Bài giảng Giải tích 1 - Chương 3: Đạo hàm và vi phân

1: Vi phân Vi phân cấp cao của hàm hợp: Cho y=y(u), u=u(x). Ta đi tính vi phân cấp 2 của hàm yVì u là hàm nên d2u =u”(x)dx≠ 0Vậy với hàm hợp, ta có 2 cách tính vi phân cấp 2Cách 1: Tính theo u, duCách 2: Tính theo x, dxTừ cấp 2 trở đi, vi phân không còn tính bất biếnVi phân Ví dụ: Cho hàm y = ln(1+x2), trong đó x = tant. Tính d2y theo x và dx, theo t và dtTính theo t và dt: Ta thay x=tant vào hàm y=ln(1+tan2t)Tính theo x và dx: Vi phân Như vậy, ta có 2 kết quả khi tính theo 2 cáchThử lại: Bằng cách thay x = tant, dx = (1+tan2t)dt, d2x = 2tant(1+tan2t)dt2 vào (2)Chú ý: Trong các trường hợp, nếu không có yêu cầu đặc biệt, ta luôn tính vi phân của hàm theo vi phân của biến độc lậpVi phân Ví dụ: Tính dy, d2y nếu y = f(ex)Ta đang có 1 hàm hợp, đặt thêm biến trung gian : u = ex thì y = f(u)Vi phân Ví dụ: Tính dy, d2y nếu y = sh(ef(x))Đặt thêm biến trung gian : u = ef(x) thì y = sh(u)Quy tắc L’Hospital Định lý FermatHàm y=f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 và đạtcực trị tại đó. Nếu tồn tại đạo hàm thì Định lý Rolle Nếu hàm y = f(x) thỏa1. Liên tục trên đoạn [a,b]2. Khả vi trong khoảng (a,b)3. f (a) = f(b)sao choThì:4 định lý giá trị trung bình:Định lý Lagrange: Nếu hàm y = f(x) thỏa1. Liên tục trên đoạn [a,b]2. Khả vi trong khoảng (a,b)sao choThì Định lý Cauchy: Cho hai hàm y = f(x) và y = g(x).1. Liên tục trên đoạn [a,b]2. Khả vi trong khoảng (a,b)Quy tắc L’Hospital Quy tắc L’Hospital Định lý 1 (dạng )Cho 2 hàm f(x), g(x) khả vi trên khỏang (a,b) thỏaKhi đó:Chú ý:1. Định lý vẫn đúng khi x→a+2. Định lý vẫn đúng khi b =+∞, a= -∞ 3. Định lý vẫn đúng nếu ta phải tính đạo hàm k lầnQuy tắc L’Hospital Ví dụ: Tính các giới hạnQuy tắc L’Hospital Định lý 1 (dạng )Cho 2 hàm f(x), g(x) khả vi trên khỏang (a,b) thỏaKhi đó:Chú ý:1. Định lý vẫn đúng khi x→a+2. Định lý vẫn đúng khi b =+∞, a= -∞ hoặc A=+ ∞3. Định lý vẫn đúng nếu ta phải tính đạo hàm k lầnQuy tắc L’Hospital Ví dụ: Tính các giới hạnQuy tắc L’Hospital Cách khử các dạng vô định bằng quy tắc L’HospitalQuy tắc L’Hospital Ví dụ: Tính các giới hạnDạng ∞(∞ - ∞)Quy tắc L’Hospital Quy tắc L’Hospital Các trường hợp không dùng được quy tắc L’HospitalSau khi dùng L’H thì vẫn chỉ được giới hạn ban đầuGiới hạn dạng Công thức Taylor - Maclaurint Hàm f(x) khả vi đến cấp (n+1) trong 1 lân cận của x0Đặt:Thì:Theo định lý Cauchy ta cóVới x1 nằm giữa x0 và xSử dụng định lý Cauchy tiếp tục như vậy với x2 nằm giữa x1 và x, ta đượcCông thức Taylor - Maclaurint Tiếp tục quá trình đó theo (n+1) bước, ta đượcVới xn+1 nằm giữa