Bài giảng Giải tích mạng - Chương 2: Giải phương trình vi phân bằng phương pháp số - Lê Kim Hùng

à i4 = 0,02418 vào trong phương trình vi phân, ta được: 
i’4 = 0,500 [ 1 + 3(0,02418)2]0,02418 = 0,47578 
Dự đoán và giá trị chính xác, chỉ khác nhau một số hàng thập phân vì vậy không đòi hỏi 
lặp lại nhiều lần. Kết quả sau từng bước được ghi vào bảng 2.4. Tại t9 giá trị dự đoán 
của dòng điện là 0,11742 nhưng trong khi giá trị chính xác là 0,11639. Việc thực hiện 
lặp lại bởi sự thay thế giá trị chính xác trong phương trình vi phân đã thu được i’9 = 
0,87888. Cứ lần lượt dùng trong công thức sửa đổi để thu được ước lượng thứ hai cho i9 
= 0,11640, trước khi kiểm tra giá trị chính xác. Thực hiện lặp lại trong tất cả các bước 
để đảm bảo yêu cầu chính xác. 
 GIẢI TÍCH MẠNG 
 Trang 24 
Th
ời
 S
ức
 D
òn
g 
e n
+ 
e n
+1
k 1
 k
2 
gi
an
 đ
iệ
n 
 đ
iệ
n 
 k
1 
 --
--
--
--
i n 
+ 
 --
- 
 k
2 
i n 
+ 
 --
- 
 k
3 
 e
n+
1 
i n 
+ 
k 3
k 4
 ∆i
n 
 t
n 
độ
ng
 i n
 2
 2
2 
 e
n 
0,
00
0 
 0
,0
00
 0
,0
00
00
 0
,0
00
00
 0
,0
62
5 
 0
,0
00
00
 0
,0
01
56
 0
,0
00
78
 0
,0
01
54
 0
,1
25
 0
,0
01
54
 0
,0
03
09
0,
00
15
5 
0,
02
5 
 0
,1
25
 0
,0
01
55
 0
,0
03
09
 0
,1
87
5 
 0
,0
03
10
 0
,0
04
61
 0
,0
03
86
 0
,0
04
59
 0
,2
50
 0
,0
06
14
 0
,0
06
10
0,
00
46
0 
0,
05
0 
 0
,2
50
 0
,0
06
15
 0
,0
06
10
 0
,3
12
5 
 0
,0
09
20
 0
,0
07
58
 0
,0
09
94
 0
,0
07
56
 0
,3
75
 0
,0
13
71
 0
,0
09
03
0,
00
75
7 
0,
07
5 
 0
,3
75
 0
,0
13
72
 0
,0
09
03
 0
,4
37
5 
 0
,0
18
24
 0
,0
10
48
 0
,0
18
96
 0
,0
10
46
 0
,5
00
 0
,0
24
18
 0
,0
11
89
0,
01
04
7 
0,
10
0 
 0
,5
00
 0
,0
24
19
 0
,0
11
89
 0
,5
62
5 
 0
,0
30
14
 0
,0
13
31
 0
,0
30
84
 0
,0
13
29
 0
,6
25
 0
,0
37
48
 0
,0
14
68
0,
01
33
0 
0,
12
5 
 0
,6
25
 0
,0
37
49
 0
,0
14
68
 0
,6
87
5 
 0
,0
44
83
 0
,0
16
06
 0
,0
45
52
 0
,0
16
04
 0
,7
50
 0
,0
53
53
 0
,0
17
40
0,
01
60
5 
0,
75
0 
 0
,0
53
54
 0
,0
17
40
 0
,8
12
5 
 0
,0
62
24
 0
,0
18
74
 0
,0
62
91
 0
,0
18
72
 0
,8
75
 0
,0
72
26
 0
,0
20
04
0,
01
87
3 
0,
17
5 
 0
,8
75
 0
,0
72
27
 0
,0
20
04
 0
,9
37
5 
 0
,0
82
29
 0
,0
21
34
 0
,0
82
94
 0
,0
21
32
 1
,0
00
 0
,0
93
59
 0
,0
22
60
0,
02
13
3 
0,
20
0 
 1
,0
00
 0
,0
93
60
 0
,0
22
60
 1
,0
00
0 
 0
,1
04
90
 0
,0
22
29
 0
,1
04
75
 0
,0
22
30
 1
,0
00
 0
,1
15
90
 0
,0
21
99
0,
02
23
0 
0,
22
5 
 1
,0
00
 0
,1
15
90
 0
,0
21
99
 1
,0
00
0 
 0
,1
26
90
 0
,0
21
67
 0
,1
26
74
 0
,0
21
68
 1
,0
00
 0
,1
37
58
 0
,0
21
37
0,
02
16
8 
0,
25
0 
 1
,0
00
 0
,1
37
58
 0
,0
21
37
 1
,0
00
0 
 0
,1
48
27
 0
,0
21
05
 0
,1
48
11
 0
,0
21
05
 1
,0
00
 0
,1
58
63
 0
,0
20
73
0,
02
10
5 
0,
27
5 
 1
,0
00
 0
,1
58
63
 0
,0
20
73
 1
,0
00
0 
 0
,1
69
00
 0
,0
20
41
 0
,1
68
84
 0
,0
20
42
 1
,0
00
 0
,1
79
05
 0
,0
20
09
0,
02
04
1 
B
ản
g 
2.
