Bài giảng Giải tích hệ thống điện nâng cao - Chương 1: Ma trận tổng dẫn - Võ Ngọc Điều

cho Y11, sẽ có
Bước 2: Nhân phương trình trên cho Y21, Y31 và Y41, và trừ 
các kết quả lần lượt từ các phương trình (1) đến (4), ta có
V
Y
Y
V
Y
Y
V
Y
Y
V
Y
I1
1 2
1 1
2
1 3
1 1
3
1 4
1 1
4
1 1
1
1
+ + + =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Y
Y Y
Y
V Y
Y Y
Y
V Y
Y Y
Y
V I
Y
Y
I
Y
Y Y
Y
V Y
Y Y
Y
V Y
Y Y
Y
V I
Y
Y
I
Y
Y Y
Y
V Y
Y Y
Y
V Y
Y Y
Y
V I
Y
Y
2 2
2 1 1 2
1 1
2 2 3
2 1 1 3
1 1
3 2 4
2 1 1 4
1 1
4 2
2 1
1 1
1
3 2
3 1 1 2
1 1
2 3 3
3 1 1 3
1 1
3 3 4
3 1 1 4
1 1
4 3
3 1
1 1
1
4 2
4 1 1 2
1 1
2 4 3
4 1 1 3
1 1
3 4 4
4 1 1 4
1 1
4 4
4 1
− + − + − = −
− + − + − = −
− + − + − = −
1 1
1I
35
Phương Pháp Khử Liên Tiếp
• Quá trình khử bất ký một nút nào cũng đều thực hiện theo 2 
bước trên.
• Tổng quát, khi khử một nút p (tức hàng p, cột p trong ma trận), 
các phần tử (nút) còn lại ở hàng i cột j (đều khác p) sẽ được tính 
như sau:
36
pp
pjip
cuijmoiij Y
YY
YY −= )()(
8/23/2014
19
Phương Pháp Khử Liên Tiếp
-j0.8
-j4.0
-j4.0
-j0.8
-j8.0
-j 5.0
-j2.5
100 900. ∠ − 0 68 1350. ∠ −
1
2
4
0
+
-
+
-
3
++
+ +-
-
-
-
bI
I a
I c
I d
eII f
I g
Mạng ban đầu
37
Ví dụ:
Phương Pháp Khử Liên Tiếp
Mạng tương đương sau khi nút 
1 được khử
Mạng tương đương sau khi nút 
2 được khử
Mạng tương 
đương sau khi nút 
3 được khử
4
0
-j1.43028135738 110 74660. .∠ −
+
-
V4
38
8/23/2014
20
Khử Nút (Khử Kron)
Xem xét phương trình:












=
























4
3
2
4
3
2
1
44434241
34333231
24232221
14131211 0
I
I
I
V
V
V
V
YYYY
YYYY
YYYY
YYYY
Nếu I1 = 0 thì nút này có thể bị khử bỏ:
39
Khử Nút (Khử Kron)
40
44
11
1441
443
11
1341
432
11
1241
42
34
11
1431
343
11
1331
332
11
1231
32
24
11
1421
243
11
1321
232
11
1221
22
)()()(
)()()(
)()()(
IV
Y
YYYV
Y
YYYV
Y
YYY
IV
Y
YYYV
Y
YYYV
Y
YYY
IV
Y
YYYV
Y
YYYV
Y
YYY
=−+−+−
=−+−+−
=−+−+−
pp
pkjp
oldjknewjk Y
YY
YY −= )()(
• Tổng quát:
0414313212111 =+++ VYVYVYVY
4
11
14
3
11
13
2
11
12
1 VY
YV
Y
YV
Y
YV −−−=
8/23/2014
21
Khử Nút (Khử Kron)
41
-j0.8
-j6.25
-j6.25
-j0.8
-j8.0
-j 5.0
-j2.5
1 00 90 0. ∠ −
0 6 8 13 5 0. ∠ −
1
2
4
0
+
-
+
-
3
++
+ +-
-
-
-
I b
I a
I c
I d
I eI f
I g
bV eV
dV
cV fV
aV gV
j3.75
Ví dụ: Khử nút 2 và 1
Khử Nút (Khử Kron)
42
1 2 3 4
1
2
3
4












