Bài giảng Biến đổi năng lượng - Lecture 6 - Hồ Phạm Duy Ánh

1Lecture 6
BÀI GIẢNG 
Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ
TS. Hồ Phạm Huy Ánh
TS. Nguyễn Quang Nam
March 2010
2Lecture 6
¾ Các phần tử tập trung trong hệ thống cơ bao gồm: vật nặng (động năng), lò 
so (thế năng), và bộ giảm chấn (tiêu tán năng lượng). Định luật Newton được 
dùng để biểu diễn các phương trình về chuyển động.
¾ Khảo sát vật nặng M = W/g treo trên lò so có độ cứng K. Ở điều kiện cân 
bằng tĩnh, lực gia tốc W = Mg sẽ cân bằng với lực lò so Kl, với l là độ dãn của lò 
so do tác động của lực W.
¾ Nếu vị trí cân bằng được chọn làm điểm tham chiếu, ta chỉ khảo sát các lực 
làm vật xê dịch. Khảo sát sơ đồ ở Fig. 4.35(c) của GT.
¾ Định luật Newton: Lực gia tốc theo chiều x dương sẽ cân bằng với tổng đại số
các lực tác động lên vật theo chiều x dương đó.
Khảo sát hệ thống vật nặng-lò so
KxxM −=&& 0=+ KxxM &&hay
3Lecture 6
¾ Khi vị trí cân bằng được chọn làm tham chiếu (xem Fig. 4.36), ta được:
MgKyyM +−=&& MgKyyM =+&&
KlMg =
( ) 0=−+ lyKyM &&
¾ Lưu ý:
¾ Ta tiếp tục khảo sát vật nặng M được đở bởi lò so (xem Fig. 4.37), có phối 
hợp thêm lò so-giảm chấn (dashpot). f(t) là lực tác động. Khoảng cách x được 
đo từ vị trí cân bằng tĩnh. Bộ dashpot lý tưởng sẽ phát lực tỉ lệ với vận tốc tương 
đối giữa 2 node, có kí hiệu thể hiện trên Hình 4.38.
M
x
fK1 fB1f(t)
fK2
( )
( )
dt
dxBxKxKtf
ffftfxM BKK
−−−=
−−−=
21
21&&
Khảo sát hệ thống vật nặng-lò so có phần tử tiêu tán
4Lecture 6
¾ Lập phương trình cơ cho hệ thống thể hiện trên Hình 4.40.
Bài Tập 4.17
M1
x1
K2x
11B x& x&2B
K1x1
f1(t)
23B x&
M1
x2
K3x2
x&2B
K2x
f2(t)
¾ Ta đặt x2 – x1 = x
( ) ( ) ( ) 1111122122111 xKxBxxBxxKtfxM −−−+−+= &&&&&
( ) ( ) ( ) 2323122122222 xKxBxxKxxBtfxM −−−−−−= &&&&&
5Lecture 6
¾ Thiết lập các phương trình mô tả các ràng buộc điện-cơ cho phép minh họa 
quá trình động học của hệ thống. Các phương trình này ràng buộc nhau, biểu 
diễn dưới dạng hệ phương trình vi phân bậc nhất. Đó chính là mô hình không 
gian trạng thái (state space model ) của hệ thống.
¾ BT 4.19: Khảo sát hệ thống cho ở Hình 4.43, lập hệ phương trình chuyển 
động điện-cơ dưới dạng mô hình không gian trạng thái. Sử dụng kết quả từ
thông liên kết có ở BT 4.8:
Thiết lập mô hình không gian trạng thái
( ) ( )xR
iN
xRR
iN
gc
22
=+=λ ( )xR
iNWm 2
22
' =Ö
¾ Quan hệ về điện cho ta,
( ) ( ) dt
dx
AxR
iN
dt
di
xR
NiRvs
0
2
22 2
μ−+=
6Lecture 6
¾ Quan hệ về cơ của hệ thống,
( ) ( )xAR
iNf
dt
dxBlxK
dt
xdM e 2
0
22
2
2
μ−==+−+
Với l > 0 là vị trí cân bằng tĩnh của thành phần di động. Nếu vị trí thực của thành
phần di động được tính từ vị trí cân bằng, thì phương trình cơ sẽ có biến (x – l). 
Phương trình trên có được phải thỏa điều kiện sau,
( ) ( ) 02
2
=−=−
dt
lxd
dt
lxd
¾ Mô hình không gian trạng thái của hệ thống sẽ gồm 3 phương trình vi phân 
bậc nhất. Ba biến trạng thái ( state variables ) gồm x, dx/dt (hay v), và i.
