình (4.52) 
 (4.55) UBC t =ˆ.ˆ
Một cách tương tự ta có thể biểu diễn như sau: 
 (4.56) UBCt =ˆ.ˆ
Thay thế phương trình (4.55) vào trong (4.51),ta được: 
 [ ] [ ] ByzCYZ tcáynhaïnhVoìng ˆ..ˆˆ.ˆ =
Từ 
 [z].[y] = U 
Nên 
 BCYZ tcáynhaïnhVoìng ˆ.ˆˆ.ˆ =
Vì vậy theo phương trình (4.56) ta có 
 (4.57) UYZ cáynhaïnhVoìng =ˆ.ˆ
Phương trình (4.57) dưới hình thức phân chia như sau: 
Z2 
Z4 
Z1 
Z3 
Y2 
Y4 
Y1 
Y3 
0 
Ut 
Ub 
0 
 =
Nó biểu diễn: 
Z1 .Y1 + Z2 .Y3 = Ub (4.58) 
Z1 .Y2 + Z2 .Y4 = 0
Z3 .Y1 + Z4 .Y3 = 0 (4.59) 
Z3 .Y2 + Z4 .Y4 = Ut (4.60) 
Rút Z3 từ phương trình (4.59) 
Z3 = -Z4 .Y3 .Y1-1
Thay thế vào trong phương trình (4.60) 
-Z4 .Y3 .Y1-1 .Y2 + Z4 .Y4 = Ut
Hay 
Z4(Y4 - Y3 .Y1-1 .Y2) = Ut
Từ 
Z4 .YVòng = Ut 
Ta có: YVòng = Y4 - Y3 .Y1-1 .Y2
4.6.4. Ma trận tổng trở nhánh cây thu được từ ma trận tổng trở thêm vào: 
Ma trận tổng trở nhánh cây Znhánh cây có thể thu được từ ma trận tổng trở thêm 
vào VoìngZˆ . Kết hợp phương trình (4.58) và (4.59) ta có: 
(Z1- Z2 .Z4-1 .Z3) Y1 = Ub
Từ 
Znhánh cây .Y1 = Ub
Ta có 
 Znhánh cây = Z1 - Z2 .Z4-1 .Z3
 GIẢI TÍCH MẠNG 
Trang 65 
4.6.5. Thành lập ma trận tổng dẫn và tổng trở nhánh cây từ ma trận tổng 
dẫn và tổng trở nút. 
Sử dụng ma trận hướng đường - nhánh cây K, ma trận tổng dẫn nhánh cây Ynhánh cây có 
thể thu được từ ma trận tổng dẫn nút YNút. Từ phương trình (4.3) 
Ta có: Ab .Kt =Ub 
Và từ phương trình (4.5) ta có: 
 B1 = A1 . Kt
Nhân thêm với Kt vào sau A ta có: 
Ab 
At 
Ab K t 
At Kt 
A. Kt = Kt = (4.61) 
Thế phương trình (4.3) và (4.5) vào (4.61) ta có. 
Ub 
Ut 
 = B A . K t 
= 
(4.62) 
Đảo phương trình này ta được: 
 K .At = Bt 
Nhân phương trình này với [y].A.Kt ta có: 
K.At [y].A.Kt = Bt [y].A.Kt
Hay 
K.(At [y].A).Kt = Bt [y].B (4.63) 
Từ các phép biến đổi đơn giản ta có. 
 Ynhánh cây = K.YNút .Kt (4.64) 
Ma trận tổng trở nhánh cây là: 
 Znhánh cây = Y-1nhánh cây = (kt)-1.YNút-1.K-1 (4.65) 
Từ phương trình (4.4) 
 Kt = Ab-1 (4.66) 
Thế phương trình (4.66) vào (4.65) ta có: 
 Znhánh cây = Ab.ZNút .Abt
4.6.6. Thành lập ma trận tổng dẫn và tổng trở nút từ ma trận tổng dẫn và 
tổng trở nhánh cây. 
Phương trình (4.64) được nhân thêm K-1 vào phía trước và (Kt)-1 vào phía sau ta 
có. 
 K-1.Ynhánh cây (Kt)-1 = YNút (4.67) 
Thế phương trình (4.66) vào (4.6 
 YNút = Abt .Ynhánh cây.Ab
Vì 
 ZNút = - YNút-1
Nên: 
 ZNút = (Abt.Ynhánh cây.Ab)-1
Hay 
 ZNút = Kt .Znhánh cây .K 
7): 
 GIẢI TÍCH MẠNG 
Trang 66 
Các phép biến đổi phức tạp có được các ma trận mạng được trình bày trong bảng 4.3. 
G
ốc
Th
êm
 v
ào
V
òn
g 
N
út
N
há
nh
 c
ây
M
a 
trậ
n 
m
ạn
g 
[z
] 
[y
] 
= = 
 Z 1
 Z 3
 Z 2
 Z 4
 Y
1 Y
3 
 Y
2 
 Y
4 
 Z 4
= 
Z V
òn
g
 Y
4-
Y
3Y
1-
1 Y
2 
Z V
òn
g
Y
V
òn
g
Z N
út
Y
N
út
Z n
há
nh
 c
ây
Y
nh
án
h 
câ
y 
 A
bZ
N
út
A
bt
 K
t Z
nh
án
h 
câ
y 
.K
 K
Y
N
út
K
t 
 A
bt
Y
nh
án
h 
câ
y.
A
b 
Z 1
-Z
2Z
4-
1 Z
3 
 Y
1=
 Y
nh
án
h 
câ
y
Bả
ng
 4
.3
: M
a 
tr
ận
 m
ạn
g 
th
u 
đư
ợc
 b
ằn
g 
sự
 b
iế
n 
đổ
i p
hứ
c 
tạ
p.