Bài giảng Giải tích - Bài tập phần Ứng dụng hình học của tích phân kép

Bài tập phần UD hình học của tích phân képTính diện tích miền D giới hạn bởix=y2-2y, x+y=0y2=10x+25, y2=-6x+9y=lnx, x=y+1, y=-1y=4x-x2, y=2x2-5xy2=4-4x, x2+y2=4 (phía ngoài parabol)Giải: Nhắc lại công thức Bài tập phần UD hình học của tích phân kép1. Ta tìm cận tích phân theo dy bằng cách khử x từ 2 phương trình 2 mặtx=y2-2y=-y (1) ↔ y2-y=0 ↔ y=0, y=1Từ đó suy ra 0≤y≤1, ta lấy ngược lại phương trình 1 để được tiếp cận đối với tích phân theo dxy2-2y ≤x ≤ -yVậy : Bài tập phần UD hình học của tích phân kép2. Khử x từ 2 phương trình đã choSuy ra cận tích phân theo dy, tương tự như trên, ta thay vào phương trình (1) để có cận tích phân theo dxVậy : Bài tập phần UD hình học của tích phân kép3. Ta sẽ vẽ miền D3 để xác định cận tích phân 1-1y=lnx4. Tìm giao điểm 2 đường giới hạn D4x-x2=2x2-5x ↔ 0=3x2-9x ↔ x=0, x=3 Suy ra : 0≤x ≤3 ↔ 0 ≤3x2-9x ↔ 4x-x2 ≤2x2-5x=27/2Bài tập phần UD hình học của tích phân kép5. Tìm giao điểm của 2 đường đã cho4-4x=4-x2 ↔ x2-4x=0 ↔ x=0, x=4 (Loại vì y2=4-4x<0)Ta vẽ hình để có cận tích phân theo dx2-21Bài tập phần UD hình học của tích phân képBài 1: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 2 mặtV1: x2+y2+z2=2, z2=x2+y2, z≥0V2: x2+y2+z2=4, x2+y2=2x, phần trong hình trụV3: x2+y2=1, x2+z2=13a. V3a: y2+z2-x2=0, x=6-y2-z2 Ta sẽ tìm hình chiếu của vật thể xuống mặt phẳng z=0 (x=0, y=0) bằng cách khử z ( khử x, khử y) từ 2 phương trình 2 mặt tạo nên vật thểBài tập phần UD hình học của tích phân kép1. z2 = 2-x2-y2=x2+y2 ↔ 1= x2+y2Như vậy, hình chiếu của V1 xuống mp z=0 là hình trònx2+y2 ≤1 ↔ x2+y2 ≤2-x2-y2. (Làm ngược lại với pt trên)Tức là ta cũng xác định được mặt nằm trên, nằm dưới trong miền V1. Vậy : Vì miền lấy tích phân là hình tròn có tâm là gốc tọa độ nên ta sẽ đổi biến tp trên sang tọa độ cực bằng cách đặt x=rcosφ, y=rsinφBài tập phần UD hình học của tích phân kép10≤φ≤2π0≤r ≤1Bài tập phần UD hình học của tích phân kép2. Trong 2 mặt đã cho có 1 mặt trụ kín nên hình chiếu chính là hình tròn x2+y2≤2x 2 mặt còn lại là nửa dương và nửa âm của mặt cầu. Vì cả 2 mặt đã cho đều nhận z=0 là mặt đối xứng nên ta sẽ tính thể tích nửa phía trên và nhân đôiMiền lấy tp là hình tròn đi qua gốc tọa độ nên ta đổi biến bằng cách đặt x=rcosφ, y=rsinφBài tập phần UD hình học của tích phân kép2-π/2≤φ≤π/20 ≤r ≤2cos φBài tập phần UD hình học của tích phân kép3. Vật thể giới hạn bởi 2 hình trụ kín nên ta có thể chọn 1 trong 2 hình trụ đó để chiếu xuống mặt z=0 hoặc y=0. Chẳng hạn, ta chọn chiếu xuống mặt z=0 để hình chiếu là hình tròn D: x2+y2≤1Cả 2 hình trụ tạo nên V3 đều nhận cả 3 mặt tọa độ là các mặt đối xứng nên ta sẽ chỉ tính thể tích V3 phần ứng với x, y, z ≥ 0 rồi nhân với 8Khi đó, hình chiếu chỉ còn là ¼ hình tròn với x, y ≥ 0 và giới hạn bởi Bài tập phần UD hình học của tích phân képGhi chú: Hình vẽ cho 1/8 thể tích đã có trong bài giảng lý thuyếtBài tập phần UD hình học của tích phân kép3a. Ta sẽ khử x từ 2 phương trình 2 mặt để tìm hình chiếu của vật thể xuống mặt phẳng OyzDo điều kiện x ≥ 0 nên ta loại trường hợp (2), như vậy hình chiếu cần tìm là hình tròn D : y2+z2≤4Tức là ta đang lấy ngoài khoảng 2 nghiệm của tam thức (*) nên ta có bất đẳng thức tương ứngVậy: z=rcosφy=rsinφBài tập phần UD hình học của tích phân képBài tập phần UD hình học của tích phân képBài tập phần UD hình học của tích phân képBài 2: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt4. V4: 2z=y2, x2+y2=4,z=0 5. V5: x2+y2=4x, z=x, z=3x6. V6: x2=y,z=0,z=4-y7. V7: x=y2, x=4y2, x+z=4, z=0, y≥0 8. V8: y=1+x2, z=3x, y=5, z=09. V9: z=4-y2, z=y2+2, x=-1, x=210. V10: z=x2+y2, z=2x2+2y2, y=x, y=x2 11. V11: x2+z2=4, y=0, y=x, z=0, z≥012. V12: y=x, y=2x, x=1, z=x2+y2, z=2x2+y2Bài tập phần UD hình học của tích phân kép4. Trong 3 mặt đã cho có 1 hình trụ kín là x2+y2=4 nên ta được hình chiếu là hình tròn D: x2+y2≤4Với 2 mặt còn lại, hiển nhiên 0 ≤ 1/2y2 nên ta đượcBài tập phần UD hình học của tích phân kép5. Trong 3 mặt đã cho có 1 hình trụ kín nên hình chiếu xuống mp z=0 là D: x2+y2≤4x, tức là x≥0 trong miền DTừ đó suy ra 3x≥x=16πBài tập phần UD hình học của tích phân kép6. Trong 3 mặt đã cho có 1 hình trụ nhưng là trụ không kín, hình chiếu của nó xuống mp z=0 chỉ là đường parabol – đường cong không kín : y=x2. Do đó, phần còn hở của parabol phải được “đậy kín” bởi giao tuyến của 2 mặt còn lại là z=y-4=0, để hình chiếu của vật thể là D: y=x2, y=4, suy ra y≤4 trong DCòn lại 2 mặt, ta có y≤4 ↔ 0≤y-4Bài tập phần UD hình học của tích phân képBài tập phần UD hình học của tích phân kép7. Trong 4 mặt đã cho có 2 mặt trụ cùng song song với Oz, có hình chiếu xuống mp z=0 là phần mp không kín x=y2, x=4y2Do đó, phần hở giữa 2 parabol phải được “đậy kín” bởi giao tuyến của 2 mặt còn lại là z=4-x=0, để hình chiếu của vật thể là D: x=y2, x=4y2, x=4, suy ra x≤4 trong DCòn lại 2 mặt, ta có x≤4 ↔ 0≤4-xBài tập phần UD hình học của tích phân képBài tập phần UD hình học của tích phân kép8. Trong 4 mặt đã cho, có 1 mặt trụ và 1 mp cùng song song với trục Oz là y=x2+1 và y=5, hình chiếu của 2 mặt này xuống mp z=0 cho miền D: y=x2+1, y=5Miền D có 2 phần: bên trái ứng với x≤0 và bên phải ứng với x≥0 nên tương ứng khối V8 chia thành 2 phần với mp z=0 lúc nằm trên, lúc nằm dưới mp z=3x=24Bài tập phần UD hình học của tích phân képBài tập phần UD hình học của tích phân kép9. Trong 4 mặt đã cho có 2 mặt trụ parabol cùng song song với trục Ox cho ta hình chiếu xuống mp x=0 là miền D: z=4-y2, z=2+y2=8Bài tập phần UD hình học của tích phân kép10. Trong 4 mặt đã cho có 2 mặt trụ parabol cùng song song với trục Oz cho ta hình chiếu xuống mp z=0 là miền D: y=x, y=x2Bài tập phần UD hình học của tích phân kép11. Ta chọn nửa hình trụ x2+z2=4, z=0, z≥0 song song với trục Oy, tức là hình chiếu là D: 0≤z, x2+z2≤4Vật thể V11 lại chia thành 2 phần: phần ứng với x≥0 thì mp y=x nằm trên, phần ứng với x<0 thì mp y=x nằm dưới so với mp y=0Bài tập phần UD hình học của tích phân képBài tập phần UD hình học của tích phân kép12. Trong 5 mặt đã cho, có 3 mặt phẳng cùng song song với trục Oz, hình chiếu của chúng xuống mp z=0 là tam giác D: y=x, y=2x, x=1