Thiết lập mô hình không gian trạng thái (tt)
7Lecture 6
¾ Ta xây dựng ba phương trình vi phân bậc nhất này bằng cách lấy vi phân x, v, và i 
và tìm cách biểu diễn chúng chỉ theo các biến x, v, i, và các biến đầu vào hệ thống. 
Bằng cách này, ta có được mô hình không gian trạng thái của hệ thống như sau,
v
dt
dx =
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−−−= BvlxK
xAR
iN
Mdt
dv
2
0
221
μ
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++−= svvAxR
iNiR
xLdt
di
0
2
2 21
μ
Trong đó ( ) ( )xR
NxL
2
=
( )32111 ,, xxxfx =&
( )32122 ,, xxxfx =&
( )uxxxfx ,,, 32133 =&
Thiết lập mô hình không gian trạng thái (tt)
8Lecture 6
¾ Khảo sát phương trình . Nếu biến đầu vào u là hằng số, ta 
đặt , có thể đưa về dạng phương trình . Phương 
trình dạng này có thể cho nhiều nghiệm. Chúng được gọi là các điểm 
cân bằng tỉnh ( static equilibrium points ).
¾ Với hệ thống có số chiều không quá lớn, ta có thể dùng đồ thị để
minh họa. Với hệ thống bậc cao có số chiều quá lớn, các kĩ thuật số 
thường được áp dụng để cho đáp án khả thi.
¾ Giải BT 4.19, đặt các đạo hàm về 0 sẽ cho kết quả
Các điểm cân bằng
( )uxfx ,=&
0=x& ( )uxf ˆ,0 =
0=ev Rvi se = ( ) ( )( ) ( )xifxARiNlxK ee
e
,2
0
22
−==−− μ
xe có thể tìm được trên đồ thị là giao điểm của –K(x – l) và –fe(ie, x).
9Lecture 6
¾ Có hai nhóm phương pháp chính: tường minh (explicit) và nội hàm (implicit). 
Phương pháp Euler’s là dạng tường minh điển hình, nó dễ dùng khi cài đặt cho hệ
thống nhỏ. Với hệ thống lớn, phương pháp nội hàm tỏ ra mạnh hơn nhờ tính ổn 
định với nghiệm số tìm được.
¾ Khảo sát phương trình
Với x, f, và u là các vector.
¾ Thời gian tích phân sẽ được chẻ đều với giá trị chọn Δt phù hợp (xem Fig. 4.45). 
Trong khoảng từng bước từ tn đến tn+1, toán tử tích phân được xem là hằng. Vì thế
ta được,
Tích phân số
( )uxfx ,=& ( ) 00 xx =
( ) ( )∫∫ ++ = 11 ,n
n
n
n
t
t
t
t
dtuxfdttx&
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]nnnnnnnn tutxfttutxftttxtx ,,11 Δ=−=− ++
10Lecture 6
¾ Hãy tính x(t) ở các thời điểm t = 0.1, 0.2, và 0.3 seconds.
Bài Tập 4.21
( ) 22 xtx +−=& ( ) 10 =x
( ) ( ) ( )( )[ ]nnnn txftxx ,1 Δ+=+
¾ Ta chọn Δt = 0.1 s. Công thức tổng quát để tính x(n+1) như sau
,...2,1,0=n
( ) 10 =x¾ Tại t0
¾ Tại t1 = 0.1 s
( )( ) ( ) 2120, 200 −=+−=txf
( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) 8.021.01, 0001 =−×+=Δ+= txftxx
( ) 8.01 =x ( )( ) ( ) 344.18.021.0, 211 −=+−=txf
( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) 6656.0344.11.08.0, 1112 =−×+=Δ+= txftxx
¾ Tương tự, ta tìm được ( ) 5681.03 =x ( ) 4939.04 =x
11Lecture 6
¾ Hãy tính i(t) dùng phương pháp Euler. R = (1 + 3i2) Ω, L = 1 H, and v(t) = 10t V.
Bài Tập 4.22
( )tviR
dt
diL =+ ( ) ( )tvii
dt
di =++ 231 ( ) 00 =i
¾ Ta đặt i = x, và v(t) = u
( ) ( ) ( )tuxftuxx
dt
dx ,,31 2 =++−= ( ) ( )000 xx ==
( ) ( ) ( ) ( )( )nnnnn tuxtfxx ,,1 Δ+=+ ,...2,1,0=n
( ) 00 =x ( ) 00 =u ( ) ( )( ) 0,, 000 =tuxf ( ) 01 =x⇒
( ) 01 =x ( ) 25.01 =u ( ) ( )( ) ( ) 25.025.0001,, 2111 =++−=tuxf
( ) ( ) ( )( ) 00625.025.0025.012 =+= xx⇒