Bài giảng Cơ sở tự động - Chương 9: Thiết kế hệ thống điều khiển rời rạc - Huỳnh Thái Hoàng

⎜
⎜
⎝ ⎥⎦⎢⎣ +−
+−+−
kzk
kkz⇔
⎤⎡ 316.01A
0)092.0316.0(316.0)316.0368.0)(092.01( 2121 =+−−+−+− kkkzkz⇔
0)368.0316.0066.0()368.1316.0092.0( 2121
2 =+−+−++ kkzkkz⇔
⎥⎤⎢⎡=
⎥⎦⎢⎣=
092.0
368.00d
B
16 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 38
⎦⎣ 316.0d
PP phân bố cực. Thí dụ 1
‘ Cặp cưc phức mong muốn:ï
ϕjrez ±=*2,1
trong đó:
493.010707.01.0 === ××−− eer nTξω
70707070110101 22 =−××=−= ξωϕ T ...n
⇒ 707.0* 493.02,1 jez ±=
⇒ 320.0375.0*2,1 jz ±=
‘ Phương trình đặc trưng mong muốn:
0)320.0375.0)(320.0375.0( =+−−− jzjz
⇔ 024307502
16 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 39
.. =+− zz
PP phân bố cực. Thí dụ 1
‘ Cân bằng các hệ số phương trình đặc trưng của hệ thống và
phương trình đặc trưng mong muốn, ta được:
⎧ =+ 750)368131600920( kk
⎩⎨ =+−
−−
243.0)368.0316.0066.0(
....
21
21
kk
⎧⇒
⎩⎨ =
=
047.1
12.3
2
1
k
k
Kết luận: [ ]047.112.3=K
0)368.0316.0066.0()368.1316.0092.0( 2121
2 =+−+−++ kkzkkz
16 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 40
0243.075.02 =+− zz
PP phân bố cực. Thí dụ 2
‘ Cho hệ thống điều khiển:
r(k) c(k)+− ZOHT 0 1
u(k) uR(t)
10x1x2
1
1 1
= .
++ k2
+s s
k1
1. Viết phương trình trạng thái mô tả hệ hở
2. Hãy xác định vector hồi tiếp trạng thái K = [k1 k2] sao cho hệ
thống kín có cặp nghiệm phức với ξ=0.5, ωn=8 rad/sec.
3. Tính đáp ứng của hệ thống với giá trị K vừa tìm được khi tín
16 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 41
hiệu vào là hàm nấc đơn vị. Tính độ vọt lố, thời gian quá độ.
PP phân bố cực. Thí dụ 2
‘ Giải:
1. Viết phương trình trạng thái mô tả hệ hở:
c(t)uR(t) xx1 1û h li 1012
1+s sB1: PTTT mô ta ệ ên tục:
sXsX )()( 2 )()( sXssX⇒ )()( txtx =&⇒
s1
=
)()(2 = sUsX R
21 = 21
)()()1( 2 sUsXs R=+⇒ )()()( 22 tutxtx R+−=&⇒1+s
)(
0)(10)( 11 tu
txtx
R⎥⎤⎢⎡+⎥⎤⎢⎡⎥⎤⎢⎡=⎥⎤⎢⎡
&
1)(10)( 22 txtx ⎦⎣⎦⎣⎦⎣ −⎦⎣ &
[ ] ⎥⎤⎢⎡== )(010)(10)( 1 txtxtc
16 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 42
⎦⎣ )(21 tx
PP phân bố cực. Thí dụ 2
B2: Ma trận quá độ:
( ) 1)( -ss AI −=Φ
1
10
1 −
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
−=
s
s1
10
10
10
01 −
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= s
⇒ ⎥⎥
⎤
⎢⎢
⎡
+Φ )1(
11
)( sss
⎥⎥⎦⎢⎢⎣ +
=
1
10
s
s
)]([)( 1 st Φ=Φ −L
⎪
⎪⎪⎬
⎫
⎪
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥
⎥⎤
⎢⎢
⎢⎡ += − sss
1
)1(
11
1L ⎥⎥
⎥⎤
⎢⎢
⎢⎡
⎫⎧
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
+⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
=
−−
1
)1(
11 11
sss
LL
⎪⎭⎪⎩ ⎥⎦⎢⎣ + as0 ⎥⎦⎢⎣ ⎭⎬⎩⎨ +
−
1
0 1
s
L
⎥⎤⎢⎡ −Φ
−tet )1(1)(⇒
16 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 43
⎦⎣
= −te0
PP phân bố cực. Thí dụ 2
⎧ )()()1( kkk BAB3: PTTT mô tả hệ rời rạc hở:
⎩⎨ =
+=+
)()( kkc
u
d
dd
xC
xx
⎤⎡ 10 ⎤⎡)(Td Φ=A ⎥⎦⎢⎣
−= −
−
1.0
.
