Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận - Đặng Văn Vinh

   
 
3 2
.
2 3
 
  
 
AVí dụ Tính A200
1 1 1 0
2 2
1 1 0 1
A B I
   
      
   
Vì B và I giao hoán nhau nên ta dùng nhị thức Newton 
     200 200 1990 1 200 200200 200 2002 2 2 ...B I C B C B C I    
12n nB B
0 200 200 1 1 199 199 1 200 200
200 200 2002 .2 2 .2 ...C B C B C I
    
 0 200 1 199 199 200200 200 200 2004 4 ... .4
2
B
C C C C I    
  2004 1 1 .
2
B
I   
IV. Hạng của ma trận
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa hạng của ma trận
Giả sử Amxn tương đương hàng (cột) với ma trận bậc thang
E. Khi đó ta gọi hạng của ma trận A là số các hàng khác
không của ma trận bậc thang
r(A) = số hàng khác không của ma trận bậc thang E
Giải.
1 2 1 1
2 4 2 2
3 6 3 4
 
 
 
 
 
A
1 2 1 1
0 0 0 0
0 0 0 1
 
 
 
 
 
2 3
1 2 1 1
0 0 0 1
0 0 0 0

 
 
 
 
 
h h
IV. Hạng của ma trận
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm hạng của ma trận sau
1 2 1 1
2 4 2 2
3 6 3 4
A
 
 
 
 
 
( ) 2r A 
2 2 1
3 3 1
2
3
 
 

h h h
h h h
IV. Hạng của ma trận
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Sử dụng biến đổi sơ cấp, tìm hạng của ma trận sau
1 2 3 3
2 4 6 9
2 6 7 6
A
 
 
 
 
 
Ví dụ
Tìm hạng của ma trận sau
2 3 1 4
3 4 2 9
2 0 1 3
A
 
 
 
    
IV. Hạng của ma trận
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm tất cả các giá trị thực m sao cho r(A) =3
1 1 1 2
2 3 4 1
3 2 1
 
 
 
  
A
m m
1 1 1 2 1 1 1 2
2 3 4 1 0 1 2 3
3 2 1 0 1 3 5
   
     
   
         
A
m m m m
1 1 1 2
0 1 2 3
0 0 1 8
 
  
 
   m m
r(A) = 3 với mọi giá trị m.
IV. Hạng của ma trận
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm tất cả các giá trị thực m sao cho r(A) =2
1
1
1
m m
A m m
m m
 
 
 
 
 
Ví dụ
Tìm tất cả các giá trị thực của m để cho r(A) = 3.
1 1 1 1
2 3 1 4
3 3 1
A
m m
 
 
 
  
IV. Hạng của ma trận
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính chất của hạng ma trận
1. r (A) = 0 A = 0
2. A = (aij)mxn r(A) min{m, n}
BĐSC
3. Nếu A B, thì r (B) = r (A)
2 2 2
2 2 2
2 2 2
A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2 2
0 0 0
0 0 0
( ) 1.r A 
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa ma trận nghịch đảo
Ma trận vuông A được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại
ma trận I sao cho AB = I =BA. Khi đó B được gọi là nghịch
đảo của A và ký hiệu là A-1.
2 2
2 1
5 3
A

 
  
  2 2
3 1
5 2
B

 
   
Giả sử 
2 1 3 1 1 0
5 3 5 2 0 1
AB I
    
          
3 1 2 1 1 0
5 2 5 3 0 1
BA I
    
          
1 3 1
5 2
A B
 
    
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Không phải bất kỳ ma trận vuông A nào cũng khả nghịch. Có 
rất nhiều ma trận vuông không khả nghịch. 
Chú ý
Ma trận khả nghịch được gọi là ma trận không suy biến
Định nghĩa
Ma trận không khả nghịch được gọi là ma trận suy biến
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho ma trận vuông A, các mệnh đề sau đây tương đương
Sự tồn tại của ma trận khả nghịch.
1. Tồn tại A-1 (A không suy biến)
2. r(A) = n
3. AX = 0 suy ra X = 0.
4. A I
Tương đương hàng
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ma trận thu được từ I bằng đúng 1 phép biến đổi sơ cấp được 
gọi là ma trận sơ cấp.
Định nghĩa ma trận sơ cấp
Ví dụ
2 2 1
2
2
1 0 0 1 0 0
0 1 0 2 1 0
0 0 1 0 0 1
h h hI E 
   
     
   
   
   
3 3
3
1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 3
h hI E
   
     
   
   
   
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Một phép biến đổi sơ cấp đối với hàng của ma trận A đồng 
nghĩa với nhân bên trái A với ma trận sơ cấp tương ứng.
3 1
3
1 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 0
0 0 1 1 0 0
h hI E
   
     
   
   
   
Một phép biến đổi sơ cấp đối với cột của ma trận A đồng 
nghĩa với nhân bên phải A với ma trận sơ cấp tương ứng.
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
3 1
2 1 1 3 2 1
1 1 0 1 1 0
3 2 1 2 1 1
h hA B
   
     
   
      
3 2 1 0 0 1 2 1 1
1 1 0 0 1 0 1 1 0
2 1 1 1 0 0 3 2 1
    
    
    
        
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
1 1
bñsc haøng ...n nA I I E E E A  
1
1 1...n nA E E E I

