Bài giảng Giải tích 2 - Chương II: Tích phân bội

 D giới hạn bởi 211-1Ta đi tích phân này bằng cách dời trục tọa độ để tâm hình tròn là (0,0), sau đó mới đổi sang tọa độ cực.Thực hiện 2 việc trên bằng 1 phép đổi biến sang tọa độ cực mở rộng như sau: đặt§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cựcKhi đó, miền D giới hạn bởi Vậy :§1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cựcVí dụ : Tính tích phân Trong đó D giới hạn bởi abTa đổi biến sang tọa độ cực mở rộng bằng cách đặt Thì D giới hạn bởi §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cựcỨng dụng hình học của tích phân kép 1. Diện tích hình phẳng: Diện tích miền D trong mặt phẳng Oxy được tính bởi 2. Thể tích vật thể Ω giới hạn trên bởi mặt giới hạn dưới bởi mặt và giới hạn xung quanh bởi mặt trụ song song với trục Oz có đường chuẩn là biên miền D được tính bởi: §1: Tích phân kép – Ứng DụngVí dụ 1: Tính diện tích miền phẳng D giới hạn bởi y2+2y-3x+1=0, 3x-3y-7=0Ta tìm giao điểm 2 đường cong bằng cách khử x từ 2 ptTức là chiếu miền D xuống trục Oy được đoạn [-2,3]Khi -2 ≤ y ≤ 3, suy ngược lại phương trình (1) ta sẽ được y2 + 2y + 1 ≤ 3y + 7 Vậy :§1: Tích phân kép – Ứng dụng(1)§1: Tích phân kép – Ứng dụngVí dụ 2: Tính diện tích phần mặt phẳng nằm ngoài đường tròn r = 1 và trong đường tròn Trước tiên, ta tìm giao điểm cosφ = √3/2 ↔ φ = π/6 , φ = -π/6π/6-π/6Vậy : Khi vật thể giới hạn chỉ bởi 2 mặt thì ta tìm hình chiếu D của nó xuống mặt phẳng z=0 bằng cách khử z từ 2 phương trình 2 mặt§1: Tích phân kép – Ứng dụngVí dụ 3: Tính thể tích vật thể Ώ giới hạn bởi Hình chiếu của giao tuyến là đường tròn thì hình chiếu của vật thể là hình trònx2+y2=1, z=1Với bất đẳng thức hình tròn, ta thay ngược lên phương trình (1) để được Tức là mặt nón là mặt giới hạn dưới, mặt cầu là mặt giới hạn trên của vật thể. Vậy : 11§1: Tích phân kép – Ứng dụngVí dụ 4: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi x2 + y2 = 4, y2 = 2z, z=0§1: Tích phân kép – Ứng dụngTrong 3 mặt tạo nên vật thể, có 1 hình trụ kín (đường chuẩn là đường cong kín) x2+y2=4 song song với trục Oz nên hình chiếu của nó xuống mặt z = 0 là hình tròn, tức là ta có miền lấy tích phân D: x2 + y2 ≤ 4. Dễ dàng thấy bất đẳng thức kép 0 ≤ z ≤ y2/2 , tức là mặt z = 0 ở phía dưới và 2z = y2 ở phía trên2Ta còn lại 2 mặt và phải xác định mặt nào nằm trên, mặt nào nằm dưới để có hàm dưới dấu tích phân§1: Tích phân kép – Ứng dụngSuy ra hàm dưới dấu tích phân là : Vậy thể tích cần tính là : x2+y2=42z=y2Ta sẽ tìm hình chiếu của V xuống mặt phẳng Oxy dựa trên các hình trụ có đường sinh song song với trục Oz có trong phương trình VTrong 4 mặt đã cho có 2 mặt trụ (phương trình không chứa z) cùng song song với Oz là y=1, y = x2Hai mặt trụ đó có 2 đường chuẩn tạo thành miền D đóng trong mặt Oxy§1: Tích phân kép – Ứng dụngVí dụ 5: Tính thể tích vật thể V giới hạn bởi y=x2y=1Miền DVới 2 mặt còn lại hiển nhiên ta có 0 ≤ x2+y2 tức là f(x,y) = x2+y2§1: Tích phân kép – Ứng dụngVậy : -111y=x2y=1z=x2+y2Các mặt cùng song song với Oz (phương trình không chứa z) là y = 0, 3x+y = 4, 3/2x+y = 4. §1: Tích phân kép – Ứng dụngVí dụ 6: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi Đây là 3 mặt phẳng tựa lên 3 đường thẳng trong mặt phẳng Oxy và ghép lại thành hình trụ kín có hình chiếu xuống mặt Oxy là ΔABCCABDo đó, hình chiếu D của vật thể xuống mặt phẳng Oxy là tam giác ABC.