Bài giảng Giải tích 2 - Chương IV: Chuỗi - Bài 1: Chuỗi số. Tổng quan về chuỗi số

CHƯƠNG IV: CHUỖI§1. CHUỖI SỐCHUỖI SỐ DƯƠNGCHUỖI ĐAN DẤUCHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ§2. CHUỖI LŨY THỪACHUỖI LŨY THỪACHUỖI TAYLOR - MACLAURINT§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi sốĐịnh nghĩa: Cho dãy số {un}. Ta gọi tổng tất cả các số hạng của dãy (TỔNG VÔ HẠN) là chuỗi sốTa gọi:1. un là số hạng tổng quát của chuỗi2. Tổng riêng thứ n của chuỗi là tổng n – số hạng đầu tiên : Sn=u1+u2++un3. Tổng của chuỗi là giới hạn hữu hạn (nếu có)Khi đó, ta nói chuỗi hội tụ. Ngược lại, tức là hoặc không tồn tại giới hạn hoặc giới hạn ra vô tận thì ta nói chuỗi phân kỳVậy khi chuỗi hội tụ, chuỗi có tổng §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi sốVí dụ: Tìm số hạng tổng quát của các chuỗi:Ví dụ: Tính số hạng un của các chuỗi Tính u5?Tính u6§1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi sốTa bắt đầu từ việc tính tổng riêng thứ n của chuỗiRõ ràng khi q=1, Sn=n thì chuỗi là phân kỳ Khi |q|1:Ví dụ: Tính tổng của chuỗi cấp số nhân Vậy chuỗi cấp số nhân hội tụ khi và chỉ khi |q|0:Xét hàmthỏa các điều kiện của tiêu chuẩn tích phân§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Vì tích phân hội tụ khi và chỉ khi α>1 nên Chuỗi Hội tụ khi α>1 và phân kỳ khi α≤1 Ví dụ: Khảo sát sự HT của chuỗiXét hàm trên [2,+∞), ta cóf(x) không âm, hàm liên tục và khi x tăng thì lnx tăng nên f(x) giảm tức là hàm f(x) thỏa điều kiện của tiêu chuẩn tích phân§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Mặt khácVậy chuỗiHT khi β>1 và PK khi β≤1§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn so sánh 1:Cho 2 chuỗi số không âmthỏaKhi ấy:Ghi nhớ: Chuỗi “lớn” HT kéo theo chuỗi “nhỏ” HT và ngược lại chuỗi “nhỏ” PK kéo theo chuỗi “lớn” PK§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗiTa so sánh Vì là chuỗi hội tụSuy ra chuỗi đã cho hội tụ§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn so sánh 2:Khi ấy:§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Cho 2 chuỗi số không âmthỏa1. Nếu K=∞ thì 2. Nếu 01Phân kỳ khi α≤1§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗiTa dùng T/c so sánh 2 bằng cách tính khi n→∞Khi n→∞ thì Tức là Mà là chuỗi phân kỳ(hai chuỗi cùng HT hoặc cùng PK)Vậy chuỗi đã cho phân kỳVí dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗiKhi n→∞ thì Mà chuỗi hội tụTheo tiêu chuẩn so sánh 2 ta được kết quả: Chuỗi đã cho HT§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗiTa có : DoNên theo t/c so sánh 2: chuỗi đã cho PK vì nó là tổng của 2 chuỗi§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗiKhi n→∞ thì Nên ta có thể khai triển Maclaurint hàm Vậy khi n→∞ thìMà chuỗi Nên chuỗi đã cho HTHT§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗiKhi n →∞ : Suy raMà chuỗiphân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Xét chuỗi số dương:Tiêu chuẩn d’Alembert : Đặt :  q 1 : phân kỳ D = 1 : không có kết luậnXét chuỗi số dương:§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn Cauchy : Xét chuỗi số dương:  q 1 : phân kỳ C = 1 : không có kết luận§1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn Rapb : (sử dụng khi D = 1 và Dn 1 : hội tụ R 1 ↔ a>e §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Chuỗi số gọi là chuỗi đan dấuTiêu chuẩn Leibnitz :Nếuthì chuỗi hội tụKhi ấy, ta gọi chuỗi đó là chuỗi Leibnitz và tổng S của chuỗi thỏa 0≤S≤u1§1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi1/Ta có : đơn điệu giảm và dần về 0Nên chuỗi đã cho là chuỗi Leibnitz2/ đơn điệu giảm và dần về 0Nên chuỗi đã cho là chuỗi Leibnitz§1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗiSố hạng tổng quát của chuỗi không thể viết được dưới dạng Tức là chuỗi trên không là chuỗi đan dấuTa có §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Vậy chuỗi đã cho là chuỗi PK vì là tổng của 1 chuỗi HT và 1 chuỗi PKChuỗi là chuỗi đan dấu hội tụChuỗi là chuỗi số dương phân kỳ§1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗiChuỗi đan dấu với Để khảo sát sự đơn điệu của dãy un ta đặtTức là hàm f(x) cũng là dãy {un} đơn điệu giảm và dần về 0.Vậy chuỗi đã cho HT theo Leibnitz§1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối: Nếu chuỗi hội tụ Khi đó: Và ta gọi chuỗi là chuỗi hội tụ tuyệt đốiThì chuỗi hội tụ §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ không suy ra chuỗi hội tụChú ý 1: Điều ngược lại không đúng, tức là chuỗi Khi chuỗi HT và chuỗi PK thì tagọi chuỗi là chuỗi bán hội tụChú ý 2: Nếu dùng tiêu chuẩn Cauchy hoặc d’Alembert mà biết được chuỗi cũng PKPK thì chuỗi §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:1/ Xét ChuỗiHT, suy ra chuỗi đã cho HTTĐ2/ Xét → chuỗi đã cho HTTЧ1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗiRõ ràng dãy {un} đơn điệu giảm và dần về 0 nên chuỗi HT theo t/c Leibnitz1. Chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu với 2. Mặt khác, coi đó là chuỗi có dấu bất kỳ thì Tức là chuỗi PKVậy chuỗi đã cho chuỗi bán HT§1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗiTa cóVậy chuỗi PK theo t/c Cauchy nênchuỗi đã cho cũng PK§1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗiVì Nên Vậy chuỗi đã cho HTTЧ1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi Ta đi tính tổng riêng thứ 2n của chuỗiVàChuỗi HTVậy tổng của chuỗi