Bài giảng Computer Graphics - Bài 4: Các phép biến đổi Đồ hoạ - Lê Tấn Hùng

 độ với chỉ 2 điểm đầu cuối của
đoạn thẳng tạo thành 2 điểm mới mà khi nối chúng với
nhau tạo thành đoạn thẳng mới.
„ Các điểm nằm trên đoạn thẳng sẽ có kết quả là điểm
nằm trên đoạn thẳng mới với cùng phép biến đổi thông
qua phép nội suy.
(c) SE/FIT/HUT 2002
Phân loại - Transformations
„ Có 2 cách nhìn trên phép 
biến đổi 
„ Object Transformation: 
„ Coordinate 
Transformation 
„ Mỗi phương pháp có ưu 
nhược điểm riêng về bản 
chất tương đồng nhau
1,1
.4, 2
Example: OBJECT TRANSFORMATION
(1,1)
(1,1)
Example: COORDINATE TRANSFORMATION
(c) SE/FIT/HUT 2002 9
Modeling Transformations
Transform objects/points Transform coordinate system
(c) SE/FIT/HUT 2002
2D Object Transformations
„ A 2D object transformation alters each point P into a 
new point Q using a specific formula or algorithm.
„ It therefore alters the co-ordinates of P (Px,Py) into 
new values which specify point Q (Qx,Qy)
„ This can be expressed using some function T, that 
maps co-ordinate pairs into co-ordinate pairs:
(c) SE/FIT/HUT 2002
Matrix Representation
„ If affine transformation T maps P onto Q, then Q is related to P as 
follows:
„
„
„ where a, b, c, d, tx and ty are all constants, and ad = bc
„ This gives rise to the following matrix representation:
„ i.e. 


+






=



y
x
y
x
y
x
t
t
P
P
dc
ba
Q
Q
(c) SE/FIT/HUT 2002 12
Các phép biến đổi hình học hai chiều
„ Phương pháp biểu diễn đối tượng P = [ x y ]
„ Phép biến đổi vị trí điểm
„ Thực thi phép biến đổi đúng trên 1 điểm ảnh sẽ đúng trên toàn bộ đối
tượng


