Bài giảng Giải tích - Bài tập tích phân mặt

Bài tập tích phân mặtBài 1: Tính các tp sau S là phía trên nửa mặt cầu x2+y2+z2=4, z≥0S là phía dưới nửa mặt cầu x2+y2+z2=4, z≥0S là phía ngoài phần mặt nón x2+y2=z2, 0≤z≤1dưới phần mặt z=1-x2 với z≥0 bị chặn bởi -1≤y≤1S là phíaS là phía ngoài vật thể gh bởi 0 ≤z ≤1-x2-y2Bài tập tích phân mặtS là phía trên nửa mặt cầu x2+y2+z2=4, z≥0Trước hết, ta tìm pháp vecto đơn vị của mặt SPt mặt S là F(x,y,z)=x2+y2+z2-4=0, z≥0, suy ra: S là phía trên tức là pháp vecto của S cùng hướng với nửa dương trục Oz nên γ≤π/2 → cosγ≥0Suy ra, dấu ta lấy cho pháp vecto đơn vị là “+”Tiếp theo, ta có thể chọn 1 trong 2 cách: Tính trực tiếp hoặc chuyển về tp mặt loại 1Bài tập tích phân mặtVới tp này, ta sẽ chuyển về tp mặt loại 1 bằng cách dùng CT , với pháp vecto đơn vịTừ,Suy ra:Với tp mặt loại 1 này, ta đang có : x2+y2+z2=4 (pt mặt)Hình chiếu Dxy: x2+y2≤4Vi phân Bài tập tích phân mặtVậy: x=rcosφy=rsinφ=16πBài tập tích phân mặtTrước hết, ta tìm pháp vecto đơn vị của mặt S1: Mặt S gồm 2 mặt: S1 là phía dưới mp z=1, S2 là phía trên mặt paraboloid z=1-x2-y2 Và pháp vecto đơn vị của mặt S2: S là phía ngoài vật thể gh bởi 0≤z≤1-x2-y2Bài tập tích phân mặtS là phía ngoài vật thể gh bởi 0≤z≤1-x2-y2Bài tập tích phân mặtTa tính tp trên mặt S1 bằng cách chuyển về tp mặt loại 1 vì S1 là mặt phẳng có Còn tp trên mặt S2 thì ta sẽ tính trực tiếp Tp theo dxdy với:pt mặt z=1-x2-y2,h/c Dxy: x2+y2≤1Pháp vecto:→ cosγ>0Suy ra:↔Pháp vecto:Bài tập tích phân mặtTp theo dxdz: Pt mặt: y2=z+x2-1Pháp vecto:Suy ra: cosβ cùng dấu với y, tức là ta phải chia S2 thành 2 nửa ứng với y dương và y âm.Tuy nhiên, pt mặt paraboloid S2 chẵn với y nên 2 nửa này đối xứng nhau qua mp y=0, hình chiếu xuống mp y=0 của 2 nửa này như nhauDo đó, tp I222 chia thành 2 tp mà sau khi chuyển về tp kép thì là tổng của 2 tp kép trái dấu nhau. Tức là: I222=0Vậy:Bài tập tích phân mặtS là phía ngoài vật thể gh bởi 0≤z≤1-x2-y2S là mặt cong kín phía ngoài nên ta sẽ áp dụng CT Gauss để tính I2 nhanh hơnCT Gauss:Ta có:Bài tập tích phân mặtS là phía dưới nửa mặt cầu x2+y2+z2=4, z≥0Bài tập tích phân mặtNhận xét: Pt mặt S chẵn với 2 biến x, y nên khi tính tp theo dydz, dzdx ta sẽ chia S thành 2 nửa đối xứng có 2 pháp vecto tương ứng ngược dấu nhau. Vậy mỗi tp đó trở thành tổng 2 tp kép có miền lấy tp như nhau, hàm dưới dấu tp như nhau nhưng trái dấu nhau.Bài tập tích phân mặtTừ đó ta được:Còn lại tp thứ ba:Pt mặt S (z dương): Hình chiếu Dxy: x2+y2≤4S là phía dưới tức là pháp vecto quay xuống dưới so với nửa dương trục Oz nên γ≥π/2 → cosγ≤0Vậy:S là phía ngoài phần mặt nón x2+y2=z2, 0≤z≤1Bài tập tích phân mặtTa viết lại pt mặt S: S là phía ngoài nón tức là pháp vecto quay xuống dưới, cosγ≤0 nênS là phía ngoài phần mặt nón x2+y2=z2, 0≤z≤1Bài tập tích phân mặtBài tập tích phân mặtĐưa tp I4 về tp mặt loại 1 với