Bài giảng Giải tích 1 - Chương 3: Tích phân - Đặng Văn Vinh


 
1 1
arctan
2 2
x
C

 
Ví dụ Tính 
( 4)
( 2)( 1)
x dx
I
x x


 
4
( 2)( 1) 2 1
x A B
x x x x

 
   
2
2 1
dx dx
I
x x
 
  
Qui đồng, đồng nhất hai vế, tìm được A = 2, B = -1. 
2ln( 2) ln( 1)x x C    
2( 2)
ln
1
x
C
x

 

Chú ý. Cách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh: 
(*)
Để tìm A, nhân hai vế (*) cho (x – 2) rồi thay x = 2 vào. 
Để tìm B, nhân hai vế (*) cho (x +1) rồi thay x = -1 vào. 
Ví dụ Tính 
3 2
2 2
2 5 1
( 3)( 1)
x x x
I dx
x x x
  

  
3 2
2 2 2 2
2 5 1
( 3)( 1) 3 1
x x x Ax B Cx D
x x x x x x
    
 
     
Qui đồng, đồng nhất, tìm có: A = 0, B = 1, C = 2, D = 0. 
2 2
2
3 1
dx xdx
I
x x x
 
   
21 2 2 1arctan ln( 1) arctan
3 3 3 3
x x
x x C

     
 
2 2
2 1 1
3 1
xdx
dx
x x x
 
 
   
Ví dụ Tính 
2
2 2 2
4 8
( 1) ( 1)
x x
I dx
x x


 
   
2 2 2 2 2 22
( )
1( 1) ( 1) 11 1
P x A B Cx D Ex F
xx x xx x
 
   
   
Tìm được: A = 2, B = -1, C = -2, D = -1, E = -2, F = 4. 
     
2 2 22 2 2
( 2 4) 2 4
1 1 1
x dx xdx dx
x x x
  
 
  
  
 
2 22
4
1
dx
I
x


Dùng hệ thức truy hồi, tính qua 1.I
(*)
Thay x = -1, cân bằng phần thực, ảo: E = -2, F = 4. 
Để tìm các hệ số A, B, C,  nhanh, có thể sử dụng khai 
triển Heaviside: tham khảo bài giảng Hàm phức toán tử, 
giảng viên Đặng Văn Vinh. 
Từ , ta có: (*) 2 2 2 2 24 8 ( 1)( 1) ( 1)x x A x x B x      
2 2 2( )( 1) ( 1) ( )( 1)Cx D x x Ex F x      
Thay x = 1, tìm được B = -1. 
Đạo hàm 2 vế, chỉ quan tâm số hạng khác 0 khi x = i 
Thay x = i, tìm được C= -2, D = -1. 
Tích phân của hàm hữu tỷ: Phương pháp Ostrogradskii 
1 2
1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
P x P x P x
dx dx
Q x Q x Q x
  
đa thức chỉ có nghiệm đơn là nghiệm của Q(x), 2 ( )Q x
1
2
( )
( )
( )
Q x
Q x
Q x

là hai đa thức với các hệ 1 2( ), ( )P x P x
số cần tìm, có bậc tương ứng nhỏ 
1 2( ), ( ).Q x Q xhơn bậc của 
Để tìm các hệ số của , đạo hàm hai vế (*), 1 2( ), ( )P x P x
(*)
Qui đồng, đồng nhất hai vế, tìm các hệ số. 
Ví dụ Tính 
2
2 2 2
4 8
( 1) ( 1)
x x
I dx
x x


 
Sử dụng phương pháp Ostrogradskii 
2
1 2
2 2 2
1 2
4 8
( 1) ( 1)
x x P P
I dx dx
Q Qx x

  
  
2
2 ( 1)( 1)Q x x  
2
2P ax bx c    bậc nhỏ hơn bậc Q2
2
1 2( 1)( 1) /Q x x Q Q   
2
1P Ax Bx C   
(*)
Đạo hàm hai vế (*) 
'2
1 2
2 2 2
1 2
4 8
( 1) ( 1)
x x P P
Q Qx x
 
  
   
Đồng nhất hai vế, tìm A, B, C, a, b, c. 
Tích phân của hàm vô tỷ 
1 2
1 2, , ,
p p
q qax b ax b
R x dx
cx d cx d
 
     
        
  
 
Cách giải: đổi biến ,n
ax b
t
cx d



n là Bội số chung nhỏ nhất của 1 2, ,...q q
Ví dụ Tính 
42 1 2 1
dx
I
x x

  

Đổi biến: 42 1x t  32 4dx t dt 
3
2
2t dt
I
t t


22
1
t dt
t


1
2 1
1
t dt
t
 
   
 
2 2 ln | 1|t t t C    
Ví dụ Tính 
2 63
3
1 ( 1) 1
( 1)(1 1)
x x x
I dx
x x
    

  

Đổi biến: 61x t  56dx t dt 
6 4 5
6 2
( )
6
(1 )
t t t t dt
I
t t
 


3
2
6 6
1
dt
t dt
t
 
 
3 2 63 6arctan
2
x x C  
Tích phân của hàm vô tỷ: Tích phân Euler 
2,R x ax bx c dx  
 
Cách giải: Đổi biến Euler 
20 :a ax bx c ax t     
20, 4 0a b ac  
20 :c ax bx c xt c     
2
1( )ax bx c x x t    
Trong đó x1 là một nghiệm thực của 
2 0ax bx c  
Ví dụ Tính 
2
2
1 1
1
x x
I dx
x x x
  

 

Tích phân Euler: 
Đổi biến: 
2 2 21 2 1x x t x tx    
 
2
22
1
2
1
t t
dx dt
t
 
 

2
2 1
1
t
x
t

 

2
2
1
t
I dt
t



2ln 1 t C  
21 1x x tx   
2
2
2
1
1
1
t t
x x
t
 
  

21 1 x x
t
x
  
  
2
21 1
ln 1
x x
C
x
   
   
 
 
Tích phân của hàm vô tỷ: Tích phân Trêbưsev 
 
p
m nx ax b dx
a, b: số thực, m, n, p: hữu tỷ, tất cả các số khác 0. 
Trường hợp 1: là số nguyên. p
Đặt , với N là BSC nhỏ nhất của mẫu của m và n Nx t
Đặt , với s là mẫu của p. 
n sax b t 
Trường hợp 2: là số nguyên. 
1m
n

Đặt , với s là mẫu của p. 
n sa bx t 
Trường hợp 3: là số nguyên. 
1m
p
n


Ví dụ Tính 
2 3 53 ( 2)
dx
I
x x



Tích phân Trêbưsev:  
5/ 32 3 2I x x dx
 
2, 3, 5 /3m n p    
1 2 1 5
2
3 3
m
p Z
n
  
      
Đổi biến: 
3 31 2x t 
4 26 3x dx t dt  
5
3
5/33
2 4 42. .
x
I x x
x
x x x d

     
 
 3
4
5/ 33
3 2.
x
x dx
x
x 

    
 

 23 51
2 2
tt
t dt

    3
1
1
4
t dt

 
Ví dụ Tính  3 61
dx
I
x x



Tích phân Trêbưsev:  
11/ 3 1/ 61I x x dx
 
1/ 3, 1/ 6, 1m n p     p Z 
Đổi biến: 6x t
56dx t dt 
 
12 5. 1 6I t t t dt
 
3
6
1
t
dt
t


BSCNN của mẫu m, n là 6 
 2 16 1 6
1
t t dt dt
t
   
 
Ví dụ Tính 3 41 x
I dx
x

 
Tích phân Trêbưsev:  
1/31/ 2 1/ 41I x x dx 
1/ 2, 1/ 4, 1/3m n p   
1 1/ 2 1
2
1/ 4
m
Z
n
  
   
Đổi biến: 1/ 4 31 x t  3/ 4 2
1
3
4
x dx t dt 
BSCNN của mẫu m, n là 4 
 
1/ 31/ 2 13/ 4 3/4 4/1I x x x dxx      
1/ 4 3 1x t  
 
1/ 31/ 4 1/ 4 3/ 41 xx x dx 
 3 24 1 3I t t t dt     6 34 3 3t t dt 
Tích phân của hàm lượng giác 
 sin ,cosR x x dx
Cách giải chung: đặt 
2arctanx t 
 tan , ,
2
x
t x  
 
   
 
2
2
1
dt
dx
t
 

 
2
2 2 2
2 1
sin ,cos 2 ,
1 1 1
t t dt
R x x dx R
t t t
 
  
   
 
2
2 2
2 1
sin ,cos
1 1
t t
x x
t t

 
 
Tích phân hàm 
hữu tỷ 
Trong nhiều trường hợp, cách giải trên rất cồng kềnh. 
Trong đó: R(u,v) là hàm hữu tỷ theo biến u, v. 
Ví dụ Tính 
3sin 4cos 5
dx
I
x x

 
Đổi biến:  tan( / 2), , t x x    
2 2
2
6 4(1 ) 5(1 )
dt
I
t t t

   
2
2
1
dt
dx
t
 

2
2 2
2 1
sin ,cos
1 1
t t
x x
t t

 
 
2
2
6 9
dt
t t

 
22 ( 3) ( 3)t d t  
2
3
C
t

 

2
tan( / 2) 3
C
x

 

Tích phân của hàm lượng giác 
 sin ,cosR x x dx
)    sin ,cos sin ,cosR x x R x x   đặt cos , ,
2 2
t x x
  
  
 
)    sin , cos sin ,cosR x x R x x   đặt  sin , 0,t x x  
)    sin , cos sin ,cosR x x R x x   đặt tan , ,
2 2
t x x
  
  
 
4) sin cos
p qx x dx  đặt hoặc sint x cost x
Hoàn toàn tương tự cho các hàm Hyperbolic: coshx, sinhx
Ví dụ Tính 
2 3
(2sin 3cos )
sin cos 9cos
x x dx
I
x x x



Đổi biến:  tan( ), / 2, / 2 t x x    
2
(2 tan 3) (tan )
tan 9
x d x
I
x



2ln( 9) arctan
3
t
t C   
   sin , cos sin ,cosR x x R x x  
2cos
dx
dt
x
 
Chia tử và mẫu cho 3cos x
2
2 3
9
t
dt
t


 2 2 2
2 3
9 3
t
dt dt
t t
 
  
2 tanln(tan 9) arctan
3
x
x C   
Đổi biến: 
Ví dụ Tính 3 8cos sinI x xdx 
sint x cosdt xdx 
 2 8cos sin cosI x x xdx     2 81 sin sin cosx x xdx 
2 8(1 )t t dt 
9 11
9 11
t t
C  
9 11sin sin
9 11
x x
C  
Ví dụ Tính 2sin cos
dx
I
x x
 
 2 2
2
sin cos
sin cos
x x dx
I
x x

  2
sin
sincos
xdx dx
xx
  
2 2
(cos ) (cos )
cos 1 cos
d x d x
x x
  
 
1 1 1 cos
ln
cos 2 1 cos
x
C
x x

  

Ví dụ Tính 2 3(sinh cosh )I x x dx 
Đổi biến: sinh( )t x
2 2(sinh cosh )(cosh )I x x xdx 
   sinh , cosh sinh ,coshR x x R x x   
coshdt xdx 
2 2( 1)t t dt 
6 3
6 3
t t
C  
2 2(sisinh (cosh )nh 1)xx xdx 
6 3sinh sinh
6 3
x x
C  
Tích phân của hàm lượng giác 
1 1sin cos
sin cos
a x b x
I dx
a x b x



Phân tích 
   
'
1 1sin cos sin cos sin cosa x b x A a x b x B a x b x    
Đồng nhất hai vế: 
( )cos ( )sinAa Bb x Ab aB x   
1
1
Ab aB a
Aa Bb b
 

 
giải tìm A, B. 
'( sin cos )
sin cos
A a x b x dx
I Bdx
a x b x

 
 
ln( sin cos )A a x b x Bx C   
Ví dụ Tính 
(2sin 3cos )
sin 4cos
x x dx
I
x x



Phân tích: 2sin 3cos (sin 4cos ) (sin 4cos )x x A x x B x x    
2sin 3cos ( 4 )sin (4 )cosx x A B x A B x    
4 2
4 3
A B
A B
 

 
1
1/ 4
A
B

 
 
(sin 4cos ) (sin 4cos ) '
sin 4cos sin 4cos
A x x B x x
I dx dx
x x x x
 
 
  
(sin 4c
sin 4c
o
o
s
s
)x xBd
I A dx
x x
 


   ln sin 4cosAx B x x C   
Tích phân của hàm lượng giác 
1 1 1sin cos
sin cos
a x b x c
I dx
a x b x c
 

 
Phân tích 
   '1 1 1sin cos sin cos sin cosa x b x c A a x b x c B a x b x c C        
Đồng nhất hai vế: 
 ( )cos ( )sinAa Bb x Ab aB x Bc C     
1
1
1
Ab aB a
Aa Bb b
Bc C c
 

 
  
giải tìm A, B, C. 
ln( sin cos )
sin cos
Cdx
I A a x b x c Bx
a x b x c
    
 
Tích phân cuối tính bằng cách đổi biến chung: t = tan(x/2
Ví dụ Tính 
(2sin cos 3)
3sin 4cos 5
x x dx
I
x x
 

 
Phân tích: 
'2sin cos 3 (3sin 4cos 5) (3sin 4cos 5)x x A x x B x x C        
2sin cos 3 (3 4 )sin (4 3 )cos (5 )x x A B x A B x A C       
3 4 2
4 3 1
5 3
A B
A B
A C
 

  
  
2 /5
1/5
1
A
B
C


  
 
(3sin 4cos 5)
3sin 4cos 5 3sin 4cos 5
d x x Cdx
I A dx B
x x x x
 
  
     
1ln(3sin 4cos 5)I Ax x x I     với đã tính ở ví dụ trước1I
Tích phân của hàm Hyperbolic 
 sinh ,coshR x x dx
Cách giải chung: đặt tanh
2
x
t
 
  
 
 
2
2 2 2
2 1
sinh ,cosh 2 ,
1 1 1
t t dt
R x x dx R
t t t
 
  
   
 
2
2 2
2 1
sin ,cos
1 1
t t
x x
t t

 
 
Tích phân hàm 
hữu tỷ 
Trong nhiều trường hợp, đặt t = sinhx, t = coshx, t = tanh
Trong đó: R(u,v) là hàm hữu tỷ theo biến u, v.