Bài giảng Cấu trúc dữ liệu và giải thuật - Kỹ thuật phân tích giải thuật - Nguyễn Văn Linh

t phương pháp đoán nghiệm để giải phương trình đệ quy.Vận dụng được việc giải phương trình đệ quy thuộc dạng phương trình tổng quát.Tổng hợp được vấn đề đánh giá giải thuật.Sự cần thiết phải phân tích, đánh giá giải thuậtCần phải phân tích, đánh giá giải thuật để:Lựa chọn một giải thuật tốt nhất trong các giải thuật để cài đặt chương trình giải quyết bài toán đặt ra.Cải tiến giải thuật hiện có để được một giải thuật tốt hơn. Tiêu chuẩn đánh giá một giải thuật là tốtMột giải thuật được xem là tốt nếu nó đạt các tiêu chuẩn sau:Thực hiện đúng.Tốn ít bộ nhớ.Thực hiện nhanh.Trong khuôn khổ môn học này, chúng ta chỉ quan tâm đến tiêu chuẩn thực hiện nhanh. Thời gian thực hiện của chương trìnhThời gian thực hiện một chương trình là một hàm của kích thước dữ liệu vào, ký hiệu T(n) trong đó n là kích thước (độ lớn) của dữ liệu vào.Ví dụ : Chương trình tính tổng của n số có thời gian thực hiện là T(n) = cn trong đó c là một hằng số. Thời gian thực hiện chương trình là một hàm không âm, tức là T(n)  0  n  0. Ðơn vị đo thời gian thực hiệnÐơn vị của T(n) không phải là đơn vị đo thời gian bình thường như giờ, phút giây... mà thường được xác định bởi số các lệnh được thực hiện trong một máy tính lý tưởng.Ví dụ: Khi ta nói thời gian thực hiện của một chương trình là T(n) = Cn thì có nghĩa là chương trình ấy cần Cn chỉ thị thực thi. Thời gian thực hiện trong trường hợp xấu nhất Nói chung thì thời gian thực hiện chương trình không chỉ phụ thuộc vào kích thước mà còn phụ thuộc vào tính chất của dữ liệu vào. Vì vậy thường ta coi T(n) là thời gian thực hiện chương trình trong trường hợp xấu nhất trên dữ liệu vào có kích thước n, tức là: T(n) là thời gian lớn nhất để thực hiện chương trình đối với mọi dữ liệu vào có cùng kích thước n. Tỷ suất tăngTa nói rằng hàm không âm T(n) có tỷ suất tăng (growth rate) f(n) nếu tồn tại các hằng số C và N0 sao cho T(n) ≤ Cf(n) với mọi n ≥ N0. Ta có thể chứng minh được rằng “Cho một hàm không âm T(n) bất kỳ, ta luôn tìm được tỷ suất tăng f(n) của nó”.Tỷ suất tăng (tt)Ví dụ 1: Giả sử T(0) = 1, T(1) = 4 và tổng quát T(n) = (n+1)2. Ðặt N0 = 1 và C = 4 thì với mọi n ≥1 chúng ta dễ dàng chứng minh được rằng T(n) = (n+1)2 ≤ 4n2 với mọi n ≥ 1, tức là tỷ suất tăng của T(n) là n2.Ví dụ 2: Tỷ suất tăng của hàm T(n) = 3n3 + 2n2 là n3. Thực vậy, cho N0 = 0 và C = 5 ta dễ dàng chứng minh rằng với mọi n ≥ 0 thì 3n3 + 2n2 ≤ 5n3 Khái niệm độ phức tạp của giải thuậtGiả sử ta có hai giải thuật P1 và P2 với thời gian thực hiện tương ứng là T1(n) = 100n2 (với tỷ suất tăng là n2) và T2(n) = 5n3 (với tỷ suất tăng là n3). Khi n>20 thì T1 =i+1;j--)/*3*/	 if (a[j].key a[j] cũng tốn O(1) thời gian, do đó lệnh {3} tốn O(1) thời gian.Vòng lặp {2} thực hiện (n-i) lần, mỗi lần O(1) do đó vòng lặp {2} tốn O((n-i).1) = O(n-i).Vòng lặp {1} có i chạy từ 1 đến n-1 nên thời gian thực hiện của vòng lặp {1} và cũng là độ phức tạp của giải thuật là Tìm kiếm tuần tự Hàm tìm kiếm Search nhận vào một mảng a có n số nguyên và một số nguyên x, hàm sẽ trả về giá trị logic TRUE nếu tồn tại một phần tử a[i] = x, ngược lại hàm trả về FALSE.Giải thuật tìm kiếm tuần tự là lần lượt so sánh x với các phần tử của mảng a, bắt đầu từ a[1], nếu tồn tại a[i] = x thì dừng và trả về TRUE, ngược lại nếu tất cả các phần tử của a đều khác X thì trả về FALSE.Tìm kiếm tuần tự (tt)FUNCTION Search(a:ARRAY[1..n] OF Integer; x:Integer): Boolean; VAR i:Integer; Found:Boolean;BEGIN{1}	i:=1;{2}	Found:=FALSE;{3}	WHILE(i0 chương trình phải gọi đệ quy Giai_thua(n-1), việc gọi đệ quy này tốn T(n-1), sau khi có kết quả của việc gọi đệ quy, chương trình phải nhân kết quả đó với n và return tích số. Thời gian để thực hiện phép nhân và return là một hằng C2. Vậy ta có phương trình:Giải thuật MergeSortList MergeSort (List L; int n){ List L1,L2 if (n==1) RETURN(L); else { 	 Chia đôi L thành L1 và L2, với độ dài n/2;	 RETURN(Merge(MergeSort(L1,n/2),MergeSort(L2,n/2))); };}; Hàm MergeSort nhận một danh sách có độ dài n và trả về một danh sách đã được sắp xếp. Thủ tục Merge nhận hai danh sách đã được sắp L1 và L2 mỗi danh sách có độ dài , trộn chúng lại với nhau để được một danh sách gồm n phần tử có thứ tự. Mô hình minh hoạ MergesortSắp xếp danh sách L gồm 8 phần tử 7, 4, 8, 9, 3, 1, 6, 27 4 8 9 3 1 6 27 4 8 93 1 6 27 4 8 9 3 1 6 2 7 4 8 9 3 1 6 2 4 7 8 9 1 3 2 6 4 7 8 91 2 3 61 2 3 4 6 7 8 9Phương trình đệ quy của giải thuật MergeSortGọi T(n) là thời gian thực hiện MergeSort một danh sách n phần tử Thì T(n/2) là thời gian thực hiện MergeSort một danh sách n/2 phần tử.Khi L có độ dài 1 (n = 1) thì chương trình chỉ làm một việc duy nhất là return(L), việc này tốn O(1) = C1 thời gian. Trong trường hợp n > 1, chương trình phải thực hiện gọi đệ quy MergeSort hai lần cho L1 và L2 với độ dài n/2 do đó thời gian để gọi hai lần đệ quy này là 2T(n/2). 	 Phương trình đệ quy của giải thuật MergeSort (tt)Ngoài ra còn phải tốn thời gian cho việc chia danh sách L thành hai nửa bằng nhau và trộn hai danh sách kết quả (Merge). Người ta xác đinh được thời gian để chia danh sách và Merge là O(n) = C2n . Vậy ta có phương trình đệ quy như sau:Giải phương trình đệ quyCó ba phương pháp giải phương trình đệ quy:Phương pháp truy hồi.Phương pháp đoán nghiệm.Lời giải tổng quát của một lớp các phương trình đệ quy.Phương pháp truy hồiDùng đệ quy để thay thế bất kỳ T(m) với m 1 được thay thế bởi biểu thức của các T(1) hoặc T(0). Vì T(1) và T(0) luôn là hằng số nên chúng ta có công thức của T(n) chứa các số hạng chỉ liên quan đến n và các hằng số. Từ công thức đó ta suy ra nghiệm của phương trình. Ví dụ 1 về giải phương trình đệ quy bằng phương pháp truy hồi	T(n) = T(n-1) + C2	T(n) = [T(n-2) + C2] + C2 = T(n-2) + 2C2	T(n) = [T(n-3) + C2] + 2C2 = T(n-3) + 3C2 	T(n) = T(n-i) + iC2Quá trình trên kết thúc khi n - i = 0 hay i = n. Khi đó ta có T(n) = T(0) + nC2 = C1 + nC2 = O(n)Ví dụ 2 về giải phương trình đệ quy bằng phương pháp truy hồi ..Quá trình suy rộng sẽ kết thúc khi n/2i = 1 hay 2i = n và do đó i = logn. Khi đó ta có:	T(n) = nT(1) + lognC2n = C1n + C2nlogn = O(nlogn).	 Lời giải tổng quát cho một lớp các phương trình đệ quyTrong mục này, chúng ta sẽ nghiên cứu các phần sau:Bài toán đệ quy tổng quát.Thành lập phương trình đệ quy tổng quát.Giải phương trình đệ quy tổng quát.Các khái niệm về nghiệm thuần nhất, nghiệm riêng và hàm nhân.Nghiệm của phương trình đệ quy tổng quát khi d(n) là hàm nhân.Nghiệm của phương trình đệ quy tổng quát khi d(n) không phải là hàm nhân. Bài toán đệ quy tổng quátÐể giải một bài toán kích thước n, ta chia bài toán đã cho thành a bài toán con, mỗi bài toán con có kích thước n/b. Giải các bài toán con này và tổng hợp kết quả lại để được kết quả của bài toán đã