Bài giảng Biến đổi năng lượng điện cơ - Bài giảng 4

1Bài giảng 4
408001
Biến ñổi năng lượng ñiện cơ
TS. Nguyễn Quang Nam
2010 – 2011, HK1
nqnam@hcmut.edu.vn
2Bài giảng 4

 Các mô hình ñộng học của hệ thống ñiện ñược mô tả bởi các phương trình vi 
phân. Tính ổn ñịnh của hệ thống phi tuyến trong vận hành ñược ñặc biệt quan 
tâm. Một số công cụ phân tích tính ổn ñịnh sẽ ñược giới thiệu.

 Nghiệm trong miền thời gian của bài toán ñộng học hệ thống có ñược bằng 
việc tính tích phân số và các ñiểm cân bằng ñược xác ñịnh bằng ñồ thị. Với các 
hệ thống bậc cao hơn, các kỹ thuật số ñược sử dụng ñể tính các ñiểm cân bằng.

 Sẽ có ích nếu biết ñiểm cân bằng tĩnh là ổn ñịnh hay không. Với các nhiễu 
mạnh của trạng thái x hay ngõ vào u, luôn cần các mô phỏng trong miền thời 
gian. Với các thay ñổi nhỏ quanh ñiểm cân bằng, một phân tích tuyến tính hóa là 
ñủ ñể xác ñịnh ñiểm cân bằng là ổn ñịnh hay không. Đôi khi, các hàm năng lượng 
có thể ñược dùng ñể ñánh giá tính ổn ñịnh của hệ thống ñối với nhiễu mạnh mà
không cần các mô phỏng trong miền thời gian.
Ổn ñịnh các hệ thống ñiện cơ – Giới thiệu
3Bài giảng 4

 Điểm cân bằng sẽ biểu diễn trạng thái vận hành xác lập của hệ thống, chẳng 
hạn một lưới ñiện. Hệ vật lý có thể chịu thay ñổi nhỏ (ví dụ thay ñổi tải), vốn có
thể dẫn ñến dao ñộng hay thậm chí sụp ñổ hệ thống, hoặc các nhiễu mạnh (ví dụ, 
sự cố hay sét ñánh).

 Với trường hợp vô hướng, mô hình hệ thống là
Tuyến tính hóa
( )uxfx ,=&

 Khai triển f(x, u) thành 1 chuỗi Taylor quanh ñiểm cân bằng xe và ngõ vào 
không ñổi, và chỉ giữ lại các số hạng bậc nhất
uˆ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u
u
f
x
x
f
uxfuu
u
f
xx
x
f
uxfuxf eee ∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+=−
∂
∂
+−
∂
∂
+=
0000
ˆ,ˆˆ,,
Hay ( ) ( ) u
u
f
x
x
f
uxfuxfx e ∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=−=∆
00
ˆ,,&
4Bài giảng 4

 Gọi , , và . Tuyến tính hóa hệ quanh 
ñiểm cân bằng dẫn ñến
Tuyến tính hóa hệ bậc hai
( )uxxfx ,, 2111 =&
( )uxxfx ,, 2122 =&
exxx 111 −=∆
exxx 222 −=∆ uuu ˆ−=∆
u
u
f
u
f
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
x
∆














∂
∂
∂
∂
+





∆
∆














∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=





∆
∆
0
2
0
1
2
1
02
2
01
2
02
1
01
1
2
1
&
&
A

 Trị riêng của A có ñược bằng cách giải det(A – λI) = 0. Hệ thống là ổn ñịnh nếu 
tất cả các trị riêng nằm ở nửa trái của mặt phẳng phức (nghĩa là, phần thực < 0).
5Bài giảng 4
Ổn ñịnh của hệ bậc hai
( )
xx
x
xf
M
x
dt
d
M
B
dt
xd ∆−=∆
∂
∂
=∆+∆ 20
0
2
2 1
ω

 Xét mô hình một hệ bậc hai
( )uxf
dt
dxB
dt
xdM ,2
2
=+
có dạng tuyến tính hóa

 Định nghĩa và , dạng không gian trạng thái trở thành1xx ∆=∆ 2xx ∆=∆&






∆
∆






−−
=





∆
∆
2
1
2
02
1 10
x
x
MBx
x
ω&
&

 Phương trình ñặc tính có ñược
0
1
2
0
=
−−−
−
λω
λ
MB
020
2
=++ ωλλ
M
B
6Bài giảng 4
Ổn ñịnh của hệ bậc hai (tt)

 Trường hợp I (B > 0, M > 0, )020 >ω
2
02
2
4
ω>
M
B 2
02
2
4
ω=
M
B 2
02
2
4
ω<
M
B

 Trong cả 3 trường hợp, hệ là ổn ñịnh.

 Trường hợp II (B > 0, M > 0, )

 Trường hợp ñặc biệt (B = 0, M > 0): hệ là không ổn ñịnh nếu , hay ở
biên ổn ñịnh nếu .

 Vd. 5.1 sẽ ñược trình bày tại lớp.
020 <ω

 Nghiệm tổng quát của phương trình ñặc tính
2
02
2
21 42
, ωλλ −±−=
M
B
M
B
020 >ω
020 <ω
7Bài giảng 4
Phương pháp hàm năng lượng cho hệ phi tuyến

 Với nhiễu mạnh, việc phân tích ổn ñịnh của hệ phi tuyến có thể cần ñến các kỹ
thuật tính số vốn rất tốn kém sức mạnh tính toán. Trong nhiều trường hợp, thông 
tin hữu ích có thể thu ñược bằng một phương pháp trực tiếp, tránh việc phải tính 
tích phân số. Kỹ thuật này dựa trên các hàm năng lượng, và ñược gọi là phương 
pháp Lyapunov. Có thể thu ñược các lời giải tốt với các hệ bảo toàn.

 Trong các hệ bảo toàn, tổng năng lượng là không ñổi, và ñiều này ñược dùng 
trong phân tích ổn ñịnh các hệ này. Xét con lắc trong hình 5.2, bao gồm khối 
lượng M nối vào một ñiểm tựa không ma sát bằng một thanh cứng.

 Coi V(θ) = 0 tại θ = 0, khi ñó tại vị trí bất kỳ θ, thế năng ñược cho bởi
( ) ( )( )θθ cos1−= MglV
8Bài giảng 4
Hệ bảo toàn

 Không có lực nào khác ngoài trọng lực, và hệ là bảo toàn, vậy
( )( )θθ sin2
2
lMg
dt
dJ −=

 Vế phải có thể ñược biểu diễn như một ñạo hàm âm của một hàm thế vô 
hướng. Trong trường hợp này,
( ) ( )( )[ ] ( )
θ
θθ
θ
θ
∂
∂
−=−
∂
∂
−=−
VMglMgl cos1sin
( )
θ
θθ
∂
∂
−=
V
dt
dJ 2
2
Dẫn ñến

 Các ñiểm cân bằng là nghiệm của ( ) ( ) 0sin =−=
∂
∂
− θ
θ
θ MglV

 Trong khoảng –pi ñến +pi, 0 ,piθ ±=e
9Bài giảng 4
Năng lượng

 Xét ( ) 02
2
=
∂
∂
+
θ
θθ V
dt
dJ

 Nhân với dθ/dt ñể có
( )
{
EV
dt
dJ =+





energy Potential
energy Kinetic
2
2
1 θθ
43421
( ) 02
2
=
∂
∂
+
dt
dV
dt
d
dt
dJ θ
θ
θθθ

 Tích phân theo t ñể thu ñược

 Việc phân tích ổn ñịnh có thể ñược thực hiện cho 3 trường hợp (xem sách), 
bằng khái niệm giếng thế năng.
10Bài giảng 4
Hàm năng lượng trong hệ ñiện cơ

 Xét hệ bên dưới, giả thiết cả hệ ñiện lẫn hệ cơ ñều không chứa các phần tử
tiêu tán năng lượng.
Mech.
system
Ghép
ñiện
cơ
Te or fe
θ or x
+
_
+
_
+
_
I2
I1
λ1
λ2

 Nếu λ hoặc i ở mỗi cửa ñược giữ 
không ñổi, có thể dự ñoán một dịch 
chuyển ñều trong hệ cơ. Không có
dòng chảy năng lượng hay ñồng năng 
lượng vào cửa ñiện. Ở hệ cơ, giả thiết 
không có phần tử tiêu tán năng lượng.

 Thế năng tổng quát hóa:
( ) ( ) ( )θθθ ,, 21' IIWUV m−=
( ) ( ) ( )θθθ ,, 21 ΛΛ+= mWUV
(dòng hằng i1 và i2)
(từ thông móc vòng hằng λ1 và λ2)
( )
θ
θ
∂
∂
−=
UT m (lực cơ tác ñộng)
11Bài giảng 4
Quan hệ giữa ổn ñịnh tuyến tính hóa và thế năng

 Phương trình mômen
( ) 02
2
=
∂
∂
+
θ
θθ V
dt
dJ

 Các ñiểm cân bằng có ñược bằng cách giải ( ) 0=
∂
∂
θ
θV

 Tuyến tính hóa quanh một ñiểm cân bằng θe cho ta
( ) 02
2
2
2
=∆
∂
∂
+
∆
=
θ
θ
θθ
θθ e
V
dt
dJ

 θe là ổn ñịnh nếu , θe là không ổn ñịnh
( ) 02
2
>
∂
∂
=
e
V
θθθ
θ ( ) 02
2
<
∂
∂
=
e
V
θθθ
θ

 Các ví dụ 5.3 và 5.4 sẽ ñược trình bày tại lớp