0
)1(1
e
e
⎥⎦⎢⎣= 905.00
095.01
dA⇒
∫Φ=
T
d d
0
)( ττ BB ∫ ⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −= −
−1.0
0 1
0
0
)1(1 ττ
τ
d
e
e ∫ ⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −= −
−1.0
0
)1( ττ
τ
d
e
e
( ) 1.0⎥⎤⎢⎡ += −ττ e ( )⎥⎤⎢⎡ −+= − 11.0 10 1.0e ⇒ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 0950
005.0
dB
0⎦⎣ − −τe
[ ]010== CC 0
)1(1)( ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=Φ −
−
e
et t
t⎦⎣ +− − 1.e .
16 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 44
d
1.0=T
PP phân bố cực. Thí dụ 2
2 Tính độ lơi hồi tiếp trang thái K:. ï ï
Phương trình đặc trưng của hệ kín:
0]d [ KBAIet =+− ddz
[ ] 0005.0095.0101det 21 =⎟⎟⎞⎜⎜⎛ ⎥⎤⎢⎡+⎥⎤⎢⎡−⎥⎤⎢⎡ kkz⇔ 095.0905.0010 ⎠⎝ ⎦⎣⎦⎣⎦⎣
0
005.0095.0005.01
det 21 ⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛
⎥⎤⎢⎡
+−+− kkz⇔
095.0905.0095.0 21
=
⎠⎝ ⎦⎣ +− kzk
0)005.0095.0(905.0)095.0905.0)(005.01( 2121 =+−−+−+− kkkzkz⇔
0)905.0095.00045.0()905.1095.0005.0( 2121
2 =+−+−++ kkzkkz⇔
16 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 45
PP phân bố cực. Thí dụ 2
C ë ư át đị h áap c ïc quye n mong muon:
ϕjrez ±=*2,1
67.085.01.0 === ××−− eer nTξω
693.05.0181.01 22 =−×=−= ξωϕ nT
⇒ 693.0* 67.02,1 jez ±=
Ph ì h đ á
428.0516.0*2,1 jz ±=⇒
0)428.0516.0)(428.0516.0( =+−−− jzjz
ương tr n ặc trưng mong muon:
16 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 46
0448.003.12 =+− zz⇒
PP phân bố cực. Thí dụ 2
C â b è ù h ä á PTTT û h ä kí ø PTTT áan ang cac e so cua e n va mong muon:
⎨⎧ −=−+ 03.1)905.1095.0005.0( 21 kk⎩ =+− 448.0)905.0095.00045.0( 21 kk
⇒ ⎨⎧ = 0.441k
[ ]8956044=KVậy
⎩ = 895.62k
..
0)905.0095.00045.0()905.1095.0005.0( 2121
2 =+−+−++ kkzkkz
16 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 47
0448.003.12 =+− zz
PP phân bố cực. Thí dụ 2
3 Tính đáp ứng và chất lương của hệ thống :. ï
Phương trình trạng thái mô tả hệ kín:
[ ]⎧
⎩⎨ =
+−=+
)()(
)()()1(
kkc
krkk
d
ddd
xC
BxKBAx
16 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 48
Thiế kế bộ ớ l hái ờit ư c ượng trạng t r rạc
16 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 49
Khái niệm ước lượng trạng thái
‘ Để thực thi được hệ thống điều khiển hồi tiếp trạng thái: cần phải đo 
được tất cả các trạng thái của hệ thống.
‘ Trong một số ứng dụng, chỉ đo được các tín hiệu ra mà khơng thể đo 
ấ ốt t cả các trạng thái của hệ th ng.
‘ Vấn đề đặt ra là ước lượng trạng thái của hệ thống từ tín hiệu ra đo 
lường được 
⇒ Cần thiết kế bộ ước lượng trạng thái (hoặc quan sát trạng thái)
16 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 50
Tính quan sát được
⎧ +=+ )()()1( kukk dd BxAxCh hệ hố
⎩⎨ = )()( kky d xC
‘ o t ng
‘ Hệ thống trên đươc goi là quan sát đươc hoàn toàn nếu cho tín ï ï ï 
hiệu điều khiển u(k) và tín hiệu ra y(k) trong khoảng k0 ≤ k ≤kf ta 
có thể xác định được trạng thái đầu x(k0).
‘ Một cách định tính, hệ thống là quan sát được nếu mỗi biến trạng 
thái của hệ đều ảnh hưởng đến đầu ra y(k).
16 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 51
Điều kiện cần và đủ để hệ thống quan sát được
⎧ +=+ )()()1( kukk dd BxAxĐối
⎩⎨ = )()( kky d xC
‘ tượng
Cần ước lượng trạng thái từ thơng tin biết trước về mơ hình)(ˆ kx
‘ Ma trận quan sát được (Observability matrix)
tốn học của đối tượng và dữ liệu vào ra của đối tượng. 
⎥⎥
⎤
⎢⎢
⎡
dd
d
AC
C
⎥⎥
⎥⎥
⎢⎢
⎢⎢=
2
ddAC
M
O
⎦⎣ −1nddAC
‘ Điều kiện cần và đủ để hệ thống quan sát được là:
16 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 52
nrank =)(O
Thí dụ khảo sát tính quan sát được
⎧ +=+ )()()1( kukk dd BxAxCh đối
⎩⎨ = )()( kky d xC
‘ o tượng
⎤⎡ 14809670 ⎤⎡ 2310
trong đĩ: ⎥⎦⎢⎣−= 522.0297.0
..
dA ⎥⎦⎢⎣= 264.0
.
dB [ ]31=dC
Hãy đánh giá tính quan sát được của hệ thống
‘ Giải: Ma trận quan sát được: 
⎤⎡
 . 
⎤⎡⎥⎦⎢⎣
=
dd
d
AC
C
O ⎥⎦⎢⎣= 714.1
3
077.0
1
O⇒
‘ Do 484.1)det( =O ⇒ 2)( =Orank
⇒ Hệ thống quan sát đươc
16 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 53
 ï
Bộ quan sát trạng thái
u(k) y(k)x(k)r(k) )()()1( kukk dd BxAx +=+ Cd
+
−
CdBd 1−z
L
)(ˆ kx
−
+
++
)1(ˆ +kx
)(ˆ ky
Ad
K
⎩⎨
⎧
=
−++=+
)(ˆ)(ˆ
))(ˆ)(()()(ˆ)1(ˆ
kky
kykykukk
d
dd
xC
LBxAx‘ Bộ quan sát trạng thái:
16 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 54
T
nlll ][ 21 K=Ltrong đĩ:
Thiết kế bộ quan sát trạng thái
‘ Yêu cầu: 
¾ Bộ quan sát trạng thái phải ổn định, sai số ước lượng trạng thái 
tiệm cận tiến về 0.
¾ Đặ tí h độ h ủ bộ át đủ h h ới đặ tí hc n ng ọc c a quan s n an so v c n 
động học của hệ thống điều khiển.
‘ Cần chọn L thỏa mãn:
¾ Tất cả các nghiệm của phương trình đều 
nằm trong vịng trịn đơn vị.
0)det( =+− ddzI LCA
¾ Các nghiệm của phương trình nằm xa 
vịng trịn đơn vị hơn so với các cực của phương trình 
0)det( =+− ddzI LCA
0)det( =+ KBAzI − dd
‘ Tùy theo cách thiết kế L ta cĩ các bộ quan sát trạng thái khác nhau:
¾ Bộ quan sát trạng thái Luenberger
16 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 55
¾ Bộ lọc Kalman (⇒ Lý thuyết điều khiển nâng cao)
Trình tự thiết kế bộ quan sát Luenberger
‘ Bư ù 1 Vi át hư t ì h đ ë t ư û b ä ùt t th ùiơc : e p ơng r n ac r ng cua o quan sa rạng a
0]det[ =+− ddz LCAI (1)
‘ Bướ 2 Vi át hươ t ì h đ ë t ư ùt ác : e p ng r n ac r ng quan sa mong muon
0)(
1
=−∏
=
n
i
ipz (2)
‘ Bước 3: Cân bằng các hệ số của hai phương trình đặc trưng (1) và
),1( , nipi = là các cực mong muốn của bộ quan sát
(2) sẽ tìm được vector L. 
16 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 56
Thí dụ thiết kế bộ quan sát trạng thái
‘ Thí du: Cho đối tương mô tả bởi phương trình trang thái: ï ï ï 
⎩⎨
⎧ +=+
)()(
)()()1(
kky
kukk dd
xC
BxAx&
= d
⎥⎤⎢⎡=
148.0967.0
A ⎥⎤⎢⎡=
231.0
B [ ]31=dC
‘ Giả ử khơ thể đ đượ á t thái ủ hệ thố Hã thiết kế
⎦⎣− 522.0297.0d ⎦⎣ 264.0d
 s ng o c c c rạng c a ng. y 
bộ quan sát trạng thái Luenberger, sao cho các cực của bộ quan sát 
trạng thái nằm tại 0 13 và 0 36 . . .
16 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 57
Thí dụ thiết kế bộ quan sát trạng thái (tt)
‘ Giải:
‘ Phương trình đặc trưng của bộ quan sát Luenberger
0]det[ =+− ddz LCAI
[ ] 031
52202970
148.0967.0
10
01
det 1 =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
l
l
z⇒
.. 2
⇒ 0
352202970
3148.0967.0
det 11 =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++
+−+−
lzl
llz
(1)0)549.0753.2413.1()489.13( 2121
2 =+−−+−++ llzllz⇒
.. 22 −
‘ Phương trình đặc trưng của bộ quan sát mong muốn:
0)36.0)(13.0( =−− zz
16 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 58
(2)00468.049.02 =+− zz⇒
Thí dụ thiết kế bộ quan sát trạng thái (tt)
‘ C â b è ù h ä á û h i hươ t ì h (1) ø (2)an ang cac e so cua a p ng r n va , suy ra:
⎩⎨
⎧
=+
=−+
04680549075324131
49.0489.13 21
ll
ll
−− .... 21
‘ Giải hệ phương trình trên, ta được:
⎩⎨
⎧
=
−=
544.1
653.2
2
1
l
l
[ ]T544.1653.2−=L‘ Kết luận
16 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 59
Mơ phỏng bộ quan sát trạng thái rời rạc 
16 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 60
Kết quả mơ phỏng ước lượng trạng thái
16 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 61