=
dc
ba
T
y
x
z
pM
pW
(c) SE/FIT/HUT 2002 13
Phép biến đổi
„ Phép bất biến
„ Phép biến đổi tỉ lệ - Scaling
„ A scaling changes the size of an object with two scale factors, Sx and Sy
„ Phép biến dạng
„ A shearing shears an object in a particular direction, (in 2D, it’s either in the x 
or in the y direction
xz
y
(c) SE/FIT/HUT 2002 14
Phép quay- Rotation
y
( x, y )
xα
ρθ
ρ
( x’, y’ )
(c) SE/FIT/HUT 2002 15
Thuộc tính cơ bản của phép biến đổi 
Affine Transformations
„ Preservation of lines:
„ Affine transformations map lines to lines;
„ Preservation of parallelism 
„ Preservation of proportional distances
„ Affine transformations change volume by | 
Det(M) |;
(c) SE/FIT/HUT 2002
Kết hợp các phép biến đổi
Composition of Affine Transforms
„ Any affine transformation can be 
decomposed into elementary 
transformations.
„ Mọi phép biến đổi phức tạp đều có
thể tạo thành từ các phép biến đổi cơ
sở như:
„ Dịch chuyển - Translation
„ Tỉ lệ - Scaling
„ Quay- Rotation
„ Biến dạng - Shearing
(c) SE/FIT/HUT 2002
Affine transformations preserve 
affine combinations
„ It is rare that we want to perform just one elementary 
transformation.
„ Usually an application requires that we build a complex 
transformation out of several elementary ones
„ e.g. translate an object, rotate it, and scale it, all in one move
„ These individual transformations combine into one overall 
transformation
„ This is called the composition of transformations.
„ The composition of two or more affine transformations is 
also an affine transformation
(c) SE/FIT/HUT 2002 18
Thuộc tính 
„ Tác động lên tập các điểm đặc trưng của đối tượng tạo 
thành phép biến đổi cho đối tượng
„ We have defined each transformation by their effects on single 
points
„ In practice these will be applied to multiple points to transfer
entire scenes or objects made up of many defining points
T
(c) SE/FIT/HUT 2002
Điểm gốc - Pivotal points
Cho phép quay và tỉ lệ Rotation and Scaling
„ The simple versions of rotation and scaling have been based around the origin.
„ This means that when we rotate or scale, the object will also move, with 
respect to the origin
„ Translate all points through (-c1,-c2)
„ Rotate all points about the origin by
„ Translate all points back through (c1,c2) 
(c1,c2)
(0,0)
(c) SE/FIT/HUT 2002
Pivotal points
„ Often we wish to rotate or scale with respect to some pivotal 
point, not the origin
„ Most significantly, we often wish to rotate or scale an object 
about its centre, or midpoint
„ In this way, the object’s location does not change
„ To do this, we relate the rotation or scaling about the pivotal 
point V, to an elementary rotation or scaling about the origin
„ We first translate all points so that V coincides with the origin
„ We then rotate or about the origin
„ then all points are translated back, so that V is restored to its original 
location
(c) SE/FIT/HUT 2002
Hệ toạ độ đồng nhất
„ Vấn đề gặp phải:
„ An affine transformation is composed of a linear transformation 
followed by a translation
„ Unfortunately, the translation portion is not a matrix 
multiplication but must instead be added as an extra term, or 
vector
„ What we need is a “trick”, so that translations can be represented 
in matrix multiplication form
„ This then means that they can be easily composed with other 
transformations, by simply multiplying the matrices together
(c) SE/FIT/HUT 2002 22
Tọa độ đồng nhất
Homogeneous Transform 
„ x' = ax + by + n
„ y' = bx + dy + m
„ Phương pháp biểu diễn mở rộng thông qua tọa độ đồng
nhất của các vector vị trí
„ Với ứng dụng của phép chiếu hình học mà ở đó tọa độ điểm
được mô tả dưới ma trận [ x* y* h]
„ với x = x*/h, y = y*/h, z = z*/h và h là một số thực tuỳ ý
(c) SE/FIT/HUT 2002 23
Ưu điểm của Hệ tọa độ đồng nhất
Homogeneous Transform
„ Ðưa ra cái nhìn hợp nhất của các phép biến đổi dưới phép nhân
ma trận, hỗ trợ cho việc xử lý bằng cả phần cứng và phần mềm
„ Kết hợp các các phép biến đổi tạo thành ma trận tích đơn giản duy
nhất. Tránh nhầm lẫn về thứ tự của các phép nhân khi sử dụng.
„ Order matters: AB is generally not the same as BA
„ Cho phép kết hợp với cả các phép biến đổi đặc biệt không tuyến
tính khác(non-affine) như:
„ Phép chiếu phối cảnh - Perspective projections!
„ Uốn - Bends, Vuốt tapers v.v.v
(c) SE/FIT/HUT 2002 24
Phép biến đổi với tọa độ đồng nhất
„ Ma trận biến đổi đồng nhất
„ Phép tịnh tiến 







=
1
0
0
][
nm
dc
ba
T
]1[
1
010
001
]1[]1''[ nymx
nm
yxyx ++=








=
(tx, ty, tz)
(c) SE/FIT/HUT 2002 25
Phép tỉ lệ
]12.1.[
100
020
001
]1[]1''[ SySxS
S
yxyx =








