Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương I: Đạo hàm và vi phân

GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾNCHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂNCHƯƠNG II : TÍCH PHÂN BỘICHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNGCHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN MẶTCHƯƠNG V: CHUỖI SỐ - CHUỖI LŨY THỪACHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN§1: Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục§2: Đạo hàm riêng§3: Khả vi và Vi phân§4: Đạo hàm riêng và vi phân hàm hợp§5: Đạo hàm riêng và vi phân hàm ẩn§6: Công thức Taylor – Maclaurint§7: Cực trị hàm nhiều biến : Cực trị tự do, cực trị có điều kiện, GTLN-GTNN trong miền đóng§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Miền xác định của hàm là tất cả các giá trị của (x,y) làm biểu thức của hàm có nghĩaMiền giá trị của hàm là tập các giá trị mà hàm có thể nhận đượcHàm 2 biến f(x,y) là ánh xạ f : D → RĐịnh nghĩa hàm 2 biến : Cho D là tập con của R2Hàm 2 biến f(x,y) là ánh xạ f : D → RĐịnh nghĩa hàm 2 biến : Cho D là tập con của R2§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Ví dụ : Tìm MXĐ, MGT của hàm MGT là đoạn [0,3]MXĐ là hình tròn §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục MXĐ33MGT30f(x,y)(x,y)§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Giải :a. f(2,1) = 2Ví dụ: Cho hàmTính f(2,1) và tìm MXĐ của fb. MXĐ : Ta lấy nửa mặt phẳng phía trên đường thẳng x+y+1 = 0 và bỏ đi toàn bộ đường x = 1 Đồ thị hàm z = f(x, y) là phần mặt S, khác với đồ thị hàm 1 biến y = f(x) là phần đường cong. Cho f(x, y) là hàm 2 biến với MXĐ là D. Đồ thị của f là tập tất cả các điểm M(x, y, z)R3, với (x, y)D, z = f(x, y)§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Hình tròn mở này còn được gọi là một r - lân cận của điểm MHình tròn mở tâm M0(x0,y0), bán kính r – kí hiệu B(M0,r) là tập §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Điểm trong : M gọi là điểm trong của D nếu tồn tại ít nhất r>0 sao cho r- lân cận của M là B(M,r) nằm hoàn toàn trong D. Điểm biên : M gọi là điểm biên của D nếu với mọi r>0, hình cầu mở B(M,r) chứa những điểm thuộc D và những điểm không thuộc D. Cho tập D và 1 điểm M thuộc R2. Ta định nghĩa 2 loại điểm như sau :§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Tập D được gọi là tập đóng nếu D chứa mọi điểm biên của nó. Tập các điểm biên của D gọi là biên của D Tập D được gọi là tập mở nếu R2\D là tập đóng, khi đó, mọi điểm thuộc D đều là điểm trong, D không chứa bất kỳ điểm biên nàoTập D được gọi là tập bị chặn nếu nó được chứa trong một hình cầu nào đó, tức là Như vậy, có những tập chỉ chứa 1 phần biên mà không chứa toàn bộ biên nên sẽ là tập không mở, không đóng.§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Ví dụ : Cho D là phần hình cầu Biên của D là toàn bộ mặt cầu x2 + y2 + z2 = 4, do đó D không chứa bất kỳ điểm biên nào tức là mọi điểm thuộc D đều là điểm trong. Vậy D là tập mởVí dụ : Cho hình vành khăn Biên của D là 2 đường tròn x2 + y2=1 và x2+y2 = 4 nằm hoàn toàn trong D nên D là tập đóng§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục BOBA§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Biên của D là 3 đoạn OA, OB, AB. Miền D không chứa đoạn AB tức là D không chứa mọi điểm biên nên D không là tập đóng. Tuy