Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Giới hạn và liên tục

MGT của cả 2 hàm f và f -1 đều là RGiới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngượcGiới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngượcVí dụ: Hàm y=x2 không làm hàm 1-1 trên (-∞,+∞)Tuy vậy, nếu ta giới hạn bớt MXĐ của hàm là (0 ,+∞) thì ta được hàm 1-1, x≥0Khi đó, ta vẫn có hàm ngược Với mọi a thuộc MXĐ của hàm y = f(x), đặt b = f(a) thì a = f-1(b) tức là điểm (a,b) thuộc đồ thị hàm f(x) thì điểm (b,a) thuộc đồ thị hàm f-1(x). Đồ thị của hàm y = f(x) và hàm y=f-1(x) đối xứng nhau qua đường thẳng y = xGiới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngượcGiới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbolHàm ngược của hàm y = sinx : hàm y=arcsinxHàm y = sinx là hàm 1-1Tồn tại hàm ngược là hàm y=arcsinxHàm y=arcsinx có MXĐ là [-1.1]MGT làTrên đọan Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbolHàm ngược của hàm y = cosx : hàm y=arccosxTrên đoạn [0,π], hàm y=cosx là hàm 1-1, tồn tại hàm ngượcy=arccosx, MXĐ là [-1,1], MGT là [0,π]Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbolHàm ngược của hàm y = tanx : hàm y=arctanxHàm y=tanx là hàm 1-1Trên đọan Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbolHàm y=arctanx, MXĐ là R, MGT là Hàm ngược của hàm y = cotx : hàm y=arccotxTrên đọan [0,π] hàm là hàm 1-1 Hàm y=arccotx có MXĐ là R, MGT là [0,π]Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbolcotan hyperbolictan hyperboliccos hyperbolic Định nghĩa (hàm Hyperbolic)sin hyperbolicGiới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol=shx=chx=thx=cthxGiới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbolHàm y = coshx (chx)Hàm y = sinhx (shx)Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbolHàm y = tanhx (thx)Hàm y=cothx (ctx)Có các công thức sau (tương tự công thức lượng giác)Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol1/ ch2x – sh2x = 12/ sh(2x)=2shx.chx, ch(2x) = ch2x + sh2x3/ ch(x+y) = chx.chy + shx.shy4/ ch(x-y) = chx.chy - shx.shy5/ sh(x+y) = shx.chy + shx.chy6/ sh(x-y) = shx.chy - shx.chyGiới hạn & liên tục – Giới hạn hàm sốĐiểm tụ: Cho D là tập số thực. Điểm x0 được gọi là điểm tụ của tập D nếu trong mọi lân cận của x0 đều chứa vô số các phần tử của DVí dụ. D = (0,1) mọi điểm thuộc [0,1] đều là điểm tụCó duy nhất 1 điểm tụ là 0Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm sốGiới hạn hàm số (ngôn ngữ ε – δ) : Cho hàm f(x) và x0 là 1 điểm tụ của MXĐ Df của hàm x0x0-δx0+δa-εa+εy=a+εy=a-εaChú ý: Hàm f(x) có thể không xác định tại x0Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm sốVí dụ: Tính giới hạnHàm không xác định tại x0=1, giới hạn đã cho có dạng Ta vẽ đường cong để minh họa cho kết quả dễ thấyGiới hạn hàm số (ngôn ngữ dãy): Cho x0 là điểm tụ của MXĐ Df của hàm f(x)Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm sốChú ý: Ta thường dùng định nghĩa bằng ngôn ngữ dãy để chứng minh giới hạn hàm không tồn tại bằng cách chỉ ra 2 dãy sao cho 2 dãy tương ứng có 2 giới hạn khác nhauGiới hạn & liên tục – Giới hạn hàm sốVí dụ: Chứng minh rằng giới hạn sau không tồn tạiChọn 2 dãy Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm sốGiới hạn ở vô cực : y=ay=aGiới hạn & liên tục – Giới hạn hàm sốGiới hạn ra vô cực : x0-δx0+δy=MGiới hạn & liên tục – Giới hạn hàm sốTính chất của giới hạn hàmCho : (Định lý kẹp)Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm sốSố e : Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm sốGiới hạn dạng u(x)v(x) :Giả sử : Ta có : Vậy: Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm sốGiới hạn cơ bản thường gặp khi x→0Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm sốkhông tồn tạiGiới hạn cơ bản thường gặp khi x→∞Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm sốCác dạng vô định: Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm sốVí dụ: Tính các giới hạn sau bằng cách áp dụng các giới hạn cơ bản )(Dạng =1Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm sốVí dụ: Tính các giới hạn sau bằng cách áp dụng các giới hạn cơ bản = 0= 1Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm sốVí dụ: Tính các giới hạn sau bằng cách áp dụng các giới hạn cơ bản =1Giới hạn 1 phía: Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x0, nếuký hiệuGiới hạn & liên tục – Giới hạn hàm sốSố a gọi là giới hạn phải của y = f(x) tại điểm x0, nếuký hiệuĐịnh lý:Hàm số y = f(x) có giới hạn tại x0 khi và chỉ khi nó có giới hạn trái, giới hạn phải tại x0 và chúng bằng nhau.Giới hạn 1 phía: Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm sốChú ý:Ta có thể dùng định lý trên để chứng minh không tồn tại giới hạn hàm (Ngoài cách dùng định nghĩa bằng ngôn ngữ dãy).2.Giới hạn một phía thường được dùng trong các trường hợp hàm chứa căn bậc chẵn, chứa trị tuyệt đối, hoặc hàm ghép. Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm sốVí dụ: Chứng minh không tồn tại giới hạn bằng cách tìm giới hạn 1 phíaTa có: vì khi x→3+ thì x-3>0vì khi x→3- thì x-3<0Vậy: vì giới hạn trái, phải tồn tại nhưng không bằng nhauGiới hạn & liên tục – Giới hạn hàm sốVí dụ: Tính giới hạn Giới hạn phải: x→1+Tức là Vậy:Giới hạn trái: x→1-Tức là Vậy:Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm sốVí dụ : Tính giới hạn khi x→0 của hàm Vậy: Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm sốHàm liên tục: Hàm y=f(x) được gọi là liên tục tại điểm x=a thuộc MXĐ của hàm nếu Hàm gián đoạn tại x=a nếu nó không liên tục tại đóĐồ thị của hàm y=f(x) gián đọan tại x=3Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm sốCác hàm sơ cấp cơ bản là 5 lớp hàm sau Hàm số mũ : y=axHàm lũy thừa: y=xaHàm loga: y=logaxCác hàm lượng giác: 4 hàmCác hàm lượng giác ngược: 4 hàmHàm sơ cấp là các hàm tạo từ các hàm sơ cấp cơ bản với 4 phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia) và phép hợp hàmGiới hạn & liên tục – Giới hạn hàm sốĐịnh lý (về sự liên tuc của các hàm sơ cấp):Các hàm sơ cấp liên tục tại mọi điểm xác định của nóVí dụ: Khảo sát sự liên tục của hàm Dễ thấy, y là hàm sơ cấp và không xác định tại x=2 nên nó không liên tục tại x=2. Điểm x=2 gọi là điểm gián đoạn của hàmGiới hạn & liên tục – Giới hạn hàm sốTa có: Đặt: Thì hàm g(x) là hàm liên tục với mọi x, hàm h(x) là, hàm gián đọan tại x=2y=g(x)32y=h(x)21Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm sốLiên tục 1 phía: Thay giới hạn trong định nghĩa hàm liên tục bởi 2 giới hạn 1 phía, tương ứng ta có khái niệm liên tục trái, liên tục phảiĐịnh lý: Hàm liên tục tại x=a khi và chỉ khi nó liên tục trái và liên tục phải tại x=a Tính chất hàm liên tục: Tổng, tích, thương và hợp các hàm liên tục lại là các hàm liên tụcGiới hạn & liên tục – Giới hạn hàm sốVí dụ: Xét hàm phần nguyên f(x)=[x]Phần nguyên của x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. [1]=1, [0.5]=0, [-0.5] =-1Ta có:Vậy hàm f(x) liên tục phải và không liên tục trái tại x=n, n là số nguyên.Giới hạn & liên tục – VCL và VCBVí dụ: Hàm α(x) = 2x3+x là: + VCB khi x→0 vì + không là VCB khi x→1 vì VCB: Hàm số α(x) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi x→x0 nếu 4) Thương của hai VCB có thể không là một VCB. 3) Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một VCB. 1) Tổng hữu hạn của các VCB là một VCB. 2) Tích của hai VCB là một VCB. Tính chất của các VCBGiới hạn & liên tục – VCL và VCB2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì α(x) và β(x) là hai VCB cùng cấp. 1) Nếu k = 0, thì α(x) gọi là VCB bậc cao hơn β(x), kí hiệu là α(x) = O(β(x))Cho α(x) và β(x) là hai vô cùng bé khi x→x0 So sánh các VCB:4) Nếu α(x) cùng bậc với (β(x))m thì ta nói bậc của α(x) là m so với β(x)Giả sử 3) Nếu k = 1, thì α(x) và β(x) là hai VCB tương đương, kí hiệu là : Giới hạn & liên tục – VCL và VCBVí dụ: So sánh các VCB sau 1. Khi x→0 : 2. Khi x→1 :Ta dùng định nghĩa để so sánh, tức là ta sẽ tính giới hạn của tỉ số 2 VCB cần so sánhVậy α(x) = O(β(x))α(x), β(x) là 2 VCB cùng bậcGiới hạn & liên tục – VCL và VCBCác VCB tương đương thường gặp khi x→0Giới hạn & liên tục – VCL và VCBQui tắc thay VCB tương đương với tích, thương Cho các VCB tương đương Ta được: Giới hạn & liên tục – VCL và VCBGiới hạn & liên tục – VCL và VCBQui tắc thay VCB tương đương với tổng nhiều VCBGiả sử a≠0, b ≠0, α, β là các hằng số thực sao cho với x→0, f1(x), f2(x) là VCBChú ý: Trường hợp duy nhất KHÔNG ĐƯỢC THAY VCB tương đương là HIỆU 2 VCB CÙNG TƯƠNG ĐƯƠNG VỚI VCB THỨ BAGiới hạn & liên tục – VCL và VCBVí dụ: So sánh các VCB sau khi x→0: Giới hạn không tồn tại tức là 2 VCB này không so sánh đượcGiới hạn & liên tục – VCL và VCB2. Ta sẽ so sánh bằng cách tính bậc của 2 VCB đóNhư vậy, bậc của α(x) là 2 so với x Bậc của β(x) là 3/2 so với xVậy Ví dụ : Tìm a, b để α(x) cùng bậc với axb khi x→0Giới hạn & liên tục – VCL và VCBTa đí tính bậc của các VCBGiới hạn & liên tục – VCL và VCBGiới hạn & liên tục – VCL và VCBQui tắc thay VCB tương đương với tổng nhiều VCBGiả sử a≠0, b ≠0, α, β là các hằng số thực sao cho với x→0, f1(x), f2(x) là VCBChú ý: Trường hợp duy nhất KHÔNG ĐƯỢC THAY VCB tương đương là HIỆU 2 VCB CÙNG TƯƠNG ĐƯƠNG VỚI VCB THỨ BAVí dụ: Tính giới hạnTa thay VCB tương đương như sau, khi x→0(VCB tương đương cơ bản)(Tổng các VCB không cùng bậc tương đương với VCB có bậc thấp nhất)Giới hạn & liên tục – VCL và VCBVí dụ: Tính giới hạnKhi x→1+ thì (x-1) là VCB nên :Lưu ý: Vì trong hàm dưới dấu lim có x≥1 nên ta chỉ tính giới hạn phải tức làGiới hạn & liên tục – VCL và VCBVí dụ: Tính Giới hạn & liên tục – VCL và VCBGiới hạn & liên tục – VCL và VCBVí dụ: Tính Đến đây, không thể thay VCB tương đương như trên được vì: Tử số là HIỆU CỦA 2 VCB CÙNG TƯƠNG ĐƯƠNG VỚI VCB THỨ 3Ta sẽ có cách làm khác: hoặc dùng quy tắc L’Hospital hoặc dùng CT Taylor - MaclaurintVí dụ: VCL: Hàm số A(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi x→x0 nếu Nên A(x)=2x2+sinx là VCL khi x→∞là VCL khi x→0Giới hạn & liên tục – VCL và VCB3) Nếu k=1, thì A(x) và B(x) là hai VCL tương đương 2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì A(x) và B(x) là hai VCL cùng cấp. 1) Nếu k = ∞ , thì A(x) gọi là VCL bậc cao hơn B(x), So sánh các VCL: Cho A(x) và B(x) là hai vô cùng lớn khi . Giả sử 4) Nếu A(x) cùng bậc với (B(x))m thì bậc của A(x) là m so với B(x)Giới hạn & liên tục – VCL và VCBQui tắc ngắt bỏ VCLGiới hạn & liên tục – VCL và VCBVí dụ: Tính Khi x → ∞ thì cả trên tử số và dưới mẫu số đều là tổng của các vô cùng lớn không cùng bậc Bậc lớn nhất ở tử số và cả mẫu số đều là 4Vậy: Giới hạn & liên tục – VCL và VCBGiới hạn & liên tục – Phụ lụcGiới hạn & liên tục – Phụ lụcGiới hạn & liên tục – Phụ lụcGiới hạn & liên tục – Phụ lụcGiới hạn & liên tục – Phụ lụcGiới hạn & liên tục – Phụ lụcGiới hạn & liên tục – Phụ lụcGiới hạn & liên tục – Phụ lục