−∠
−∠
=
























−
−
−
−
0
0
4
3
2
1
13568.0
9000.1
0
0
30.8000.550.2
080.550.250.2
00.550.225.1975.11
50.250.275.1175.16
V
V
V
V
jjj
jjj
jjjj
jjjj
Phương trình ma trận: YV = I
8/23/2014
22
Khử Nút (Khử Kron)
43










−∠
−∠=




















−
−
−
0
0
4
3
1
13568.0
9000.1
0
00130.764935.055195.5
64935.047432.502597.4
55195.502597.457791.9
V
V
V
jjj
jjj
jjj
1 3 4
1
3
4
57792.9
25.19
)75.11)(75.11(75.16
22
2112
11)(11 jj
jjj
Y
YYYY new −=
−
−−=−=
02579.4
25.19
)50.2)(75.11(50.2
22
2312
13)(13 jj
jjj
Y
YYYY new −=
−
−−=−=
55195.5
25.19
)00.5)(75.11(50.2
22
2412
14)(14 jj
jjj
Y
YYYY new −=
−
−−=−=
Khử Nút (Khử Kron)
44
-j0.8
-j4.02597
-j0.8
-j5.55195
1 00 90 0. ∠ − 0 68 135
0
. ∠ −
1
4
0
3
-j0.64935
Mạng đã được khử bằng phương pháp Kron (nút 2)
8/23/2014
23
Khử Nút (Khử Kron)
45
Tiếp tục khử nút 1:
Khử Nút (Khử Kron)
46
Sơ đồ sau khi khử tiếp nút 1
8/23/2014
24
Thừa Số Hóa Tam Giác
47
Y b u s L U=
L
Y
Y Y
Y Y Y
Y Y Y Y
=








11
21 22
1
31 32
1
33
2
41 42
1
43
2
44
3
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
U
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
=














1 1 2
1 1
1 3
1 1
1 4
1 1
1 2 3
1
2 2
1
2 4
1
2 2
1
1 3 4
2
3 3
2
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Y Y
Y Y
Y
Y Y
Y Y
Y
Y Y
Y Y
Y
j k jk
j k
j k j k
j k
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 1 1
1 1
2 1 2
1
2
1
2 2
1
4 4
3
4 4
2 4 3
2
3 4
2
3 3
2
= −
= −
= −
cho j và k = 2, 3, 4
cho j và k = 3, 4
ILUVIYV =⇒=
cho j và k = 4
Thừa Số Hóa Tam Giác
48
ILUVIYV =⇒=
• Để giải bài toán, thông qua phương pháp thừa số hóa tam giác 
giải gián tiếp:
- Giải thay thế theo chiều tiến (forward)  V’
- Giải UV = V’ theo chiều lùi (backward)  V
Đặt: UV = V’
 LV’ = I
8/23/2014
25
Thừa Số Hóa Tam Giác
49
V’
V
Thừa Số Hóa Tam Giác
50
• Ví dụ: Có phương trình cần giải như sau:
8/23/2014
26
Thừa Số Hóa Tam Giác
51
L = 
U = 
• Ma trận Ybus trước hết được thừa số hóa thành 2 ma trận như 
sau
Thừa Số Hóa Tam Giác
52
• Trước hết giải: LV’ = I.
• Các giá trị V’ tìm được:
8/23/2014
27
Thừa Số Hóa Tam Giác
53
• Thay thế V’ vừa tìm được để tìm V theo UV = V’
• Kết quả:
Thừa Số Hóa Tam Giác
54
Thừa số hóa: A = LDU (Gaussian Elimination)
31
31
11
l
a
a
 −
× → 
 