3:
 G
iả
i b
ằn
g 
ph
ươ
ng
 p
há
p 
Ru
ng
e-
K
ut
ta
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
 Bảng 2.4: Bài giải bằng phương pháp của Milne. 
 GIẢI TÍCH MẠNG 
 Trang 25 
N 
 Thời gian Sức điện Dòng điện Dòng điện 
 tn động en (dự đoán) in i’n (sửa đổi) 
in
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
 0,100 0,500 0,02418 0,47578 0,02419 
 0,125 0,625 0,03748 0,58736 0,03748 
 0,150 0,750 0,05353 0,69601 0,05353 
 0,175 0,875 0,07226 0,80161 0,07226 
 0,200 1,000 0,09359 0,90395 0,09358 
 0,225 1,000 0,11742 0,87772 0,11639 
 0,87888 0,11640+ 
 0,250 1,000 0,13543 0,85712 0,13755 
 0,85464 0,13753+ 
 0,275 1,000 0,16021 0,82745 0,15911 
 0,82881 0,15912+ 
 0,300 1,000 0,17894 0,80387 0,17898 
 0,80382 0,17898+
 + : giá trị sửa đổi thứ hai thu được bởi vòng lặp 
d. Phương trình dùng phương pháp Picard hàm tương đương khởi đầu cho i, cận i0 = 0 
là: 
 [ ]dtiiteii t∫ −−+= 0 30 3)(
Thay thế e(t) = 5t và giá trị ban đầu i0 = 0 
 ∫ == t tdtti 0
2
)1(
2
55 
Thay i(1) cho i trong phương trình tích phân, thu được: 
56
375
6
5
2
5
8
375
2
55
732
0
62
)2( tttdtttti
t −−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−= ∫ 
Quá trình tiếp tục, ta được: 
 dttttttti
t∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−+−+−=
0
87632
)3( ....
8
125
7
375
8
375
6
5
2
55 
 ....
56
375
24
5
6
5
2
5 7432 +−+−= tttt 
 dttttttti
t∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++−−+−=
0
76432
)4( ....
7
375
8
375
24
5
6
5
2
55 
 ....
56
375
2424
5
6
5
2
5 75432 +−−+−= ttttt 
Giới hạn chuổi sau số hạn bậc bốn là: 
24
5
6
5
2
5 432 ttti +−= 
Nếu hàm dùng xấp xỉ i chính xác bốn số thập phân với số hạn xấp xỉ đầu tiên không chú 
ý đến sai số lớn thì . 
5log t [ log0,00120 
log t [ 9,415836 - 10 
t [ 0,2605 
 GIẢI TÍCH MẠNG 
 Trang 26 
Giá trị giới hạn là hàm xấp xỉ hợp lý. Vì vậy, trong ví dụ này hàm có thể dùng chỉ để 
thu được y cho trong khoảng 0 [ t [ 0,2; Bởi vì cho t > 0,2 thì e(t) = 1. Cho nên, hàm 
xấp xỉ khác phải chính xác cho trong khoảng 0,2 [ t[ 0,3 như sau: 
 ( )dtiii t∫ −−+= 2,0 33109367,0
 ( ){ } 0,2) -0,90386(t 0,09367 +=−−+= ∫ dti t 2,0 3)1( 09367,0309367,0109367,0
( ) [ ]{ }dttti t∫ −+−−−−+= 2,0 3)2( )2,0(90386,009367,032,090386,009367,0109367,0
( ){ }dttttt∫ −−−−−−+= 2,0 32 )2,0(45089,22,076189,0)2,0(07897,1190386,009367,0
dtttttx
x
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ −−−−−−−
+=
4
)2,0(45089,2
3
)2,0(76189,0
2
)2,0(07897,1)2,0(
90386,009367,0
432 
Cuối cùng, ta có: 
i(3) = 0,09367 + 0,90386(t - 0,2) - 0,48762(t - 0,2)2 - 
- 0,05420(t - 0,2)3 - 0,30611(t - 0,2)4 + 0,86646(t - 0,2)5 .... 
Chuỗi giới hạn, hàm xấp xỉ là: 
 i = 0,09367 + 0,90386(t - 0,2) - 
- 0,48762(t - 0,2)2 - 0,05420(t - 0,2)3 - 0,30611(t - 0,2)4 
Cho i hiệu chỉnh trong bốn số thập phân, ta có: 
0,86646(t - 0,2)5 [ 0,00005 
(t - 0,2) [ 0,14198 
Hàm hợp lý cho trong khoảng 0,2 [ t [0,342 
Giá trị thu được bằng phương pháp Picard được đưa vào trong bảng 2.5. 
