Bài giảng Cơ sở tự động - Chương 8: Phân tích hệ thống điều khiển rời rạc - Huỳnh Thái Hoàng

ng quá độ dưa vào đáp ứng thời gianï ï
y(k) của hệ rời rạc.
yy‘ Độ vọt lố: %100max
xl
xl
y
POT −=
trong đó y và y l là giá trị cưc đai và giá trị xác lập của y(k)max x ï ï
‘ Thời gian quá độ: Tkt qđqđ =
trong đó kqđ thỏa mãn điều kiện:
đ
xl
l kk
yyky ≥∀≤− .)( ε qx ,100
qđxlxl kkykyy ≥∀⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +≤≤⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − ,1)(1 εε⇔
7 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 40
100100
Chất lượng quá độ
Cách 2: Đánh giá chất lương quá độ dưa vào cặp cưc quyết địnhï ï ï .
‘ Cặp cực quyết định: ϕjrez =*2,1
⇒ ⎪
⎪
⎨
⎧
+
−=
22)(ln
ln
ϕξ r
r
⎪⎪⎩ +=
22)(ln1 ϕω r
Tn
‘ Độ vọt lố: %100
1
exp
2
×⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−−= ξ
ξπPOT
‘ Thời gian quá độ: t ξω
3=qđ (tiêu chuẩn 5%)
7 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 41
n
Sai số xác lập
GC(z)
Y(s)+− T G(s)ZOH
R(s) E(z)
H(s)
‘ Biểu thức sai số: )()( zRE
)()(1 zGHzG
z
C+
=
‘ Sai số xác lập: )()1(lim)(lim 1
1xl
zEzkee
zk
−
→∞→ −==
7 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 42
Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 1
Y( )R( )
10)( =sG
s+− G(s)ZOH
s
1.0=T
)3)(2( ++ ss
1. Tính hàm truyền kín của hệ thống điều khiển trên.
2. Tính đáp ứng của hệ đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị.
3. Đánh giá chất lương của hệ thống: độ vot lố, thời gian quá độ,ï ï
sai số xác lập.
‘ Gi ûia :
1. Hàm truyền kín của hệ thống:
)(1
)()(
zG
zGzGk +=
7 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 43
Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 1
⎫⎧G )( 10
⎭⎬⎩⎨−=•
−
s
szzG )1()( 1 Z )3)(2(
)( ++= sssG
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
++−=
−
)3)(2(
10)1( 1
sss
z Z
))()(1(
)()1(10 1.031.02
1
×−×−
−
−−−
+−=
ezezz
BAzzz
))()(1(
)(
))((
1
ezezz
BAzz
bsass bTaT −−−
+=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
++ −−Z
⇒ 036.0042.0)( +zzG
)1()1(
)(
)1()1(
ebeeae
abab
eaebA
aTbTbTaT
bTaT
−
−−−=
−−−−
−−
)741.0)(819.0( −−= zz
7 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 44
)( abab
B −
−−−=
Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 1
)(G 03600420 +z
)(1
)( 
zG
zzGk +=• )741.0)(819.0(
..)( −−= zzzG
03600420
)741.0)(819.0(
036.0042.0
−−
+
= zz
z
)741.0)(819.0(
..1 −−
++
zz
z
⇒
643.0518.1
036.0042.0)( 2 +−
+=
zz
zzGk
7 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 45
Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 1
2 Đ ù ứ û h ä th á khi tí hi ä ø l ø h ø á đơ ị
036.0042.0)( +zzG)()()( zRzGzY k=
. ap ng cua e ong n eu vao a am nac n v :
643.0518.12 +−= zzk
)(
643.0518.1
036.0042.0
2 zRzz
z
+−
+=
)(
643051811
036.0042.0
21
21
zR
zz
zz
−−
−−
+
+=
..−
⇒ )()036.0042.0()()643.0518.11( 2121 zRzzzYzz −−−− +=+−
⇒ )2(036.0)1(042.0)2(643.0)1(518.1)( −+−=−+−− krkrkykyky
)2(0360)1(0420)2(6430)1(5181)( ++= krkrkykyky⇒
7 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 46
.... −−−−−
Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 1
01)( ≥∀kkTí hi ä ø l ø h ø á đơ ị ,=rn eu vao a am nac n v :
Điều kiện đầu: 0)2()1( =−=− yy
Thay vào biểu thức đệ qui tính y(k):
{
}
;.; .; .;.; .; .
ky
...689806985069750681706459058600
...;0)(
0.5003;0.3909; 0.2662;0.1418;0.0420; =
;....; .; .; .; .; . 619106251063410646106606067600 
)2(0360)1(0420)2(6430)1(5181)( ++= krkrkckckc
7 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 47
.... −−−−−
Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 1
Step Response
0.6
0.7
0.5
A
m
p
l
i
t
u
d
e
0.3
0.4
0.2
0
0.1
7 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 48
Time (sec)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
03600420 +z
Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 1
3 Ch át lươ û h ä th á
2
1)(
643.0518.1
..)( +−=
R
zz
zGk
. a ïng cua e ong:
)()1(li 1 Y−
Giá trị xác lập của đáp ứng:
11 −−= zzm1 zzy zxl → −=
)()()1(lim 1
1
zRzGz kz
−
→ −=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+−
+−= −−→ 12
1
1 1
1
643.0518.1
036.0042.0)1(lim
zzz
zz
z
6240.=xly⇒
Giá trị cực đại của đáp ứng: 6985.0max =y
‘ Độ vọt lố: %100
624.0
624.06985.0%100max −=−=
xl
xl
y
yyPOT
7 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 49
%94.11=POT
Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 1
‘ Thời i ù đ ä th ti â h å 5% 6240g an qua o eo eu c uan :
Trước tiên ta cần xác định kqđ thỏa:
( ) ( ) kkk ≥∀≤≤ 1)(1
05.0%5
.
==
=
ε
xlc
qđxlxl yyy +− ,εε
qđkkky ≥∀≤≤ ,655.0)(593.0⇔
Theo kết quả tính đáp ứng ở câu 2 ta thấy: 14=qđk
1.014×== Tkt qđqđ
{
sec4.1=qđt⇒
S i á ù l ä
}
;.; .; .;.; .; .
kc
...689806985069750681706459058600 
...0.5003;0.3909; 0.2662;0.1418;0.0420; ;0)( =‘ a so xac ap:
Do hệ thống hồi tiếp âm đơn vị nên ta có thể tính
62401 3760
7 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 50
;....; .; .; .; .; . 619106251063410646106 06067600 .−=−= xlxlxl yre .xl =e⇒
Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 1
‘ Chú ý: Ta có thể tính POT và tqđ dưa vào cặp cưc phứcï ï
Cặp cực phức của hệ thống kín là nghiệm của phương trình
0643.0518.12 =+− zz
3285.08019.02587075900*2,1 ∠=±= . j .z⇒
557908019.0lnln =−=−=ξ r .
3285.0)8019.0(ln)(ln 2222 ++ϕr
3958032850)80190(ln1)(ln1 2222 =+=+= ϕω r
⇒
%1112%10014.35579.0exp%100exp =⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛ ×=⎟⎞⎜⎛= ξπPOT
...
1.0Tn
..
5579.01
.
1 22 ⎠⎝ −
−⎟⎠⎜⎝ −
− ξ
36133t
7 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 51
sec.
3958.05579.0
=×== nξωqđ
Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 2
y(t)+− ZOH
r(t)
T
eR(t)e(kT)e(t)
)(sG
)5(2 +s
Với T = 0.1
1 Thành lập hệ phương trình trang thái mô tả hệ thống trên
)3)(2(
)( ++= sssG
. ï .
2. Tính đáp ứng của hệ đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị
(điều kiện đầu bằng 0) dưa vào phương trình trang thái vừa tìmï ï
được.
3 Tí h đ ä t l á thời i ù đ ä i á ù l ä
7 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 52
. n o vọ o, g an qua o, sa so xac ap.
Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 2
‘ Gi ûi
1. Thành lập phương trình trạng thái:
a :
65
102
)3)(2(
)5(2
)(
)()( 2 ++
+=++
+==
ss
s
ss
s
sE
sYsG
R
0)(10)( tt ⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡ &
‘ PTTT của hệ liên tục hở theo phương pháp tọa độ pha:
⇒ {
)(
1)(56)( 2
1
2
1 te
tx
x
tx
x
R
BA
⎥⎦⎢⎣+⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ −−=⎥⎦⎢⎣ 43421&
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
)(
)(
210)( 1
tx
tx
ty 31
7 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 53
2
2
C
Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 2
‘ Ma trận quá độ:
( )
11
1
56
1
56
10
10
01
)(
−−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−=Φ
s
s
sss -AI
⎥⎥
⎥⎤
⎢⎢
⎢⎡
−
++++
+
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +
+= 6
)3)(2(
1
)3)(2(
5
6
15
6)5(
1
s
ssss
s
s
⎥⎦⎢⎣ ++++
−−
)3)(2()3)(2( ssss
sss
⎤⎡ ⎫⎧⎫⎧ 1123 11
⎥⎥
⎥⎥
⎢⎢
⎢⎢
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ +−⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ +−
⎭⎬⎩⎨ +−+⎭⎬⎩⎨ +−+==Φ=Φ
−−
−−
−
3266
3232)]([)(
11
1 ssssst
LL
LL
L
⇒ ⎥⎤⎢⎡ −−=Φ
−−−− )()23()(
3232 tttt eeeet
⎦⎣ ++++ 3232 ssss
7 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 54
⎦⎣ +−+− −−−− )32()66( 3232 tttt eeee
Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 2
⎧ +=+ )()(])1[( kTekTTk BxAx‘ PTTT của hệ rời rạc hở:
⎩⎨ = )()( kTkTy d
Rdd
xC
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−+−
−−=Φ=
=
−−−−
−−−−
5850.04675.0
0779.09746.0
)32()66(
)()23()(
1.0
3232
3232
T
TTTT
TTTT
d eeee
eeeeTA
∫∫ ⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−+−
−−=Φ= −−−−
−−−−TT
d deeee
eeeed
0
3232
3232
0 1
0
)32()66(
)()23()( τττ ττττ
ττττ
BB
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎥
⎤
⎢⎢
⎡ +−=⎪
⎪⎬⎫⎪
⎪⎨⎧ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
−−−−
∫ 07790
0042.0)
32
(
)(
)(
1.032
32
32
ττ
ττ
ττ
τ
ee
dee
T
[ ]210CC
⎦⎣ −⎭⎩ +− −−
−− .)(32 0
320 ττ eeee
7 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 55
==d
Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 2
‘ PTTT rời rac mô tả hệ kínï
[ ]
⎩⎨
⎧
=
+−=+
)()(
)()(])1[(
kTkTy
kTrkTTk dddd
xC
BxCBAx
d
với
[ ] [ ] ⎤⎡⎤⎡⎤⎡ 0695093260004200779097460 ⎥⎦⎢⎣−=⎥⎦⎢⎣−⎥⎦⎢⎣−=− 4292.02465.1
..
210
0779.0
.
5850.04675.0
..
ddd CBA
‘ Vậy phương trình trang thái của hệ rời rac cần tìm là:ï ï
)(
07790
0042.0
)(
)(
4292024651
0695.09326.0
)1(
)1( 11 kTr
k
kx
k
kx
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
)(
)(
.210)( 1
k
kx
ky
... 22 xx −+
7 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 56
2x
Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 2
2 Đáp ứng của hệ thống:.
⎨⎧ ++=+ )(0042.0)(0695.0)(9326.0)1( 211 krkxkxkx
Từ PTTT ta suy ra:
Với điều kiện đầu x1(−1)=x2(− 1)=0, tín hiệu vào là hàm nấc đơn
⎩ ++−=+ )(0779.0)(4292.0)(2465.1)1( 212 trkxkxkx
{
}
 59.7;... 57.4; 54.0; 49.1; 42.6; 34.2; 24.2; 13.5; 4.2; ;010)( 31 ×= −kx
vị, suy ra nghiệm của PTTT là:
...62.662.6;62.7;62.7; 62.8;62.8;62.7;62.5;62.0; 61.2; 
{
}0 40 5;0 5;0 5;0 3;0 3;1 4;3 4;6 5;11 4;
 ... 18.5; 28.3; 41.2; 57.2; 75.4; 93.5; 106.6; 106.1; 77.9; ;010)( 32
-----
kx ×= −
............ . 
{ 0.634;...0.631;0.622;0.606;0.577;0.529;0.455;0.348; 0.198; ;0)( =ky
)(2)(10)( 21 kxkxky +=Đáp ứng của hệ thống:
7 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 57
}...0.625 0.625; 0.626; 0.627; 0.627; 0.629; 0.630; 0.632; 0.634; 0.635; 
Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 2
Step Response
0.6
0.7
0.5
A
m
p
l
i
t
u
d
e
0.3
0.4
0.2
0
0.1
7 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 58
Time (sec)
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Chất lượng của hệ rời rạc. Thí dụ 2
3 Chất lương của hệ thống:. ï
‘ Độ vọt lố:
630 5.max =y
625.0=xly
%6.1%100max =−=
xl
xl
y
yyPOT⇒
‘ Thời gian quá độ theo chuẩn 5%:
( ) ( ) qđxlxl kkykyy ≥∀+≤≤− ,05.01)(05.01
6,656.0)(594.0 ≥∀≤≤ kky 
Theo đáp ứng của hệ thống:
{ 0.634;...0.631;0.622;0.606;0.577;0.529;0.455;0.348; 0.198; ;0)( =kc
S i á ù l ä 375062501
6=qđk⇒ sec6.0== Tkt qđqđ⇒
7 December 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 59
}...0.625 0.625; 0.626; 0.627; 0.627; 0.629; 0.630; 0.632; 0.634; 0.635; ‘ a so xac ap: .. =−=−= xlxlxl yre