Bài giảng Cơ ứng dụng - Chương IV: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

10/22/2012 
1 
Chương IV: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 
Chương IV 
Đặc trưng hình học 
của mặt cắt ngang 
Chương IV: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 
4.1. Khái niệm chung 
Trường hợp nào chịu tải tốt hơn? 
Sức chịu đựng của 1 thanh không chỉ tùy thuộc vào vật liệu mà còn 
tùy thuộc vào hình dạng của mặt cắt ngang, cũng như phương của 
tải trọng đối với mặt cắt ngang. 
Khảo sát những đặc trưng hình học chính của mặt cắt ngang 
Chương IV: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 
4.2. Moment tĩnh 
; x y
F F
S ydF S xdF  
Moment tĩnh của diện 
tích mặt cắt ngang đối 
với trục x, y 
, :x yS S
4.2.1. Moment tĩnh đối với một trục 
C
O x
y
y
x cx
cy
Khi moment tĩnh của diện tích đối với 1 trục bằng 0 thì 
trục đó gọi là trục trung tâm. 
Giao điểm của 2 trục trung tâm gọi là trọng tâm của mặt 
cắt 
; y xC C
S Sx y
F F
 Tọa độ trọng tâm mặt cắt: 
dF
Chương IV: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 
4.2. Moment tĩnh 
4.2.2. Moment tĩnh của các hình phức tạp 
1 1 2 2
1
1 1 2 2
1
...
...
n
x n n i i
i
n
y n n i i
i
S F y F y F y F y
S F x F x F x F x


    
    


y i Ci
C
i
i Cix
C
i
S F x
x
F F
F ySy
F F
 
 




10/22/2012 
2 
Chương IV: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 
Chú ý: 
- Chọn hệ trục tọa độ ban đầu hợp lý: nếu hình có trục đối 
xứng thì chọn trục đối xứng làm một trục của hệ trục tọa 
độ ban đầu, trục còn lại đi qua trọng tâm của càng nhiều 
hình đơn giản càng tốt. 
- Nếu hình bị khoét thì diện tích phần bị khoét mang giá trị 
âm. 
4.2. Moment tĩnh 
4.2.2. Moment tĩnh của các hình phức tạp 
Chương IV: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 
Chương IV: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 
4.3. Moment quán tính của mặt cắt ngang 
4.3.1. Moment quán tính đối với 1 trục 
2
2
0
0
x
F
y
F
J y dF
J x dF
 
 


O x
y
y
x
dF
Moment quán tính của diện tích F 
đối với các trục x,y: 
Thứ nguyên của moment quán tính là [chiều dài4], giá trị 
của nó luôn luôn dương. 
Chương IV: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 
4.3. Moment quán tính của mặt cắt ngang 
4.3.2. Moment quán tính độc cực 
2 0P
F
J dF 
2 2 2x y  
P x yJ J J  O x
y
y
x

dF
Thứ nguyên của moment quán tính độc cực là [chiều dài4], 
giá trị của nó luôn luôn dương. 
10/22/2012 
3 
Chương IV: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 
4.3. Moment quán tính của mặt cắt ngang 
4.3.3. Moment quán tính ly tâm đối với hệ trục (x,y) 
xy
F
J xydF 
O x
y
y
x

dF
Thứ nguyên của moment quán tính ly 
tâm là [chiều dài4], giá trị của nó có 
thể dương, âm hoặc bằng không. 
Khi moment quán tính ly tâm đối với 1 hệ trục nào đó bằng 0 
thì hệ trục đó gọi là hệ trục quán tính chính. Nếu hệ trục 
quán tính chính đi qua trọng tâm mặt cắt thì được gọi là hệ 
trục quán tính chính trung tâm. 
Chương IV: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 
Tính chất: Nếu mặt cắt có một trục đối xứng thì bất kỳ trục 
nào vuông góc với trục đối xứng đó cũng lập với nó thành 
một hệ trục quán tính chính 
  0    xy
F F
J xydF xy dF
Nếu hình ghép: 
x ixJ J y iyJ J
xy ixyJ J
4.3. Moment quán tính của mặt cắt ngang 
Chương IV: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 
4.4. Moment quán tính một số hình đơn giản 
4.4.1. Moment quán tính hình chữ nhật 
/ 2 3
2 2
/ 2 12
h
x
F h
bhJ y dF y bdy

   
x
y
b
h
dy
/ 2 3
2 2
/ 2 12
h
y
F h
b hJ x dF x hdy

   
Chương IV: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 
4.4. Moment quán tính một số hình đơn giản 
4.4.2. Moment quán tính hình tròn 
4
2 3
0
2
2
R
P
F
RJ dF d       x
y
d
R
2dF d 
Do tính chất đối xứng, ta có: 
4
2 2
2 4
x y
P x y x x
P
x y
J J
J J J J J
J RJ J 

    
   4
4
4
0,1
32
0,05
P
x y
DJ D
J J D

 
  
Với D là đường kính 
10/22/2012 
4 
Chương IV: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 
4.4. Moment quán tính một số hình đơn giản 
4.4.3. Moment quán tính hình vành khăn 
4 4 4
4(1 )
32 32 32P
D d DJ       
4
4
4 4
(1 )
2 64
 0,05 (1 )
P
x y
J DJ J
D



    
 
x
y
d
D
d
Với 
d
D
 
Chương IV: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 
4.5. Moment quán tính đối với hệ trục song song 
O
X
Y
Y
X
dF
y
x
a
b
o x
y
X x a
Y y b
 
  
2 2
2 2
( )
( )
( )( )
X
F F
Y
F F
XY
F F
J Y dF y b dF
J X dF x a dF
J XYdF x a y b dF

  

   

    

 
 
 
2
2
2
2
X x x
Y y y
XY xy x y
J J b F bS
J J a F aS
J J abF aS bS
   

  
    
Khi Oxy là hệ trục trung tâm, ta có: Khai triển, ta được: 
2
2
X x
Y y
XY xy
J J b F
J J a F
J J abF
  

 
  
Chương IV: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 
Ví dụ 1: Cho mặt cắt ngang có hình 
dạng và kích thước như hình vẽ. Xác 
định các moment quán tính chính trung 
tâm của mặt cắt. 
4.6. Một số ví dụ 
Chương IV: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 
4.6. Một số ví dụ 
10/22/2012 
5 
Chương IV: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 
4.6. Một số ví dụ 
Chương IV: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 
4.6. Một số ví dụ 
Ví dụ 2: Cho mặt cắt ngang có hình dạng và kích thước như hình 
vẽ. Xác định các moment quán tính chính trung tâm của mặt cắt. 
Chương IV: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 
4.6. Một số ví dụ 
Chương IV: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 
4.6. Một số ví dụ 
10/22/2012 
6 
Chương IV: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 
4.6. Một số ví dụ 
Vậy 
Chương IV: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 
4.6. Một số ví dụ 
Ví dụ 3: Xác định tọa độ trọng tâm mặt cắt như hình vẽ 
Chương IV: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 
4.6. Một số ví dụ 
Chương IV: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 
4.6. Một số ví dụ 
Vậy 
Moment tĩnh: 
10/22/2012 
7 
Chương IV: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 
Ví dụ 4: Xác định các moment quán tính chính trung tâm và 
các trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt: 
4.6. Một số ví dụ 
Chương IV: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 
4.6. Một số ví dụ 
Tọa độ trọng tâm của nửa hình tròn: 
Tọa độ trọng tâm của mặt cắt: 
Moment quán tính chính trung tâm: 
Chương IV: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM 
4.6. Một số ví dụ