Bài giảng Giải tích mạng - Chương 1: Đại số ma trận ứng dụng trong giải tích mạng - Lê Kim Hùng

í dụ: 
463
625
351
=A 
Chuyển vị ma trận đối xứng thì AT = A, nghĩa là ma trận không thay đổi. 
Ma trận xiên - phản đối xứng: Là ma trận vuông có A = - AT. Các phần tử ngoài đường chéo 
chính tương ứng bằng giá trị đối của nó (aịj = - aji) và các phần tử trên đường chéo chính bằng 
0. 
Ví dụ: 
063
605
350
−
−
−
=A 
Ma trận trực giao: Là ma trận có ma trận chuyển vị chính là nghịch đảo của nó. (AT .A = U = 
A .AT với A là ma trận vuông và các phần tử là số thực). 
Ma trận phức liên hợp: Là ma trận nếu thế phần tử a + jb bởi a - jb thì ma trận mới A* là ma 
trận phức liên hợp. 
Cho ma trận A thì ma trận phức liên hợp là A* 
1124
53
jj
j
A
++
=
1124
53
jj
j
A −−
−=∗ và 
-Nếu tất cả các phần tử của A là thực, thì A = A*
-Nếu tất cả các phần tử của A là ảo, thì A = - A*. 
Ma trận Hermitian (ma trận phức đối): Là ma trận vuông với các phần tử trên đường chéo 
chính là số thực còn các cặp phần tử đối xứng qua đường chéo chính là những số phức liên 
hợp, nghĩa là A = (A*)t. 
532
324
j
j
A +
−= 
 GIẢI TÍCH MẠNG 
Ma trận xiên - Hermitian (ma trận xiên - phức đối): Là ma trận vuông với các phần tử trên 
đường chéo chính bằng 0 hoặc toàn ảo còn các cặp phần tử đối xứng qua đường chéo chính là 
những số phức, tức A = - (A* t) . 
032
320
j
j
A −−
−= 
*
 Trang 4 
Nếu ma trận vuông phức liên hợp có (A ) t. A = U = A. (A* t) thì ma trận A được gọi là ma trận 
đơn vị. Nếu ma trận đơn vị A với các phần tử là số thực được gọi là ma trận trực giao. 
Bảng 1.1: Các dạng ma trận. 
Kí hiệu Dạng ma trận Kí hiệu Dạng ma trận 
A = -A 
A = At
A = - At
A = A*
A = - A*
Không 
Đối xứng 
Xiên-đối xứng 
Thực 
Hoàn toàn ảo 
A = (A* t) Hermitian 
A = - (A*)t Xiên- Hermitian 
At A = U Trực giao 
(A*)t A = U Đơn vị 
1.2. CÁC ĐỊNH THỨC: 
1.2.1. Định nghĩa và các tính chất của định thức: 
Cho hệ 2 phương trình tuyến tính 
a11x1 + a12x = k2 1 (1) (1.1) 
a21x1 + a22x = k2 2 (2) 
 từ phương trình (2) thế vào phương trình (1), giải được: Rút x2
21122211
212122
1 aaaa
kakax −
−= 
Suy ra: 
21122211
121211
2 aaaa
kakax −
−= 
Biểu thức (a11a22 - a12a21) là giá trị định thức của ma trận hệ số A. Trong đó |A| là định thức. 
2221
1211||
aa
aa
A = 
Giải phương trình (1.1) bằng phương pháp định thức ta có: 
21122211
212122222
121
1 ..
..
aaaa
kaka
A
ak
ak
x −
−==
21122211
121211221
111
2 ..
..
aaaa
kaka
A
ka
ka
x −
−== và 
Tính chất của định thức: 
a. Giá trị của định thức bằng 0 nếu: 
 - Tất cả các phần tử của hàng hoặc cột bằng 0. 
 - Các phần tử của 2 hàng (cột) tương ứng bằng nhau. 
 - Một hàng (cột) là tương ứng tỉ lệ của 1 hoặc nhiều hàng (cột). 
b. Nếu ta đổi chổ 2 hàng của ma trận vuông A cho nhau ta được ma trận vuông B và có det(B) 
= - det(A). 
 c. Giá trị của định thức không thay đổi nếu: 
 - Tất cả các hàng và cột tương ứng đổi chổ cho nhau. 
 - Cộng thêm k vào 1 hàng (cột) thứ tự tương ứng với các phần tử của hàng (cột) đó. 
 GIẢI TÍCH MẠNG 
d. Nếu tất cả các phần tử của hàng (cột) nhân với thừa số k, thì giá trị của định thức là được 
nhân bởi k. 
 e. Tích của các định thức bằng tích của từng định thức. | A.B.C| = |A| .|B| .|C|. 
 f. Định thức tổng khác tổng các định thức. |A + B - C| = |A| + |B| -|C|. 
1.2.2. Định thức con và các phần phụ đại số. 
 Xét định thức: 
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A = 
Chọn trong định thức này k hàng, k cột bất kỳ với 1 [ k [ n. Các phần tử nằm phía trên kể từ 
giao của hàng và cột đã chọn tạo thành một định thức cấp k, gọi là định thức con cấp k của A. 
Bỏ k hàng và k cột đã chọn, các phần tử còn lại tạo thành 1 định thức con bù của định thức A. 
 Phần phụ đại số ứng với phần tử aij của định thức A là định thức con bù có kèm theo 
dấu (-1)i+j. 
3332
1312
3332
131212
21 )1( aa
aa
aa
aa
A −=−= + 
Mối liên hệ giữa các định thức và phần phụ: 
- Tổng các tích của các phần tử theo hàng (cột) với phần phụ tương ứng bằng định thức |A|. 
- Tổng các tích của các phần tử theo hàng (cột) với phần phụ tương ứng trong hàng (cột) khác 
bằng 0. 
1.3. CÁC PHÉP TÍNH MA TRẬN. 
1.3.1. Các ma trận bằng nhau: 
Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu tất cả các phần tử của ma trận A bằng tất cả các 
phần tử của ma trận B (a ∀ i, j; i, j = 1, 2, .. n). ij = bịj
1.3.2. Phép cộng (trừ) ma trận. 
Cộng (trừ) các ma trận phái có cùng kích thước m x n. Ví dụ: Có hai ma trận A[a
 Trang 5 
ij ] và B[bmn ij 
] thì tổng và hiệu của hai ma trận này là ma trận C[cmn ij ] với cmn ij = aij6 bij 
Mở rộng: R = A + B + C +..... + N với rij = aij 6 bij6 cij 6 ...6 nij . 
Phép cộng (trừ) ma trận có tính chất giao hoán: A + B = B + A. 
Phép cộng (trừ) ma trận có tính chất kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C. 
1.3.3. Tích vô hướng của ma trận: 
k.A = B. Trong đó: bij = k .aij ∀ i & j . 
Tính giao hoán: k.A = A.k.. 
Tính phân phối: k (A + B) = k.A + k..B = (A + B) k. 
 (với A và B là các ma trận có cùng kích thước, k là 1 hằng số ). 
1.3.4. Nhân các ma trận: 
Phép nhân hai ma trận A.B = C. Nếu ma trận A có kích thước m x q và ma trận B có kích 
thước q x n thì ma trận tích C có kích thước m x n. Các phần tử cij của ma trận C là tổng các 
tích của các phần tử tương ứng với i hàng của ma trận A và j cột của ma trận B là: 
 GIẢI TÍCH MẠNG 
 c
 Trang 6 
ij = ai1 .b1j + a .bi2 2j + ... + aiq .bqj
 Ví dụ: 
2212121121321131
2212121121221121
2212121121121111
2221
1211
....
....
....
babababa
babababa
babababa
bb
bb
++
++
++
=
3231
2221
1211
.
aa
aa
aa
BA = x 
 B.A Phép nhân ma trận không có tính chất hoán vị: A.B ≠
Phép nhân ma trận có tính chất phân phối đối với phép cộng: 
A (B + C) = A.B + A.C. 
Phép nhân ma trận có tính chất kết hợp: A (B.C) = (A.B) C = A.B.C. 
Tích 2 ma trận A.B = 0 khi A = 0 hoặc B = 0. 
Tích C.A = C.B khi A = B. 
Nếu C = A.B thì CT T = B .AT 
1.3.5. Nghịch đảo ma trận: 
 Cho hệ phương trình: 
a11x1 + a12x2 + a13x3 = y1
 a21x1 + a22x2 + a23x3 = y2 (1.2) 
 a31x1 + a32x2 + a33x3 = y3
Viết dưới dạng ma trận A.X = Y 
Nếu nghiệm của hệ trên là duy nhất thì tồn tại một ma trận B là nghịch đảo của ma trận A. 
Do đó: X = B.Y (1.3) 
Nếu định thức của ma trận A ≠ 0 thì có thể xác định x như sau: i
3
31
2
21
1
11
1 yA
A
y
A
A
y
A
A
x ++= 
3
32
2
22
1
12
2 yA
A
y
A
A
y
A
A
x ++= 
3
33
2
23
1
13
3 yA
A
y
A
A
y
A
A
x ++= 
Trong đó: A11, A12, .... A33 là định thức con phụ của a11, a12, a13 và |A| là định thức của ma trận 
A. Ta có: 
A
A
B jiji = i, j = 1, 2, 3. 
Nhân ma trận A với nghịch đảo của nó ta có A.A-1 = A-1.A = U 
Rút X từ phương trình (1.3) sau khi đã nhân cả hai vế cho A-1. 
A.X = Y 
A-1 -1.A.X = A .Y 
U.X = A-1.Y 
Suy ra: X = A-1 .Y 
Nếu định thức của ma trận bằng 0, thì ma trận nghịch đảo không xác định (ma trận suy biến). 