2.5. SO SÁNH CÁC PHƯƠNG PHÁP. 
Trong bài giải của phương trình vi phân hàm quan hệ giữa biến phụ thuộc y và biến độc 
lập x cần tìm để thỏa mãn phương trình vi phân. Bài giải trong giải tích là rất khó và có 
một số vấn đề không thể tìm được. Phương pháp số dùng để tìm lời giải bằng cách biểu 
diễn y như một số hàm của biến độc lập x từ mỗi giá trị xấp xỉ của y có thể thu được 
bằng sự thay thế hoàn toàn hay biểu diễn tương đương quan hệ giữa các giá trị liên tiếp 
của y xác định cho việc chọn giá trị của x. Phương pháp Picard là phương pháp số kiểu 
đầu tiên. Phương pháp Euler, Runge-Kutta, và Milne là ví dụ cho kiểu thứ hai. 
Khó khăn chủ yếu phát sinh từ phương pháp xấp xỉ y bằng hàm số, như phương pháp 
Picard, tìm thấy trong lần lặp lại sự tích phân hiện tại phải thực hiện để thu được hàm 
thỏa mãn. Vì vậy phương pháp này là không thực tế trong hầu hết các trường hợp và ít 
được dùng. 
 GIẢI TÍCH MẠNG 
 Trang 27 
Bảng 2.5: Giải bằng phương pháp Picard. 
n Thời gian tn Sức điện động en Dòng điện in
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
0 
0,025 
0,050 
0,075 
0,100 
0,125 
0,150 
0,175 
0,200 
0,225 
0,250 
0,275 
0,300 
0 
0,125 
0,250 
0,375 
0,500 
0,625 
0,750 
0,875 
1,000 
1,000 
1,000 
1,000 
1,000 
0 
0,00155 
0,00615 
0,01372 
0,02419 
0,03749 
0,05354 
0,07229 
0,09367 
0,11596 
0,13764 
0,15868 
0,17910 
Các phương pháp theo kiểu thứ hai đòi hỏi phép tính số học đơn giản đo đó thích hợp 
cho việc giải bằng máy tính số của các phương trình vi phân. Trong trường hợp tổng 
quát, đơn giản quan hệ đòi hỏi dùng trong một khoảng nhỏ cho các biến độc lập nhưng 
ngược lại nhiều phương pháp phức tạp có thể dùng trong khoảng tương đối lớn tốn 
nhiều công sức trong việc chính xác hóa lời giải. Phương pháp Euler là đơn giản nhất, 
nhưng trừ khi khoảng tính rất nhỏ thì dùng nó cũng không đúng với thực tế. Phương 
pháp biến đổi Euler cũng sử dụng đơn giản và có thêm thuận lợi kiểm tra hệ thống vốn 
có trong quá trình thu được để cải thiện sự ước lượng cho y. Phương pháp có sự chính 
xác giới hạn, vì vậy đòi hỏi dùng khoảng giá trị nhỏ cho biến độc lập. Phương pháp 
Runge-Kutta đòi hỏi số rất lớn của phép tính số học, nhưng kết quả cũng không chính 
xác. 
Phương pháp dự đoán sửa đổi của Milne là ít khó khăn hơn phương pháp Runge-Kutta và so 
sánh được độ chính xác của bậc h5. Vì vậy, phương pháp của Milne đòi hỏi có bốn giá trị ban 
đầu cho biến phụ thuộc phải thu được bằng một số phương pháp khác, hầu như phương pháp 
biến đổi Euler hay phương pháp Runge-Kutta, là như nhau. Trong sự ứng dụng máy tính cho 
phương pháp số. Chương trình đòi hỏi bắt đầu lời giải như phương pháp của Milne. Lời giải 
tiếp tục dùng công thức khác cho dự đoán và sau đó sửa chữa giá trị của y cung cấp quá trình 
hệ thống cho kiểm tra tốt bằng sửa chữa ước lượng ban đầu. Nếu sự khác nhau giữa dự đoán và 
giá trị chính xác là đáng kể, khoảng tính có thể được rút gọn lại. Khả năng trong phương pháp 
của Milne không có hiệu lực trong phương pháp Runge-Kutta. 
 GIẢI TÍCH MẠNG 
 Trang 28 
Bài tập: 
2.1. Giải phương trình vi phân. 
yx
dx
dy −= 2 
Cho 0 [ t [ 0,3; với khoảng phương trình 0,05 và giá trị ban đầu x0 = 0 và y0 = 1, bằng 
các phương pháp số sau đây. 
Euler 
Biến đổi Euler. 
Picard 
Xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta 
Milne dùng giá trị bắt đầu thu được phương pháp Runge-Kutta 
2.2. Giải bằng phương pháp biến đổi Euler hệ phương trình vi phân. 
y
dt
dx 2= 
2
x
dt
dy −= 
Cho 0 [ t [ 1,0; Với khoảng phương trình 0,2 và giá trị ban đầu i0 = 0,x0 = 0 và 
y0 = 1 
2.3. Giải bằng xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta phương trình vi phân bậc hai. 
y’’ = y + xy’ 
Cho 0 [ x [ 0,4; Với khoảng phương trình 0,1 và giá trị ban đầux0 = 0,y0 = 1, và y’0 = 0