nhiên, D không là tập mở vì D chứa các điểm biên thuộc đoạn OA, OBTập D là tập bị chặn vì ta có thể lấy đường tròn ngoại tiếp D chứa D (đường tròn tâm I là trung điểm AB, bán kính r = 1/2AB) tức là D nằm hoàn toàn trong 1 hình cầu mở§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Ví dụ : Trong R2 cho miền D §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Hàm liên tục : Hàm f(x,y) được gọi là liên tục tại (x0,y0) nếu f (x0,y0) xác định và Hàm liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc miền DTổng, tích, thương của 2 hàm liên tục là hàm liên tụcCác hàm sơ cấp liên tục tại mọi điểm thuộc MXĐHợp của 2 hàm liên tục là một hàm liên tục§2 : Đạo hàm riêng Định nghĩa đạo hàm riêng: Cho hàm 2 biến f(x,y), đạo hàm theo biến x của hàm f tại điểm (x0,y0) là giới hạn (nếu có)Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng của hàm f theo biến yQuy tắc: Khi tính đạo hàm riêng của hàm f(x,y) theo biến x, ta coi y là hằng số§2 : Đạo hàm riêng Giải : a.Ví dụ: Tính đạo hàm riêng của các hàm sau: b.§2 : Đạo hàm riêng Ví dụ : Cho hàm Tính f’x, f’y tại (0,0)Giải : Nếu tính bằng cách thông thường, ta sẽ không tính được đhr tại điểm đặc biệt (0,0). Do đó, ta sẽ tính các đhr trên bằng định nghĩaVì vai trò của x, y như nhau trong hàm f nên ta cũng có f’y(0,0) = 1 §2 : Đạo hàm riêng Ví dụ : Tính các đhr của hàm f(x,y,z) = (y/x)zGiải:Ta tính 3 đhr của hàm 3 biếnLấy đhr theo x: yz, z là hằng số nên: f’x = yz.(-z)x-z-1Tương tự: f’y = zyz-1x-zCuối cùng, tính đhr theo z thì ta sẽ để nguyên hàm ban đầu vì y/x là hằng số nên : f’z = (y/x)zln(y/x)Để tính đhr của f theo x hoặc y, ta viết lại f(x,y,z) = yz.x-zrồi tính đạo hàm bình thường§2 : Đạo hàm riêng Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng của hàm f(x,y) tại (a,b):Tương tự, hệ số góc của tiếp tuyến T2 tức là hệ số góc của mặt S theo phương Oy là f’y(a,b)tiếp tuyến T1 hay là hệ số góc của mặt S theo phương Ox tại P(a,b,c)fx’(a,b) là hệ số góc củaC1 là giao của S và mặt phẳng y = b thì đạo hàm Gọi S là mặt cong z=f(x,y)§2 : Đạo hàm riêng Đạo hàm cấp 2 của hàm f(x,y) là đạo hàm của đạo hàm cấp 1: Đạo hàm cấp 2 theo x:Đạo hàm cấp 2 theo y:Đạo hàm cấp 2 hỗn hợp: §2 : Đạo hàm riêng Định lý Schwartz : Nếu hàm f(x,y) và các đạo hàm riêng f’x, f’y, f”xy, f”yx tồn tại và liên tục trong miền mở chứa (x0,y0) thì f”xy(x0,y0) = f”yx(x0,y0) Ghi chú :Đối với các hàm sơ cấp thường gặp, định lý Schwartz đúng tại các điểm tồn tại đạo hàmĐịnh lý Schwartz còn đúng cho các đạo hàm riêng từ cấp 3 trở lên. Tức là các đạo hàm riêng hỗn hợp bằng nhau khi số lần lấy đạo hàm theo mỗi biến bằng nhau, mà không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm theo các biến§2 : Đạo hàm riêng Giải : Hàm 2 biến nên ta tính 2 đạo hàm riêng cấp 1và 4 đạo hàm riêng cấp 2Ví dụ: Tính đạo hàm riêng đến cấp 2 của hàm §2 : Đạo hàm riêng Tương tự, ta có các đạo hàm riêng cấp (n+1) là đạo hàm của đạo hàm cấp nVí dụ: Tính đạo hàm riêng cấp 3 của hàm:f(x,y) = x2y – 3ex+yGiải: 2 đạo hàm riêng cấp 1 : 4 đạo hàm riêng cấp 2 :8 đạo hàm riêng cấp 3:§2 : Đạo hàm riêng Ghi nhớ: Đạo hàm riêng cấp cao hỗn hợp bằng nhau nếu số lần lấy đạo hàm theo các biến bằng nhau (không kể đến thứ tự lấy đạo hàm theo từng biến)Ví dụ: Cho hàm f(x,y,z) = xcosy – 2ysinz. Tính đạo hàm riêng cấp 2.3 đạo hàm cấp 1:9 đạo hàm cấp 2