x và x0 (x≤xn+1≤x0). Đặt c = xn+1, ta có định lý:Định lý Taylor: Cho hàm f(x) khả vi đến cấp (n+1) trong khỏang (a,b). Khi ấy, với x, x0 thuộc (a,b) ta cóCông thức Taylor - Maclaurint Định lý Taylor: Cho hàm f(x) khả vi đến cấp (n+1) trong khỏang (a,b). Khi ấy, với x, x0 thuộc (a,b) ta cóTa đặt:và gọi là phần dư dạng Lagrange của công thức TaylorCông thức Taylor - Maclaurint dạngXét giới hạnSuy ra: Vậy ta được dạng thứ 2 của CT TaylorVới phần dư PeanoCông thức Taylor - Maclaurint Sử dụng phần dư Lagrange khi sử dụng CT Taylor để tính gần đúng có đánh gía sai sốSử dụng phần dư Peano khi sử dụng CT Taylor để tính giới hạnKhi x0 = 0 thì CT Taylor được gọi là CT MaclaurintCông thức Taylor - Maclaurint Ví dụ: Khai triển Taylor hàm y=x4+3x3-5x2+x-1 tại x0=1y(1) = -1Vậy:Công thức Taylor - Maclaurint Công thức Maclaurint một số hàm cơ bản với phần dư PeanoCông thức Taylor - Maclaurint Công thức Maclaurint một số hàm cơ bản với phần dư PeanoCông thức Taylor - Maclaurint Ví dụ: Khai triển Maclaurint đến cấp 2 hàm Công thức Taylor - Maclaurint Ví dụ: Khai triển Maclaurint đến cấp 5 hàm Công thức Taylor - Maclaurint Nếu bỏ phần dư trong 2 khai triển trên, ta sẽ được 2 hàm xấp xỉ với hàm f(x) ban đầu.Rõ ràng, với hàm xấp xỉ là đa thức bậc cao hơn thì phần dư Peano sẽ là VCB bậc cao hơn tức là giá trị của VCB bé đó nhỏ hơn nên giá trị hàm xấp xỉ gần với hàm ban đầu hơn trong lân cận x0Ta sẽ vẽ đồ thị lần lượt 3 hàm : f(x), khai triển f(x) đến bậc 2 và khai triển f(x) đến bậc 5 để so sánh trong lân cận x0=0Hình vẽ so sánh trực tiếp trên Command WindowsHình vẽ so sánh từ việc chạy m.fileCông thức Taylor - Maclaurint Hàm y=tanx, khai triển Taylor đến bậc 3: Và khai triển Taylor đến bậc 7: Công thức Taylor - Maclaurint Ví dụ: Khai triển Maclaurint hàm f(x) = ln(x2+5x+4) và tính f(10)(0)Vậy: Theo CT Taylor: triển trên. Suy ra:Là hệ số của x10 trong khaiCông thức Taylor - Maclaurint Ví dụ: Khai triển Maclaurint đến cấp 5 hàm y = sin2xVậy:Chú ý: Vì hệ số của x5 trong khai triển trên là bằng 0 và yêu cầu khai triển đến bậc 5 nên ta phải viết phần dư là O(x5)Nếu trong ví dụ trên, chỉ yêu cầu khai triển đến bậc4 thì phần dư là O(x4) :Công thức Taylor - Maclaurint Ví dụ: Khai triển Maclaurint đến cấp 3 hàm y=arcsinxTa có :Công thức Taylor - Maclaurint – Phụ lụcVí dụ: Tìm bậc của các VCB sau (khi x→0) so với x và kiểm tra lại bằng MatLabTrong VCB đã cho có bao nhiêu hàm, ta sẽ khai triển Maclaurint của bấy nhiêu hàm cùng bậc như nhau đồng thời , sau mỗi bước ta cộng lại, nếu tổng bằng 0 làm tiếp đến khi tổng khác 0 thì ngừngĐến bậc 1, tổng là 0;đến bậc 2, tổng là 0;tổng khác 0 nên ta ngừng lại.