Nếu định thức khác 0 gọi là ma trận không suy biến và là ma trận nghịch đảo duy nhất. 
Giả sử 2 ma trận A và B cùng cấp và là khả đảo lúc đó: 
-1(A.B) = B-1.A-1
Nếu AT khả đảo thì (AT -1) cũng khả đảo: 
 (At -1) = (A-1 t) 
 GIẢI TÍCH MẠNG 
1.3.6. Ma trận phân chia: 
A 
A1 
A3 
A2 
A4 
= 
Tổng các ma trận đã phân chia được biểu diễn bởi ma trận nhỏ bằng tổng các ma trận nhỏ 
tương ứng. 
 A1 
A3 
A2 
A4 
B1 
B3 
B2 
B4 
A16B1 
A36B3 
A26B3 
A46B3 6 = 
Phép nhân được biểu diễn như sau: 
A1 
A3 
A2 
A4 
B1 
B3 
B2 
B4 
C1 
C3 
C2 
C4 
= 
Trong đó: 
 = A .B + A .BC1 1 1 2 3 
 C = A .B + A .B2 1 2 2 4
 C = A .B + A .B3 3 1 4 3
 C = A .B + A .B4 3 2 4 4
Tách ma trận chuyển vị như sau: 
A 
A1 
A3 
A2 
A4 
= A
T A 1 
AT3 
A 2 
AT4 
= 
T T
Tách ma trận nghịch đảo như sau: 
A 
A1 
A3 
A2 
A4 
= A
-1 B1 
B3 
B2 
B4 
= 
Trong đó: 
-1 -1 = (A - A .A .A )BB1 1 2 4 3
-1 B = -B
 Trang 7 
2 1.A .A2 4
-1 B = -A .A .B3 4 3 1
-1 -1 B = A - A .A .B4 4 4 3 2 
(với A và A phải là các ma trận vuông). 1 4
1.4. SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH VÀ HẠNG CỦA MA 
TRẬN: 
1.4.1. Sự phụ thuộc tuyến tính: 
Số cột của ma trận A(m x n) có thể viết theo n vectơ cột hoặc m vectơ hàng. 
{c1}{c } ..... {c1 1} 
{r1}{r } ...... {r1 1} 
Phương trình vectơ cột thuần nhất. 
 GIẢI TÍCH MẠNG 
p {c } + p {c
 Trang 8 
1 1 2 2} + .... + p {c } = 0 (1.4) n n
Khi tất cả Pk = 0 (k = 1, 2, ...., n). 
Tương tự vectơ hàng là không phụ thuộc tuyến tính nếu. 
qr = 0 (r = 1, 2, ..., n). 
{r } + qq1 1 2{r2} + ...... + q {r } = 0 (1.5) n n
 ≠ 0 thỏa mãn phương trình (1.4), thì vectơ cột là tuyến tính. Nếu pk
Nếu qr 0 thỏa mãn phương trình (1.5), thì vectơ hàng là tuyến tính. ≠
Nếu vectơ cột (hàng) của ma trận A là tuyến tính, thì định thức của A = 0. 
1.4.2. Hạng của ma trận: 
Hạng của ma trận là cấp cao nhất mà tất cả các định thức con khác 0. 
 0 [ r(A) [ min(m, n) với A là ma trận kích thước m x n. 
1.5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH: 
Hệ phương trình tuyến tính của m phương trình trong n hệ số được viết: 
 a11x1 + a12x + .... + a2 1nx = yn 1
a21x1 + a22x2 + .... + a2nx = yn 2
 ........................................ (1.6)
 a xm1 1 + a x m2 2 + .... + a xmn n = ym
Trong đó: 
a i j: Là hệ số thực hoặc phức ; x : Là biến số ; y : Là hằng số của hệ. j j
Hệ phương trình được biểu diễn ở dạng ma trận như sau: 
A. X = Y (1.7) 
Ma trận mở rộng: 
mmnmm
n
n
yaaa
yaaa
yaaa
A
....
....................
....
....
ˆ
21
222221
111211
= 
Nếu y = 0 thì hệ phương trình gọi là hệ thuần nhất, nghĩa là: A.X = 0. i
 0 thì hệ gọi là hệ không thuần nhất. Nếu một hoặc nhiều phần tử của vectơ y ≠i
Định lý: 
Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là hạng của ma trận hệ số bằng 
hạng của ma trận mở rộng. 
Hệ phương trình tuyến tính vô nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn hạng của 
ma trận mở rộng. 
Nếu hạng của ma trận r(A) = r(Â) = r = n (số ẩn) của hệ phương trình tuyến tính (1.6) thì hệ có 
nghiệm duy nhất (hệ xác định). 
Nếu r(A) = r(Â) = r < n thì hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm và các thành phần của 
nghiệm phụ thuộc (n - r) tham số tùy ý.