Bài giảng Giải tích 1 - Chương IV: Tích phân - Phần 1: Tích phân bất định

CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂNTớch phõn bất địnhTớch phõn xỏc địnhTớch phõn suy rộngỨng dụng hỡnh học của tớch phõnTớch phõn bất địnhNguyờn hàm: Hàm F(x) được gọi là nguyờn hàm của hàm f(x) trong khỏang (a,b) nếu tại mọi điểm x thuộc (a,b) ta đều cú F’(x) = f(x)Từ định nghĩa nguyờn hàm ta suy ra: Nếu F(x) là một nguyờn hàm của f(x) thỡ F(x)+C cũng là nguyờn hàm của hàm f(x)Mọi nguyờn hàm của f(x) đều cú dạng F(x)+CĐịnh lý: Mọi hàm liờn tục trờn [a,b] (liờn tục và liờn tục trỏi tại b, liờn tục phải tại a) thỡ cú nguyờn hàm trờn [a,b] Tớch phõn bất địnhĐịnh nghĩa tớch phõn bất định : Nếu hàm F(x) là một nguyờn hàm của hàm f(x) thỡ F(x)+C (C: hằng số) được gọi là tớch phõn bất định của hàm f(x), kớ hiệuTớnh chất:Tớch phõn bất địnhTớch phõn bất địnhBảng tớch phõn cỏc hàm cơ bảnTớch phõn bất địnhBảng tớch phõn cỏc hàm cơ bảnTớch phõn bất địnhPhương phỏp đổi biến:Thỡ: NếuVới φ(t) là hàm khả viĐịnh lý: Ta kiểm tra lại bằng cỏch tớnh đạo hàm vế phải: Ta được hàm dưới dấu tớch phõn vế trỏi tức là định lý được chứng minhĐịnh lý trờn là cơ sở của 2 cỏch đổi biến thường gặp sau đõyTớch phõn bất địnhPhương phỏp đổi biến 1: Đặt x = φ(t), φ(t) là hàm khả vi và cú hàm ngược t= φ-1(x) thỡ ta cúNếu nguyờn hàm của f(φ(t))φ’(t) là G(t) thỡ Vớ dụ: Tớnh tớch phõn Đặt x = sint thỡ vàTớch phõn bất địnhPhương phỏp đổi biến 2: Đặt u = φ(x), du=φ(x)dx và giả sửvớiThỡ Vớ dụ: Tớnh Đặt Tớch phõn bất địnhVớ dụ: Tớnh Đặt Vớ dụ: Tớnh Đặt u = 2x+1Tớch phõn bất địnhPhương phỏp tớch phõn từng phần: Định lý: Cho cỏc hàm u(x), v(x) khả vi và u(x), v’(x) cú nguyờn hàm trờn (a,b). Khi ấy hàm u’(x), v(x) cũng cú nguyờn hàm trờn (a,b) và ta cú Đẳng thức trờn tương đương với:Đẳng thức này hiển nhiờn đỳng theo cụng thức đạo hàm của tớchTa cũn viết CT trờn ở dạng Tớch phõn bất địnhVớ dụ: Tớnh Đặt u=arcsinx, dv=dxVớ dụ: Tớnh Đặt Tớch phõn bất địnhVớ dụ: Tỡm cụng thức truy hồi cho tớch phõn Vậy:Tớch phõn bất địnhVới n=1: Với n=2: Tớch phõn bất định1. Tớch phõn phõn thức đơn giản lọai 1: 2. Tớch phõn phõn thức đơn giản lọai 2: với ax2+bx+c là tam thức bậc 2 khụng cú nghiệm thựcThờm bới để tử số thành đạo hàm của mẫu số cộng 1 hằng sốTớch phõn bất địnhTa đựơc tổng của 2 tp cơ bản dạngThờm bớt để mẫu số cú dạng u2+a2Tớch phõn bất địnhTỏch tử số thành tổng đạo hàm của mẫu số và 1 hằng số để chia hàm thành tổng 2 hàm với hàm thứ 2 cú mẫu số đó tỏch thành tổng bỡnh phương của 1 