=
(c) SE/FIT/HUT 2002 26
Phép quay
y
( x, y )
xα
ρθ
ρ
( x’, y’ )
]1cos.sin.sin.cos.[ φφφφ yxyx +−=
(c) SE/FIT/HUT 2002 27
Phép biến đổi tổng hợp
(c) SE/FIT/HUT 2002 28
Phép chuyển đổi
(c) SE/FIT/HUT 2002 29
Windows and Viewports
„ Mapping involves scaling and translation (moving).
„ Both the world window and viewport can be any aligned 
rectangle.
„ Usually the viewport is set to take up the entire screen 
window.
(c) SE/FIT/HUT 2002 30
Phép biến đổi theo ma trận
„ Ma trận chuyển vị theo Window
„ Ma trận biến đổi tỉ lệ
„ Ma trận chuyển vị theo tọa độ viewport










−
−=
100
0
minmax
minmax0
00
Xwmin-Xwmax
Xvmin-Xvmax
]1[
YwYw
YvYvS
(c) SE/FIT/HUT 2002 31
Ma trận biến đổi tổng hợp của phép chuyển đổi
tọa độ










−
−−−
−
−=
=
1
minmax
minmaxminmin
Xwmin-Xwmax
Xvmin-Xvmaxminmin
0
minmax
minmax0
00
Xwmin-Xwmax
Xvmin-Xvmax
][
]2[]1[]1[][
YwYw
YvYvYwYvXwXv
YwYw
YvYvT
TxSxTT
(c) SE/FIT/HUT 2002
Coordinate Transforms
(c) SE/FIT/HUT 2002 33
Coordinate Transforms
(1,1)
u’
v’
(1,1)
u
v
x
y
Object defined in Local 
Coordinate System
Object after transformation in 
Global Coordinate System
(c) SE/FIT/HUT 2002 34
x
y
x
y
Identity as a Coordinate Transform
P
100
010
001
Q








=
(1,1)
u
v
(1,1)
u’
v’
(c) SE/FIT/HUT 2002 35
x
y
Translation
x
y
P
100
10
01
Q








= ty
tx
(1,1)
u
v
(1+tx,1+ty)
u’
v’








=
















11
0
0
ty
tx
ty
tx
100
10
01







 +
=
















1
1
1
0
1
ty
tx
ty
tx
100
10
01








+=
















1
1
1
1
0
ty
tx
ty
tx
100
10
01
origin
(c) SE/FIT/HUT 2002 36
x
y
Rotation
x
y
P
100
0
0
Q







 −
= θθ
θθ
cossin
sincos
(1,1)
u
v
u ’
v ’








=
1
sin
cos
θ
θ
v







−
=
1
cos
sin
θ
θ
u








=
1
0
0
O
(c) SE/FIT/HUT 2002 37
x
y
Scaling
x
y
P
100
0
0
Q








= sy
sx
0
0
(1,1)
u
v
(sx*1,sy*1)
u
v








=
1
0
0
O








=
1
0
syu








=
1
0
sx
v
(c) SE/FIT/HUT 2002 38
Composite Transformations








−−
+−−
=
100
sin)cos1(cossin
sin)cos1(sincos
11
11
θθθθ
θθθθ
xy
yx
M
x
y
x
y
(1,1)
u
v
u ’
v
’








−−
+−
1
sin)cos1(
sin)cos1(
11
11
θθ
θθ
yy
yx








−−+
+−+
1
sin)cos1(sin
sin)cos1(cos
11
11
θθθ
θθθ
yy
yx








−−+
+−+−
1
sin)cos1(cos
sin)cos1(sin
11
11
θθθ
θθθ
yy
yx
O = 
v = 
u = 
(c) SE/FIT/HUT 2002 39
Modeling Transformations
„ To make full use of the computational optimisation made 
possible by composite transforms, we only want to apply the 
transformations to points at the very end
„ i.e. the transformation operation (multiplying point p by 
transform matrix is the very last thing we do in the modelling 
phase)
Specify points 
in local coords
Specify 
Transformations
(composite if necessary)
Send to 
Pipeline
(c) SE/FIT/HUT 2002 40
+ +
=This of course shouldn’t 
mean all objects need to 
share the same 
transformations
(c) SE/FIT/HUT 2002 41
+
=
+
transform +transform
+
transform
Obviously we want 
something more 
versatile