8/23/2014
28
Thừa Số Hóa Tam Giác
55
Thừa Số Hóa Tam Giác
56
8/23/2014
29
Thừa Số Hóa Tam Giác
57
Thừa Số Hóa Tam Giác
58
11 1
21 21
31 31
1 1
1 0 1
1 1 0
0 1 0 1 I
0 1 0 0 1n n
L L−
     
     
−     
     − =
     
     
     
−     
l l
l l
M M O M O
l l L
1444244431444244443
A=LDU
1 1 1 1
1 2 1 1 2 1( . )n n nL L L L L L L− − − −− − −= =K  K
- Chỉ thay dấu trừ phía trước lij có được L-1
- L và U luôn luôn thưa nếu A thưa.
8/23/2014
30
Thừa Số Hóa Tam Giác
Ở mỗi bước thừa số hóa: 
không có số nào bằng 0, 0 and 0ij ija a′ = =
0a,0a,aand0a ijkjikij ≠′≠=pivot:k,aa
a
aa kj
kk
 ik 
• ijij -=¢
59
Thừa Số Hóa Tam Giác
Thay thế thuận
Ly = P•b = c
60
8/23/2014
31
Thừa Số Hóa Tam Giác
61
Thừa Số Hóa Tam Giác
62
1
5
6
9
11
12
13
2
3
4
7
8
Cây thừa số hóa
10
8/23/2014
32
Thừa Số Hóa Tam Giác
63
Ví dụ:
Bằng cách sử dụng khử Gauss
1 4 7
0
0
 
 
 
  
3 6
6 11
− − 
 
− − 
Amod
Thừa Số Hóa Tam Giác
64
8/23/2014
33
Thừa Số Hóa Tam Giác
65
*
Thừa Số Hóa Tam Giác
66
8/23/2014
34
Thừa Số Hóa Tam Giác
}
( )
1u
u 1 2
1 1 1
u 1 2 2 1
A u u D
A DU where U u u u .u
1 0 0 1 4 7 1 4 7
0 1 2 0 1 0 0 1 2
0 0 1 0 0 1 0 0 1
−
−
− −
=
= = =
     
     
=     
           -u23
-u13
-u12
67
Thứ Tự Tối Ưu
68
2
4 3
2
4 3
1
Ybus ban đầu
X X X X
X
X X
X
X X
X
X X
  ⊗ ⊗  
• •    ⇒ ⊗ ⊗  • •
 ⊗ ⊗   
• •  1424431442443
1
Ybus sau khi khử Kron
2 3 4
1
2
3
4
2
3
4
2 3 4
8/23/2014
35
Thứ Tự Tối Ưu
69
Quá trình khử
 Ở bước 1 của quá trình khử tiến, chọn biến sẽ được khử 
tương ứng với phần tử trên đường chéo của hàng với nhiều 
phần tử 0 nhất. Nếu có 2 hay nhiều biến đáp ứng điều kiện 
này, chọn biến nào ít gây lắp đầy nhất cho bước kế tiếp.
 Ở mỗi bước kế tiếp, chọn biến sẽ bị khử bằng cách áp dụng 
quy tắc giống như đã áp dụng cho ma trận hệ số đã thu gọn.
Thứ Tự Tối Ưu
70
Sơ đồ thứ tự gần tối ưu
 Vẽ một graph tương ứng với Ybus
 Ở bước 1, chọn nút đầu tiên để khử từ graph có ít nhánh nối 
vào nhất và nó tạo ra ít nhánh mới nhất.
 Ở mỗi bước kế tiếp, cập nhất biến đếm nhánhở các nút còn 
lại và áp dụng tiêu chuẩn chọn lọc bước 1 để cập nhật graph.
Ví dụ: Graph trong hình vẽ diễn tả một mạng 5x5 Ybus. Xác định 
theo graph trình tự trong đó các nút a, b, c, d, và e nên được đánh 
số sao cho cực tiểu hóa số hệ số lắp đầy trong LU của Ybus.
8/23/2014
36
Thứ Tự Tối Ưu
71
Thứ Tự Tối Ưu
72
8/23/2014
37
Thứ Tự Tối Ưu
73
Ví dụ: Số nút của graph dưới dây theo một thứ tự tối ưu cho 
thừa số hóa tam giác của ma trận Ybus tương ứng.
a b c d e a b
f gf g i jh
0002000000
0122211211
gfbacdijeh
10987654321Số bước
Nút bị khử
Số nhánh tích cực
Kết quả lắp đầy
Thứ Tự Tối Ưu
74