đến bậc 3,Vậy bậc của α1(x) là 3Công thức Taylor - Maclaurint – Phụ lụcVậy bậc của α2(x) là 4 (so với x)Đến bậc 4, tổng khác 0Đến bậc 2, tổng bằng 0.Đến bậc 3, tổng khác 0Bậc 3Công thức Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tính giới hạn Sử dụng khai triển Maclaurint trên tử số vì tử số là tổng 2 VCB cùng tương đương với x khi x→0. Còn dưới mẫu số, ta chỉ cần thay sin3x ~ x3.Như vậy, bậc của mẫu số là 3 (so với x) nên tử số ta cũng khai triển đến x3.Vậy: Công thức Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tính giới hạn Vì:Nên trên tử số ta cũng khai triển các hàm đến x3.k.tr hàm cosx2 đến bậc 2 vì đã có 2x nhân vàoCông thức Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tính giới hạn Ta sẽ dùng k.tr Maulaurint vì không thay VCB đượcDưới mẫu số, ta chỉ cần khai triển đến cấp 2 là khác 0 nên tử số ta cũng khai triển đến cấp 2Công thức Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tính giới hạn Khai triển đến x3 vì tử số chỉ cần đến x3 là khác 0Công thức Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tính gần đúng với sai số ε = 10-3 giá trị A = ln(1,05)Sai số là sự chênh lệch giữa giá trị đúng của A mà ta không tính được và giá trị gần đúng của A mà ta sẽ tính được. Khi sai số càng nhỏ, giá trị ta tính được càng chính xác.Trong phần này, ta sẽ sử dụng công thức Taylor với phần dư Lagrange để tính ĐặtCần tính A = ln(1,05) tức là ta chọn x0=0,05, hằng số c trong phần dư Lagrange Rn nằm giữa 0 và 0,05 Công thức Taylor - Maclaurint Ta phải tìm n để |Rn|≤10-3Vậy: Công thức Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tính gần đúng với sai số ε = 10-5 giá trịĐặtCông thức Taylor - Maclaurint – Phụ lụcKhai triển Maclaurint đến cấp n sau đó kiểm tra lại bằng cách dùng MatLab các hàm sauCông thức Taylor - Maclaurint – Phụ lụcCông thức Taylor - Maclaurint – Phụ lụcKhai triển Taylor đến cấp n tại x=x0 , sau đó kiểm tra lại bằng cách dùng MatLab các hàm sauCông thức Taylor - Maclaurint – Phụ lụcCông thức Taylor - Maclaurint – Phụ lụcTính các giới hạn bằng cách sử dụng quy tắc L’Hospital hoặc công thức Maclaurint. Sau đó kiểm tra lại bằng MatLabCông thức Taylor - Maclaurint – Phụ lụcCông thức Taylor - Maclaurint – Phụ lụcCông thức Taylor - Maclaurint – Phụ lụcCông thức Taylor - Maclaurint – Phụ lụcCông thức Taylor - Maclaurint – Phụ lụcCông thức Taylor - Maclaurint – Phụ lụcKhảo sát hàm y=f(x)Các bước khảo sát và dựng đồ thị hàm y=f(x) 1. Tìm MXĐ, tính chẵn, lẻ, chu kỳ tuần hoàn (nếu có)2. Tìm tiệm cận3. Tìm cực trị, khoảng tăng giảm, tiệm cận đặc biệt4. Tìm khỏang lồi, lõm và điểm uốn (nếu cần)5. Lập bảng biến thiên6. Dựng đồ thịKhảo sát hàm y=f(x)Tìm MXĐ, hàm chẵn lẻ, tính tuần hoànHàm chẵn nếu f(x) = f(-x), khi đó đồ thị hàm nhận trục Oy là trục đối xứngHàm lẻ nếu f(x) = -f(-x), khi đó đồ thị nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứngHàm tuần hoàn nếu tồn tại hằng số T sao cho f(x) = f(x+T). Hằng số T>0 được gọi là chu kỳ tuần hoàn của hàm f(x) nếu T là số dương nhỏ nhất thỏa f(x)=f(x+T) và khi đó ta chỉ phải khảo sát hàm trong 1 chu kỳ Khảo sát hàm y=f(x)2. Tìm tiệm cậnVới x0 là điểm không thuộc MXĐ của hàm, thì hàm có TCĐ x = x0Nếu Thì hàm có TCN y = y0Thì hàm có TCX y = ax+bnếu: Nếu Khảo sát hàm y=f(x)Ví dụ: Tìm tiệm cận của hàm MXĐ : R\{2, 3}Hàm có TCĐ: x = 2Hàm có TCĐ: x = 3Hàm có TCN: y = 0y=0x=2x=3Khảo sát hàm y=f(x)Ví dụ: Tìm tiệm cận của hàm Ví dụ: Tìm tiệm cận của hàm MXĐ: R\{0}Hàm có TCĐ x = 0Hàm không có TCKhảo sát hàm y=f(x)Hàm có TCX y = x+3Vậy hàm đã cho có 1 TCĐ x = 0 và 1 TCX y = x+3y=x+3Khảo sát hàm y=f(x)3. Tìm khỏang tăng giảm, cực trị : Tính đạo hàm cấp 1 và giải phương trình y’ = 0Nếu y’>0 trong (a,b) thì hàm tăng trong (a,b)Nếu y’0 trong (a,b) thì hàm lõm trong (a,b)Nếu y”<0 trong (a,b) thì hàm lồi trong (a,b)Nếu y”=0 hoặc không tồn tại y” tại x=x0 và y” đổi dấu khi đi qua x=x0 thì hàm có điểm uốn là (x0,f(x0))abHàm lồi trong (a,b) khi y”<0 Khảo sát hàm y=f(x)Ví dụ: Tìm khỏang lồi lõm và điểm uốn của hàm y=x2lnxTa cũng lập bảng biến thiên để khảo sát-0+0yxy”Vậy hàm lồi trong khỏang , lõm trong khỏang Và có điểm uốn là Khảo sát hàm y=f(x)Ví dụ: Khảo sát và dựng đồ thị hàmMXĐ : R\{0}Tiệm cận:TCX: y=-x+1TCĐ: x=0Khảo sát hàm y=f(x)Cực trị: xy’yKhảo sát hàm y=f(x)y=1-xKhảo sát hàm y=f(x)Ví dụ: Khảo sát và dựng đồ thị hàmMXĐ: RTiệm cận:Hàm không có tiệm cậnCực trị:Và y’(0)=+∞Khảo sát hàm y=f(x)Vì đạo hàm cấp 2 phức tạp nên ta sẽ không tính Bảng biến thiên00xy’y11/7000+-++0.3841Tiếp tuyến nằm ngangKhảo sát hàm y=f(x)Đồ thịx=1/7y=0.3841Ví dụ: Khảo sát và dựng đồ thị hàm y = lnx-x+1Khảo sát hàm y=f(x)MXĐ: R+Tiệm cận:Hàm có TCĐ x = 0Hàm không có TCXKhảo sát hàm y=f(x)Cực trị:Bảng biến thiên:xy’y+∞010+--∞0-∞Khảo sát hàm y=f(x)Đồ thịKhảo sát hàm y=f(x)Ví dụ: Khảo sát và dựng đồ thị hàmMXĐ RTiệm cận:Hàm không có tiệm cậnKhảo sát hàm y=f(x)Cực trị:xy’yBảng biến thiênKhảo sát hàm y=f(x)Hàm có 2 tiếp tuyến nằm ngang ứng với 3 nghiệm của pt y’=0 là y=0 và Khảo sát hàm y=f(x) – Phụ lụcTìm tiệm cận của các hàmKhảo sát hàm y=f(x) – Phụ lụcTìm cực trị của các hàmKhảo sát hàm y=f(x) – Phụ lụcKhảo sát và vẽ đồ thị