cho. Với các bài toán con chúng ta cũng sẽ áp dụng phương pháp đó để tiếp tục chia nhỏ ra nữa cho đến các bài toán con kích thước 1. Kĩ thuật này sẽ dẫn chúng ta đến một giải thuật đệ quy.Giả thiết rằng mỗi bài toán con kích thước 1 lấy một đơn vị thời gianGiả thiết thời gian để chia bài toán kích thước n thành các bài toán con kích thước n/b và tổng hợp kết quả từ các bài toán con để được lời giải của bài toán ban đầu là d(n). Thành lập phương trình đệ quy tổng quátNếu gọi T(n) là thời gian để giải bài toán kích thước n Thì T(n/b) là thời gian để giải bài toán con kích thước n/b. Khi n = 1 theo giả thiết trên thì thời gian giải bài toán kích thước 1 là 1 đơn vị, tức là T(1) = 1. Khi n lớn hơn 1, ta phải giải đệ quy a bài toán con kích thước n/b, mỗi bài toán con tốn T(n/b) nên thời gian cho a lời giải đệ quy này là aT(n/b). Ngoài ra ta còn phải tốn thời gian để phân chia bài toán và tổng hợp các kết quả, thời gian này theo giả thiết trên là d(n). Vậy ta có phương trình đệ quy:Giải phương trình đệ quy tổng quát........Giải phương trình đệ quy tổng quát (tt)	Giả sử n = bk, quá trình suy rộng trên sẽ kết thúc khi i = k. Khi đó ta được: 	Thay vào trên ta có:Nghiệm thuần nhất và nghiệm riêngNghiệm thuần nhấtak = nlogba Nghiệm riêng Nghiệm của phương trình là: MAX(NTN,NR). Hàm nhânMột hàm f(n) được gọi là hàm nhân (multiplicative function) nếu f(m.n) = f(m).f(n) với mọi số nguyên dương m và n.Ví dụ: Hàm f(n) = nk là một hàm nhân, vì f(m.n) = (m.n)k = mk.nk = f(m).f(n).Hàm f(n) = logn không phải là một hàm nhân, vì f(n.m) = log(n.m) = logn+logm  logn.logm = f(n).f(m) Tính nghiệm riêng khi d(n) là hàm nhânKhi d(n) là hàm nhân, ta có: d(bk-j) = d(b.b.b..b) = d(b).d(b)d(b) = [d(b)]k-j Ba trường hợpTrường hợp 1: a > d(b) 	Trong công thức trên ta có ak > [d(b)]k, theo quy tắc lấy độ phức tạp ta có NR là O(ak) = O(nlogba) = NTN. 	Do đó T(n) là O(nlogba).Trường hợp 2: a ak, theo quy tắc lấy độ phức tạp ta có NR là O([d(b)]k) = O(nlogbd(b)) > NTN. 	Do đó T(n) là O(nlogbd(b)). Ba trường hợp (tt)Trường hợp 3: a = d(b) Công thức trên không xác đinh nên ta phải tính trực tiếp nghiệm riêng:Do n = bk nên k = logbn và ak = nlogba. Vậy NR là nlogbalogbn > NTN. Do đó T(n) là O(nlogbalogbn).Ví dụ: GPT với T(1) = 1 vàPhương trình đã cho có dạng phương trình tổng quát.d(n)=n là hàm nhân.a = 4 và b = 2.d(b) = b = 2 a.T(n) = O(nlogbd(b)) = O(nlog8) = O(n3). Nghiệm của phương trình đệ quy tổng quát khi d(n) không phải là hàm nhânTrong trường hợp hàm tiến triển không phải là một hàm nhân thì chúng ta không thể áp dụng các công thức ứng với ba trường hợp nói trên mà chúng ta phải tính trực tiếp NR, sau đó lấy MAX(NR,NTN).Ví dụ: GPT với T(1) = 1 và PT thuộc dạng phương trình tổng quát nhưng d(n) = nlogn không phải là một hàm nhân.NTN = nlogba = nlog2 = nDo d(n) = nlogn không phải là hàm nhân nên ta phải tính nghiệm riêng bằng cách xét trực tiếpVí dụ (tt)Theo giải phương trình đệ quy tổng quát thì n = bk nên k = logbn, ở đây do b = 2 nên 2k = n và k = logn, NR= O(nlog2n) > NTNT(n) = O(nlog2n).BT4-1: GPT với T(1) = 1 vàPhương trình đã cho có dạng phương trình tổng quát.d(n)=1là hàm nhân.a = 1 và b = 2.d(b) = 1 = a.T(n) = O(nlogbalogbn) = O(nlog1logn) = O(logn). BT4-2: GPT với T(1) = 1 vàPhương trình đã cho có dạng phương trình tổng quát.d(n)=logn không phải là hàm nhân.NTN = O(nlogba)=O(nlog2)=O(n).Tính trực tiếp nghiệm riêng.