 
1 ôû treânbñsc haøngI A 
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Cách tìm A-1
[ A|I ] [ I|A-1 ]Bđsc đối với hàng
Ví dụ
Tìm nghịch đảo (nếu có) của ma trận











321
221
111
A























101
011
001
210
110
111
100
010
001
321
221
111
]|[ IA
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------


























110
121
111
100
010
011
110
011
001
100
110
111
]|[
110
121
012
100
010
001
1













 AI














110
121
012
1A
V. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Tính bằng các phép sơ cấp đối với hàng của ma trận 
[ A|I ] ta cần sử dụng 
Độ phức tạp của thuật toán tìm A-1
n3 phép nhân hoặc chia
n3 – 2n2 + n phép cộng hoặc trừ
1
nnA
Đối với hai ma trận khả nghịch A và B, các khẳng định sau đây 
đúng. 
Tính chất của ma trận nghịch đảo
(A-1)-1 = A
Tích AB là hai ma trận khả nghịch.
(AB)-1 = B-1A-1
(AT)-1 = (A-1)T
IV. Ma trận nghịch đảo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
Tìm tất cả các giá trị thực m để ma trận sau khả nghịch
1 1 2
2 1
3 2 1
 
 
 
 
 
A m
Ví dụ
Tìm tất cả các giá trị thực của m để cho A khả nghịch.
1 1 1 1
2 3 1 4
3 3 1
A
m m
 
 
 
  
VI. Kết luận
------------------------------------------------
Hạng của ma trận là gì?
Ma trận là gì? Ma trận vuông ? Ma trận bậc thang
Ma trận không? Ma trận chéo? Ma trận chuyển vị?
Ma trận đơn vị? Ma trận đối xứng?
Làm thế nào để tìm hạng của một ma trận cho trước?
Ma trận khả nghịch là gì? 
Làm thế nào để tìm nghịch đảo của một ma trận cho trước?
Các phép toán đối với ma trận: Sự bằng nhau Phép cộng
Nhân ma trận với một số Nhân hai ma trận với nhau
Nghịch đảo của ma trận A là gì? 
Nâng lên lũy thừa
Thực hiện phép toán
Bài tập 1
2 3 2
1 2 1
1 2 3
3 0 4
1 1 4
 
  
     
Tìm f(A), biết
Bài tập 2.
2( ) 3 4 5f x x x   và
2 3
4 1
A
 
  
 
Bài tập 3.
Tìm ma trận X, sao cho AX = B, với
2 1
3 1
A
 
  
 
và
2
3
B
 
  
 
Cho
Bài tập 4
Tính
2 1
2 3 4
; 1 3
1 2 7
3 2
A B
 
           
 
3 2 TA B
Đưa ma trận sau về dạng bậc thang bằng biến đổi sơ cấp
Bài tập 5.
1 1 2 1 1
2 1 3 4 2
3 4 7 3 1
1 3 4 7 3
 
 
 
 
  
Bài tập 6
Tìm ma trận nghịch đảo, nếu có 1 1 1
2 3 1
3 4 1
A
 
 
 
 
 
Bài tập 7
Đưa về ma trận bậc thang, tìm hạng của ma trận
1 1 1 0
3 4 2 1
2 0 1 3
A
 
 
 
    
Bài tập 8
Tìm ma trận A, nếu
1 0 5 2
5 3
2 3 6 1
A A
   
     
   
Bài tập 9
Tìm các giá trị của s và t, sao cho ma trận sau là đối xứng
2
2
1
s s st
A t s
t s s
 
 
  
 
 
Bài tập 10
Cho , cho A là ma trận cở 3xn, B cở nx3.
1 0 0
0 0 1
0 1 0
P
 
 
 
 
 
a) Mô tả PA theo nghĩa biến đổi sơ cấp đối với hàng
b) Mô tả BP theo nghĩa biến đổi sơ cấp đối với cột
Bài tập 11
Cho A, B, C là các ma trận, đơn giản biểu thức sau
(3 ) ( 3 ) 2 ( 2 )A B C A B C B C A    
Bài tập 12
Tìm ma trận nghịch đảo của A
2 7 1
1 4 1
1 3 0
A
 
  
 
 
 
Bài tập 13
Tính A43, biết
2 1
3 2
A
 
  
 
Cho là ma trận vuông.
Bài tập 14
cos sin
sin cos
A
 
 
 
  
 
a) Tính A2.
b) Tính An.
Bài tập 15
Cho hai ma trận A và B
1 1 1
0 1 1
0 0 2
A
 
 
 
 
 
3 2
1 4
0 1
B
 
 
 
 
 
Tìm tất cả ma trận X, sao cho AX = B.
Bài tập 16
Tìm tất cả các giá trị m sao cho (A) = 2
1 1
1 1
1 1
m
A m
m
 
 
 
 
 
Bài tập 17
Biện luận theo m hạng của ma trận A
1 1 2
2 1 5
1 10 6
m
A m
m
 
  
 
  
Bài tập 18
Tìm tất cả số thực m, sao cho ma trận A khả nghịch
1 1 1
2 3 1
3 5
A
m
 
 
 
 
 
Bài tập 19
Tìm tất cả các số thực m, sao cho ma trận A khả nghịch
1 1 1 2
2 3 1 4
3 2 1
A
m m
 
  
 
  
Bài tập 20
Giả sử A là ma trận khả nghịch cấp 5. Tìm r(A) và r (A-1)