§1: Tích phân kép – Ứng dụngCòn 2 mặt mà phương trình chứa z thì hiển nhiên ta cóVậy:B(4/3,0)C(8/3,0)A(0,4)Tức là hàm dưới dấu tích phân là §1: Tích phân kép – Ứng dụngy=03/2x+y=43x+y=4z=1/2x2+1/4y2Ví dụ 7 : Tính thể tích vật thể giới hạn bởi : y = 0, z = 0, z = a – x - y, 3x + y = a, 3/2x + y = aTrong 5 mặt tạo nên vật thể có 3 mặt phẳng song song với trục Oz và tựa lên 3 đường thẳng 3x + y = a, 3/2x + y = a, y = 0§1: Tích phân kép – Ứng dụngChúng tạo trong không gian hình trụ kín có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là ΔABC = Miền DBCACòn lại 2 mặt, ta sẽ tìm cách xác định mặt nằm trên, nằm dưới để có hàm dưới dấu tích phân Rõ ràng, trên hình vẽ ta có ΔABC nằm phía dưới đường thẳng a-x-y=0 tức là trong miền D ta có bất đẳng thức 0 ≤ a-x-y. Suy ra hàm dưới dấu tích phân là f(x,y) = a-x-y§1: Tích phân kép – Ứng dụngBCATa đi so sánh z= a-x-y với z= 0 bằng cách vẽ thêm đường a-x-y=0 trong mặt phẳng z=0 đang xéta-x-y=0Vậy §1: Tích phân kép – Ứng dụngTa xoay trục Oy thẳng đứng, ta sẽ thấy vật thể chính là hình chóp tứ giác, thể tích bằng 1/3 chiều cao nhân diện tích đáyy=04-x-y=03/2x+y=43x+y=4z=4-x-y§1: Tích phân kép – Ứng dụngVí dụ 8: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt cong z = 1-x2-y2, y = x, y = √3x, z = 0 với x, y, z ≥ 0Ta cũng bắt đầu tìm hình chiếu của vật thể xuống mặt z = 0 bằng cách chỉ ra các mặt trụ với pt không chứa zVới ví dụ này, ta chỉ có 2 mặt là y=x và y = √3x với 2 đường chuẩn là 2 đường thẳng không đủ cho ta miền đóng D. Vì vậy, ta sẽ tìm thêm giao tuyến của các mặt còn lại với mặt z=0y = √3xy=x§1: Tích phân kép – Ứng dụngCho z = 0 và thay vào phương trình Paraboloit ta được x2+y2 =1, tức là giao tuyến của mặt Paraboloit với mặt tọa độ z = 0 là đường tròn. 1 phần đường tròn đó sẽ “ĐẬY KÍN” phần còn mở giữa 2 đường thẳng trên.y = √3xy=xTừ đó suy ra, D là 1 phần hình tròn x2+y2≤1 nằm giữa 2 đường thẳng, vậy trong D ta có 0≤ 1-x2-y2 tức là mặt phẳng z = 0 nằm dưới và paraboloid z = 1-x2-y2 nằm trênD§1: Tích phân kép – Ứng dụngVậy: Vì miền lấy tích phân là hình tròn nên ta sẽ đổi sang tọa độ cực bằng cách đặt x=rcosφ, y=rsin φKhi đó, ta đượcz=1-x2-y2y=xy=√3xHai mặt trụ cùng song song với trục Ox là §1: Tích phân kép – Ứng dụngVí dụ 9: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi x = 1, x = 2 Vì vậy, hình chiếu của vật thể xuống mặt phẳng Oyz là miền D : V bằng diện tích hình tròn lớn trừ diện tích hình tròn nhỏ§1: Tích phân kép – Ứng dụngC. Diện tích mặt cong : Diện tích phần mặt cong S có phương trình z = f(x,y) và có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là miền D được tính bởiNhư vậy, để tính thể tích vật thể hoặc tính diện tích 1 phần mặt cong thì trước tiên ta phải xác định được hình chiếu D của vật thể hoặc phần mặt cong cần tính xuống 1 trong 3 mặt tọa độ Oxy, Oyz, OzxVới vật thể cần tính thể tích, sau đó ta phải xác định trong vật thể đó thì mặt nào giới hạn trên, mặt nào giới hạn dưới vật thể.§1: Tích phân kép – Ứng dụng§1: Tích phân kép – Ứng dụngVí dụ 10 : Tính diện tích phần mặt S : x2+y2+z2 = 4 nằm phía trên mặt nón Để tính diện tích mặt cong S nhờ tích phân kép, ta phải xác định được hình chiếu D của mặt cong xuống 1 trong 3 mặt tọa độ.Với ví dụ này, ta sẽ tìm hình chiếu của S xuống mặt z=0 bằng cách khử z từ 2 phương trình đã choz2 = 4-x2-y2 = x2+y2 ↔ x2+y2 = 2 Từ phương trình trên, ta được hình chiếu của S xuống mặt z = 0 là hình tròn Dxy : x2+y2 ≤ 2Sau đó, vì tìm hình chiếu xuống mặt z = 0 nên ta sẽ tính z=f(x,y) từ phương trình mặt SVì mặt S nằm phía trên mặt nón tức là z ≥ 0 nên ta lấy §1: Tích phân kép – Ứng dụngSuy ra :Vậy:2 mặt phẳng đã cho đều song song với trục Ox (Pt không chứa x) nên ta sẽ tìm hình chiếu của S xuống mặt phẳng x = 0Chiếu 2 mặt phẳng xuống mặt x = 0 ta được 2 đường thẳng cùng đi qua gốc tọa độ tức là chưa có miền đóng D.§1: Tích phân kép – Ứng dụngNằm giữa 2 mặt phẳng Ví dụ 11:Tính diện tích phần mặt cầu S Do đó, ta sẽ phải lấy thêm hình chiếu của mặt cầu xuống mặt phẳng x = 0 là hình trònzyOMặt cầu và cả 2 mặt phẳng cắt nó đều nhận mặt x = 0 là mặt đối xứng nên phần mặt S cũng nhận x = 0 là mặt đối xứng§1: Tích phân kép – Ứng dụngDo đó, ta sẽ tính diện tích phần phía trên mặt x = 0 rồi nhân đôiTa viết lại phương trình mặt S theo y, z: x=f(y,z) và x ≥ 0Miền D trên mp x=0x2+y2+z2=2Vậy §1: Tích phân kép – Ứng dụngVí dụ 12: Tính diện tích phần mặt trụ S: x2+y2=4 nằm phía trong mặt trụ R: x2+z2 = 4§1: Tích phân kép – Ứng dụngDo tính đối xứng qua các mặt tọa độ của cả 2 mặt trụ nên ta chỉ tính diện tích một phần tám mặt S, nằm trong góc x≥0, y ≥0, z ≥0Ta sẽ chiếu phần mặt S xuống mặt phẳng y = 0 vì hình trụ R song song với trục Oy, và được hình trònx2+y2=4 (S)x2+z2=4 (R) Vậy, diện tích cần tính là Khi đó, ta đi tính y = f(x,z) từ phương trình mặt S.§1: Tích phân kép – Ứng dụng 4 mặt phẳng x-y = 1, x+y = 1, x-y = -1, x+y = -1 cùng song song với trục Oz, tạo trong không gian 1 hình trụ kín có hình chiếu xuống mặt Oxy là hình vuông ABCDMặt nón nhận mặt phẳng Oxy là mặt đối xứng nên phần nón nằm trong trụ kín trên cũng nhận Oxy là mặt đối xứng, ta tính diện tích phía trên mp Oxy rồi nhân đôi§1: Tích phân kép – Ứng dụngVí dụ 12: Tính diện tích phần mặt nón z2 = x2+y2 bị cắt bởi 4 mặt x - y = 1, x + y = 1, x – y = -1, x + y = -1CDAB §1: Tích phân kép – Ứng dụngKhi đó, hàm dưới dấu tích phân bằng hằng số nên tích phân cần tính là diện tích miền lấy tích phân nhân với hằng số.Vậy S = 2.2. √2§1: Tích phân kép – Ứng dụng-y+x=1y+x=1y-x=1y+x=-1z2=x2+y2, z≥0§1: Tích phân kép – Ứng dụngVí dụ 13 : Cho vật thể Ω giới hạn bởi y=x2, x=y2, z=0, z=y2. Tính Diện tích phần mặt phẳng z=0 nằm trong ΩThể tích ΩDiện tích phần mặt trụ z = y2 nằm trong ΩTrong 4 mặt tạo thành Ω, có 2 mặt cùng song song với trục Oz là y=x2 và x=y2Từ đó ta được hình chiếu của Ω xuống mặt z = 0 là miền DD§1: Tích phân kép – Ứng dụng1. Diện tích miền D 2. Thể tích Ω : Hiển nhiên y2 ≥ 0 nên f(x,y)=y23. Diện tích mặt cong có phương trình z=y2 §1: Tích phân kép – Ứng dụngVậy diện tích mặt cong cần tính là x=y2y=x2z=y2§1: Tích phân kép – Ứng dụngz2=x2+y2y=x2x=y2Ví dụ 2 : Tính diện tích miền nằm ngoài đường r = 2cosφ và phía trong đường r = 2(1+cosφ)D1D2§1: Tích phân kép – Ứng dụng§1: Tích phân kép – Ứng dụngỨng dụng cơ họca. Khối lượng mảnh phẳngb. Moment quán tính của mảnh phẳng Mảnh phẳng D trong mặt phẳng Oxy có khối lượng riêng tại điểm (x,y) là f(x,y)Với trục Ox Với trục OyVới gốc tọa độ OVới đt L, r(x,y) là khỏang cách từ điểm (x,y) đến L§1: Tích phân kép – Ứng dụngc. Moment tĩnh của mảnh phẳngVới trục Ox Với trục Oy d. Trọng tâm (x0,y0) của mảnh phẳng§1: Tích phân kép – Ứng dụngVí dụ: Cho mảnh phẳng D giới hạn bởi y=x2, y=2-x và khối luợng riêng f(x,y)=2x-y. Tính khối lượng, các moment quán tính, moment tĩnh và trọng tâm. x2 = 2-xx2+x-2=0x=1, x=-2Suy ra D giới hạn bởi: Ta có : Vậy: Khối lượng DMoment tĩnh §1: Tích phân kép – Ứng dụngTrọng tâm (x0,y0) : Moment quán tính :