nhị thức và hằng sốVớ dụ: Tớnh Tớch phõn bất địnhTớch phõn hàm hữu tỉ: Trường hợp 1: n ≥ mVà được: Khi đú, hàm hữu tỉ cần tớnh tớch phõn là phõn thức thực sự tức là bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số. Ta chuyển sang trường hợp 2.Ta chia đa thức : Tớch phõn bất địnhTrường hợp 2: n < mBước 1: Giả sửBước 2: Ta giả sử hàm f(x) thành tổng cỏc phõn thức đơn giản dạng Bước 3: Đồng nhất hệ số 2 vế để xỏc định cụ thể cỏc hệ số M, N, a, b, c, d, eTrong đú l1+l2++lr+k1+k2++ks=m và cỏc tam thức bậc 2 dạng - cx2+dx+e - khụng cú nghiệm thựcBước 4: Tớnh cỏc tp cỏc hàm đơn giản, cộng lại ta được tp cần tớnhTớch phõn bất địnhVớ dụ: Tớnh Giả sử :Ta chọn cỏc giỏ trị đặc biệtTớch phõn bất địnhVớ dụ: Tớnh Giả sử:Cho x = -1, bỏ (x+1) ở mẫu số của VT và giữ lại số hạng chứa (x+1) ở VP và được a = - 1Cho x = -4, bỏ (x+4) ở mẫu số của VT và giữ lại số hạng chứa (x+4) ở VP và được b = 23Tớch phõn bất địnhVớ dụ: Tớnh Giả sửCho x=1: bỏ (x-1)2 ở VT, a, b, c ở VP, ta được d=1Cho x=i hoặc x=-i: bỏ (x2+1) ở VT, c, d ở VP, ta được: Lấy thờm 1 giỏ trị tựy ý của x: x=0 và thay a, b, d đó cú vào để được c = 1/2Vậy:Tớch phõn bất địnhTớch phõn 1 số hàm vụ tỉĐặt:Để đưa về tp này thành tp hàm hữu tỉVớ dụ: TớnhĐặt: Ta được:Tớch phõn bất địnhVớ dụ: TớnhĐặt: Tớch phõn bất địnhVớ dụ : TớnhĐặt:Tớch phõn bất địnhĐưa tam thức bậc 2 về dạng u2+a2, u2-a2, a2-u2 và dựng cỏc cỏch đổi biến cụ thể: a. Dạng u2+a2: đặt u=a.tant hoặc u=a.cotantb. Dạng u2-a2: đặt u=a/cost hoặc u=a/sint c. Dạng a2-u2: đặt u=a.cost hoặc u=a.sint Vớ dụ: TớnhĐặt Tớch phõn bất địnhVớ dụ: Tớnh Đặt Tớch phõn bất địnhTrong một số trường hợp cụ thể, nờn nhớ cỏch riờng như sauTớnh như tp hàm hữu tỉVớ dụ: TớnhTớch phõn bất địnhĐặt (x-α)=1/t để đưa về dạng trờnVớ dụ: TớnhĐặt Tớch phõn bất địnhVớ dụ: TớnhĐặtTớch phõn bất định3. Tớch phõn Trebushep dạng m, n, p là cỏc số hữu tỉa. Nếu , đặt x = ts, s=BCNN(m,n)b. Nếu , đặt a+bxn=ts, s là mẫu số của p c. Nếu , đặt ax-n+b=ts, s là mẫu số của p Tớch phõn bất địnhVớ dụ: TớnhTa viết lại hàm dưới dấu tp về dạngĐặt x = t4 → dx = 4t3dtTớch phõn bất định4. Tớch phõn hàm lượng giỏcNếu f(-sinx,cosx) = - f(sinx,cosx): đặt t=cosxNếu f(sinx,-cosx) = - f(sinx,cosx): đặt t=sinxNếu f(-sinx,-cosx) = f(sinx,cosx): đặt t=tanxTổng quỏt: đặt t=tan(x/2)Tớch phõn bất địnhVớ dụ: TớnhĐặt: Tớch phõn bất địnhVớ dụ: TớnhĐặt:Tớch phõn bất địnhVớ dụ: TớnhHàm dưới dấu tp là chẵn với sinx, cosx nờn ta đặtTớch phõn bất địnhVớ dụ: TớnhTa viết tử số dưới dạng a.MS+b.(MS)’Giả sử: