Bài giảng Cơ sở tự động - Chương 4: Khảo sát tính ổn định của hệ thống - Huỳnh Thái Hoàng

20j
−63 50
+j2
.
0
Re s
−4 −2
−j2
20j−
27 September 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 44
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí du 3 ï 
‘ Vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi K=0→+∞.
)208)(3(
)1()( 2 +++
+=
ssss
sKsG
‘ Giải:
‘ Phương trình đặc trưng của hệ thống:
0)(1 =+ sG ⇔ (1)0)1(1 =++ sK 
)208)(3( 2 +++ ssss
‘ Các cực: 32 −=p 244,3 jp ±−=01 =p
27 September 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 45
‘ Các zero: 11 −=z
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí du 3 (tt) ï 
‘ Tiệm cận: 0)( 
3
)12()12(
1 ==
++
l
ll
πα
1)( 
)1( 
3
14
3
2
==
=−=⇒−=−=
l
-l
mn πα
παππα
3
10
14
)1()]24()24()3(0[zero −=−
−−−−++−+−+=−
−= ∑∑ jj
mn
OA cực
‘ Điểm tách nhập:
(1) ⇔
)1(
)208)(3( 2 +++−= ssssK ⇒ 2
234
)1(
608877263 ++++−= ssss
d
dK
0)1(1 =++ sK
+s +ss
0=
d
dKDo đó (không có 
đi å ù h h ä )⎨
⎧
±
±−=
970660
05,167,32,1
j
js⇔
27 September 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 46
)208)(3( 2 +++ sssss em tac n ap ⎩ −= .,4,3s
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí du 3 (tt) ï 
‘ Giao điểm của QĐNS với trục ảo:
(1)⇔ (2)0)60(4411 234 =+++++ KsKsss 
Thay s=jω vào phương trình (2):
0)60(4411 234 =+++−− KjKj ωωωω
⎩⎨
⎧
=
=
0
0
K
ω
⇔
⎩⎨
⎧
=++−
=+−
0)60(11
044
3
24
ωω
ωω
K
K ⇔
⎩⎨
⎧
=
±=
322
893,5
K
ω
0)1(1 =++ sK⎩⎨
⎧
−=
±=
7,61
314,1
K
jω
(loại) 
27 September 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 47
)208)(3( 2 +++ ssssVậy giao điểm cần tìm là: HSKĐ giới hạn là: 893,5js ±= 322=ghK
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí du 3 (tt) ï 
‘ Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p3:
)(180 43213 ββββθ ++−+=
)906,1164,153(3,146180 ++−+=
0
3 7.33−=θ
27 September 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 48
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí du 3 (tt) Im s ï 
+j5,893
−33.70 +j2
β1 β2β3
0
Re s
−3 −1−4
β4
−j2
27 September 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 49
−j5,893
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí du 4 ï 
‘ Cho hệ thống điều khiển có sơ đồ khối như sau:
)39(
10)( 2 ++= sssG
s
KKsG IPC +=)(
‘ Cho KI = 2.7, hãy vẽ QĐNS của hệ thống sau đây khi KP =0→+∞,
biết rằng dK / ds=0 có 3 nghiệm là −3 − 3 1 5P , , . .
‘ Khi KP =270, KI = 2.7 hệ thống có ổn định hay không?
27 September 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 50
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí du 4 (tt) ï 
‘ Giải:
‘ Phương trình đặc trưng của hệ thống:
0)()(1 =+ sGsGC
⎞⎛⎞⎛ 0
39
107.21 2 =⎟⎠⎜⎝ ++⎟⎠⎜⎝ ++ sssKP⇔
(1) 0
)3)(9(
101 2 =+++ ss
sKP⇔
‘ Các zero: 0z
‘ Các cực: 91 −=p 32 jp += 33 jp −=
27 September 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 51
1 =
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí du 4 (tt) ï 
‘ Tiệm cận:
0)(l2/)12()12( =++ πππ ll
1)(l 2/
13 −=−⇒−=−= πα mn
9)0()]3()3(9[∑∑ jj
213
zero −=−
−−++−=−
−=
mn
OA cực
‘ Điểm tách nhập:
0=dKP ⎪⎨
⎧
−=
−=
3
3
2
1
s
s
⇔
ds (loại) ⎪⎩ = 5.13s
QĐNS có hai điểm tách nhập trùng nhau tai 3
27 September 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 52
 ï −
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí du 2 (tt) ï 
‘ Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p2:
)]()[ ()(1800θ argargarg 3212122 ppppzp −+−−−+=
))]3(3arg())9(3[arg()03arg(1800 jjjj −−+−−−−+=
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−−+=
− 90
9
390180 10 tg
0
2 169−=θ
27 September 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 53
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Thí d 4 (tt) ụ 
‘ Khi KI =2.7, QĐNS của
hệ thống nằm hoàn
toàn bên trái mặt phẳng
phức khi KP =0→+∞,
do đó hệ thống ổn định
khi KI =2.7, KP =270.
27 September 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 54
å å à áTiêu chuan on định tan so
27 September 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 55
Nhắc lại: Các thông số quan trọng của đặc tính tần số
‘ T à á ét bi â ( ) l ø t à á ø t i đ ù bi â đ ä û đ ë tí h t àan so ca en ωc : a an so ma ạ o en o cua ac n an
số bằng 1 (hay bằng 0 dB).
1)( =M ω 0)( =L ω⇔c c
‘ Tần số cắt pha (ω−π): là tần số mà tại đó pha của đặc tính tần số
bằng −1800 (hay bằng −π radian).
0180)( −=−πωϕ rad )( πωϕ π −=−⇔
‘ Độ dự trữ biên (GM – Gain Margin):
)(
1=
M
GM ⇔ )( πω−−= LGM [dB] 
πω−
‘ Độ dự trữ pha ( ΦM – Phase Margin):
27 September 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 56
)(1800 cM ωϕ+=Φ
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Biểu đồ Bode Biểu đồ Nyquist 
27 September 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 57
Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
‘ Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết đặc tính tần số của hệ hở
G(s), bài toán đặt ra là xét tính ổn định của hệ thống kín Gk(s).
‘ Ti â h å N i t H ä th á kí G ( ) å đị h á đườeu c uan yqu s : e ong n k s on n neu ng cong
Nyquist của hệ hở G(s) bao điểm (−1, j0) l/2 vòng theo chiều
dương (ngược chiều kim đồng hồ) khi ω thay đổi từ 0 đến +∞,
trong đó l là số cực nằm bên phải mặt phẳng phức của hệ hở G(s)
.
27 September 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 58
Tiêu chuẩn ổn định Nyquist – Thí dụ 1
‘ Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị trong đó hệ hở G(s) có đường,
cong Nyquist như hình vẽ. Biết rằng G(s) ổn định. Xét tính ổn
định của hệ thống kín.
27 September 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 59
Tiêu chuẩn ổn định Nyquist – Thí dụ 1 (tt)
‘ Giải:
Vì G(s) ổn định nên G(s) không có cực nằm bên phải mặt phẳng
phức, do đó theo tiêu chuẩn Nyquist hệ kín ổn định nếu đường
cong Nyquist G(jω) của hệ hở không bao điểm (−1, j0)
‘ Trường hợpc: G(jω) không bao điểm (−1, j0)⇒ hệ kín ổn định.
d å û å‘ Trường hợp : G(jω) qua điem (−1, j0) ⇒ hệ kín ơ biên giới on
định;
‘ Trường hơpe: G(jω) bao điểm (−1 j0)⇒ hệ kín không ổn địnhï , .
27 September 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 60
Tiêu chuẩn ổn định Nyquist – Thí dụ 2
‘ H õ đ ù h i ù tí h å đị h û h ä th á h ài ti á â đơ ị bi átay an g a n on n cua e ong o ep am n v , e
rằng hàm truyền hệ hở G(s) là:
)1)(1)(1(
)(
321 +++
=
sTsTsTs
KsG
‘ Giải:
‘ Biểu đồ Nyquist:
27 September 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 61
Tiêu chuẩn ổn định Nyquist – Thí dụ 2 (tt)
Vì G(s) không có cực nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó theo
tiêu chuẩn Nyquist hệ kín ổn định nếu đường cong Nyquist
G(jω) của hệ hở không bao điểm (−1, j0)
‘ Trường hợpc: G(jω) không bao điểm (−1, j0)⇒ hệ kín ổn định.
‘ Trường hợp d: G(jω) qua điểm (−1, j0) ⇒ hệ kín ở biên giới ổn
định;
‘ Trường hơpe: G(jω) bao điểm ( 1 j0)⇒ hệ kín không ổn địnhï − , .
27 September 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 62
Tiêu chuẩn ổn định Nyquist – Thí dụ 3
Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số như các hình
vẽ dưới đây. Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định.
27 September 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 63
Ổn định Không ổn định
Tiêu chuẩn ổn định Nyquist – Thí dụ 3 (tt)
Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số như các hình
vẽ dưới đây. Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định.
27 September 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 64
Không ổn định
Tiêu chuẩn ổn định Nyquist – Thí dụ 3 (tt)
Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số như các hình
vẽ dưới đây. Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định.
27 September 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 65
Ổn định Không ổn định
Tiêu chuẩn ổn định Nyquist – Thí dụ 4
h h h á h û ù h ø à đ l ø‘ C o ệ t ong ơ co am truyen ạt a:
(K>0, T>0, n>2)nT
KsG
)(
)(
1+= s
Tìm điều kiện của K và T để hệ thống kín (hồi tiếp âm đơn vị) ổn
định.
‘ Giải:
‘ Đặc tính tần số của hệ thống là: nTj
KjG
)1(
)( += ωω
KŽ Biên độ: ( )nTM 1)( 22 += ωω
27 September 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 66
Ž Pha: )()( ωωϕ Tntg 1−−=
Tiêu chuẩn ổn định Nyquist – Thí dụ 4 (tt)
å à‘ Bieu đo Nyquist:
‘ Điều kiện ổn định: đường cong Nyquist không bao điểm (−1 j0), .
Theo biểu đồ Nyquist, điều này xảy ra khi:
1)( <−πωM
27 September 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 67
Tiêu chuẩn ổn định Nyquist – Thí dụ 4 (tt)
1‘ Ta có: πωωϕ ππ −=−= −−− )()( Tntg
Ttg πω π =−− )(1⇒ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=− tgT πω π )(⇒n n
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= tg πω 1⇒ − nTπ
K‘ Do đó: 1)( <−πωM ⇔ 1
11
2
2
<
⎟⎞⎜⎛ +⎥⎤⎢⎡ ⎟⎞⎜⎛
n
tgT π ⎟⎠⎜⎝ ⎦⎣ ⎠⎝ nT⇔
n
tgK ⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛ +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛< 12 π
27 September 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 68
n ⎠⎝
Tiêu chuẩn ổn định Bode
‘ Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, biết đặc tính tần số của hệ hở
G(s), bài toán đặt ra là xét tính ổn định của hệ thống kín Gk(s).
‘ Ti â h å B d H ä th á kí G ( ) å đị h á h ä th á hởeu c uan o e: e ong n k s on n neu e ong
G(s) có độ dự trữ biên và độ dự trữ pha dương:
0⎧ >GM địnhổnthốngHệ 
0
⇔⎩⎨ >ΦM
27 September 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 69
Tiêu chuẩn ổn định Bode: Thí dụ
‘ Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị biết rằng hệ hở có biểu đồ Bode,
như hình vẽ. Xác định độ dự trữ biên, độ dự trữ pha của hệ thống
hở. Hỏi hệ kín có ổn định không?
5=cω
Theo biểu đồ Bode:
GM
L(ω−π ) 2=−πω
dBL 35=− )( πω
0270)(
dBGM 35−=
−=cωϕ
000 90270180Φ )(M
ΦM
ω
ϕ(ωC)
−180
ω
−=−+=
Do GM<0 và ΦM<0
nên hệ thống kín không
27 September 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 70
−π C ổn định.
Tiêu chuẩn ổn định tần số
Chú ý 
‘ Trường hợp hệ thống hồi tiếp âm như hình vẽ, vẫn có thể áp dụng
tiêu chuẩn ổn định Nyquist hoặc Bode, trong trường hợp này hàm
àtruyen hở là G(s)H(s) .
27 September 2010 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 71