•
•
•
•
xxx
xxx
xxx
xxx
a b f g
a
b
f
g
8/23/2014
38
Khía Cạnh Lập Trình

 Thứ tự gần tối ưu
- Mục đích là xử lý những phần tử khác 0
- Tránh điền thêm số khác 0 trong trường hợp khử Gauss và
thừa số hóa tam giác.
Tại sao? Cải thiện tốc độ tính toán, độ chính xác và không gian
lưu trữ.
75
Khía Cạnh Lập Trình

 Tập tuyến tính của phương trình thưa:
76
nxn n i n i
Sparse Full
A . X b
× ×
= A-1 thường đầy, trường hợp bài 
toán lớn X = A-1b không hiệu 
quả.
Các ma trận thưa:
1) Cấu trúc dữ liệu:
A.X = b
Xếp thứ tự & thừa số hóa:
}
LUPAQ
orderA
=
8/23/2014
39
Khía Cạnh Lập Trình
77
0 0 1 1 2 3 0 0 1 9 8 7
0 1 0 4 5 6 0 1 0 6 5 4
1 0 0 7 8 9 1 0 0 3 2 1
       
       
       
              
P A Q PAQ
Khía Cạnh Lập Trình
78
Thay thế tiến: P
1 3
2 2
3 1
0 0 1 b b
0 1 0 b b
1 0 0 b b
    
    
=    
        
64748
L.y P.b
AX b
PAX P.b Let QX X
PAQX P.b
LUX P.b Let UX y
Ly P.b
=
=
′= =
′ =
′ ′= =
=
Thay thế lùi:
ux y
Reoder :
Qx X (rearrange)
′ =
′ =
8/23/2014
40
Khía Cạnh Lập Trình
79
Lưu trữ dữ liệu
Danh sách liên kết hay chuỗi:
81.0 0 0 2.0 50%
160 7.0 0 6.0
e.g. A Normally, it is 5 10%.
0 3.0 5.0 4.0
8.0 0 0 0
  =
 
 
= −
 
 
 
12.4
Khía Cạnh Lập Trình
80
NZ: số phần tử khác 0 = 8
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A : 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 12.4
Col. : 1 4 2 4 3 4 2 1 3
Next : 2 1 4 5 1 1 6 1 1
Row : 1 7 3 8 9
− − − − −
8/23/2014
41
Khía Cạnh Lập Trình
81
A(i,j)
Access any row i:
j = row(i)
j = Next(j)
Retrieve A(2,4)
Row(2) = 7
Check Col.(7) = 4 No.
Next(7) = 6
Check Col.(6) = 4 yes
A(2,4) = 6
?
?
∴
Khía Cạnh Lập Trình
82
Ví dụ: Lưu trữ Ybus theo từng dòng
8/23/2014
42
Khía Cạnh Lập Trình
83
* Bước 1:
Khía Cạnh Lập Trình
84
* Bước 2 & 3:
* Bước 4:
8/23/2014
43
Khía Cạnh Lập Trình
85
* Bước 5:
Khía Cạnh Lập Trình
86
* Bước 6: