Bài giảng Biến đổi năng lượng điện cơ - Bài giảng 3

25, khi ñó hai diện 
sẽ không có trị số bằng nhau. Tuy nhiên, fe rút ra bằng năng lượng hay ñồng 
năng lượng sẽ như nhau.

 Trước tiên, giữ λ cố ñịnh, năng lượng Wm ñược giảm một lượng –∆Wm như 
trên hình 4.26(a) ñối với việc tăng một lượng ∆x. Tiếp ñó, giữ i không ñổi, ñồng 
năng lượng tăng một lượng ∆W’m. Lực (do ñiện sinh ra) trong cả hai trường hợp
x
Wf m
x
e
∆
∆
−=
→∆ 0
lim
x
Wf m
x
e
∆
∆
=
→∆
'
0
lim
16Bài giảng 3

 Xét một hệ có 2 cửa ñiện và 1 cửa cơ, với λ1 = λ1(i1, i2, x) và λ2 = λ2(i1, i2, x). 
Tốc ñộ thay ñổi năng lượng lưu trữ
Lực cho hệ 2 cửa ñiện – 1 cửa cơ bằng ñồng năng lượng
dt
dxf
dt
di
dt
di
dt
dxfiviv
dt
dW eem
−+=−+= 22
1
12211
λλ
dxfdididW em −+= 2211 λλhay
( ) 221122112211 didiiiddidi λλλλλλ −−+=+
( ) dxfdidiWiid em ++=−+ 22112211 λλλλ
dxfdididW em ++= 2211' λλ
Xét
Như vậy,
'
mW
( ) ( ) ( )∫∫ += 21 0 '2'2120 '1'1121' ,,,0,,, iim dixiidixixiiW λλ
Sau cùng,
17Bài giảng 3

 Xét một hệ có N cửa ñiện và M cửa cơ, các từ thông móc vòng là λ1(i1, ..., iN, 
x1, ..., xM), ..., λN(i1, ..., iN, x1, ..., xM).
Lực trong hệ nhiều cửa tổng quát
M
e
M
e
NNm dxfdxfididdW −−−++= ...... 1111 λλ
( ) ( ) ( )NNNNNN didiididiid λλλλλλ +++++=++ ......... 111111
∑∑∑
===
+=





−
M
i
i
e
i
N
i
ii
W
m
N
i
ii dxfdiWid
m
111
'
λλ
44 344 21
Ni
i
W
i
m
i ,...,1
'
=
∂
∂
=λ
Mi
x
Wf
i
me
i ,...,1
'
=
∂
∂
=
18Bài giảng 3

 Để tính W’m, việc tính tích phân ñược thực hiện trước tiên dọc các trục xi, rồi 
dọc mỗi trục ii. Khi tính tích phân dọc xi, W’m = 0 vì fe bằng 0. Khi ñó,
Tính ñồng năng lượng W’m
( )
( )
( )∫
∫
∫
−
+
++
=
Ni
NMNNN
i
M
i
Mm
dixxxiiii
dixxxii
dixxxiW
0
'
21
'
121
0
'
221
'
212
0
'
121
'
11
'
,...,,,,...,,
...,...,,0,...,,
,...,,0,...,0,
2
1
λ
λ
λ

 Chú ý các biến dùng ñể tính tích phân. Với trường hợp ñặc biệt của hệ 2 cửa 
ñiện và 2 cửa cơ,
( ) ( )∫∫ += 21 0 '221'2120 '121'11' ,,,,,0, iim dixxiidixxiW λλ
Và,
1
'
1 dx
Wf me ∂=
2
'
2 dx
Wf me ∂=
19Bài giảng 3

 Tính W’m và mômen (do ñiện sinh ra) của một hệ 3 cửa ñiện và 1 cửa cơ.
Ví dụ 4.10
( )ψφλ −+= cos31111 MiiL ( )ψφλ −+= sin32222 MiiL
( ) ( )ψφψφλ −+−+= sincos 213333 MiMiiL
( ) ( ) ( )
( ) ( )ψφψφ
ψφλψφλψφλ
−+−+++=
++= ∫∫∫
sincos
2
1
2
1
2
1
,,,,,,0,,,,0,0,
3231
2
333
2
222
2
111
0
'
3
'
32130
'
2
'
2120
'
1
'
11
'
321
iMiiMiiLiLiL
diiiidiiidiiW
iii
m
( ) ( )ψφψφφφ −+−−=∂
∂
= cossin 3231
'
iMiiMi
W
T me
( ) ( )ψφψφ
ψψ
−−−=
∂
∂
= cossin 3231
'
iMiiMi
W
T me
20Bài giảng 3

 Bỏ qua tổn thất trong từ trường, có thể rút ra quan hệ ñơn giản cho hệ ghép,
Biến ñổi năng lượng – Kiểm tra tính bảo toàn
Σ
dt
di λ
vf e
( )ωeT
dt
dWm
Nhớ lại
( )
x
xWf me
∂
∂
−=
,λ ( )
λ
λ
∂
∂
=
xWi m ,
Và chú ý rằng
λλ ∂∂
∂
=
∂∂
∂
x
W
x
W mm
22

 Điều kiện cần và ñủ ñể cho hệ là bảo toàn sẽ là
( ) ( )
λ
λλ
∂
∂
−=
∂
∂ xf
x
xi e ,, ( ) ( )
i
xif
x
xi e
∂
∂
=
∂
∂ ,,λ
hay
21Bài giảng 3

 Với hệ này
Hệ thống 2 cửa ñiện và 1 cửa cơ

 Các ñiều kiện cho sự bảo toàn là
1
'
1 i
Wm
∂
∂
=λ
dxfdididW em ++= 2211' λλ

 Các phương trình cho từ thông và lực (do ñiện sinh ra) là
2
'
2 i
Wm
∂
∂
=λ
x
Wf me
∂
∂
=
'
1
1
i
f
x
e
∂
∂
=
∂
∂λ
2
2
i
f
x
e
∂
∂
=
∂
∂λ
1
2
2
1
ii ∂
∂
=
∂
∂ λλ

 Điều này có thể mở rộng cho các hệ có nhiều cửa ñiện và nhiều cửa cơ.
22Bài giảng 3

 Nhớ lại
Biến ñổi năng lượng giữa hai ñiểm
( ) ( )( )dxxfdxidW em ,, λλλ −+=

 Khi ñi từ a ñến b trong hình 4.31, ñộ thay ñổi năng lượng lưu trữ là
( ) ( )




−+=− ∫∫
b
a
b
a
x
x
e
aambbm dxfidxWxW
λ
λ
λλλ ,,
bababam EFMEFEW →→→ +=∆
Với EFE viết tắt cho “energy from electrical” (năng lượng từ hệ ñiện) và EFM 
viết tắt “energy from mechanical” (năng lượng từ hệ cơ).

 Để ñánh giá EFE và EFM, cần có một ñường ñi cụ thể. Khái niệm EFM này 
có ích trong việc nghiên cứu sự biến ñổi năng lượng theo chu kỳ của thiết bị.
23Bài giảng 3

 Trong 1 chu kỳ, khi hệ thống trở về trạng thái khởi ñầu, dWm = 0.
Biến ñổi năng lượng trong 1 chu kỳ
( )∫∫∫∫ −+=−= dxfiddxfid ee λλ0

 Từ hình 4.30, idλ = EFE, và –fedx = EFM. Như vậy, trong 1 chu kỳ,
∫ ∫ =+ 0EFMEFE 0=+ cyclecycle EFMEFE

 Có thể tính EFE hoặc EFM trong 1 chu kỳ. Nếu EFE|cycle > 0, hệ thống ñang 
hoạt ñộng như một ñộng cơ, và EFM|cycle < 0. Nếu EFE|cycle < 0, hệ thống ñang 
vận hành như một máy phát, và EFM|cycle > 0.

 Xem vd. 4.14 – 4.16 trong giáo trình (Vd. 4.14 ñược hướng dẫn trên lớp)
24Bài giảng 3

 Các phần tử tập trung của hệ cơ: khối lượng (ñộng năng), lò xo (thế năng), và
bộ ñệm (tiêu tán). Định luật Newton ñược dùng cho phương trình chuyển ñộng.

 Xét khối lượng M = W/g ñược treo trên lò xo có ñộ cứng K. Ở ñiều kiện cân 
bằng tĩnh, trọng lực W = Mg ñược cân bằng bởi lực lò xo Kl, với l là ñộ giãn của 
lò xo gây ra bởi khối lượng W.

 Nếu vị trí cân bằng ñược chọn làm gốc, chỉ có lực sinh ra bởi dịch chuyển cần 
ñược xem xét. Xét mô hình vật tự do trong hình 4.35(c).

 Định luật Newton: Lực gia tốc theo chiều dương của x bằng với tổng ñại số tất 
cả các lực tác ñộng lên khối lượng theo chiều dương của x.
Động học của hệ tập trung – Hệ khối lượng-lò xo
KxxM −=&& 0=+ KxxM &&hay
25Bài giảng 3

 Nếu vị trí chưa biến dạng ñược chọn làm gốc (Hình 4.36), khi ñó
Hệ khối lượng-lò xo với phần tử tiêu tán
MgKyyM +−=&& MgKyyM =+&&
KlMg =
( ) 0=−+ lyKyM &&

 Chú ý rằng

 Xét khối lượng M ñược ñỡ bởi lò xo (hình 4.37), và một tổ hợp lò xo-bộ ñệm. 
f(t) là lực áp ñặt. x ñược ño từ vị trí cân bằng tĩnh. Một bộ ñệm lý tưởng sẽ có
lực tỷ lệ với vận tốc tương ñối giữa hai nút, với ký hiệu như trong hình 4.38.
M
x
fK1 fB1f(t)
fK2
( )
( )
dt
dxBxKxKtf
ffftfxM BKK
−−−=
−−−=
21
21&&
26Bài giảng 3

 Viết các phương trình cơ học cho hệ trong hình 4.40.
Ví dụ 4.17
M1
x1
K2x
11B x& x&2B
K1x1
f1(t)
23B x&
M2
x2
K3x2
x&2B
K2x
f2(t)

 Định nghĩa x2 – x1 = x
( ) ( ) ( ) 1111122122111 xKxBxxBxxKtfxM −−−+−+= &&&&&
( ) ( ) ( ) 2323122122222 xKxBxxKxxBtfxM −−−−−−= &&&&&
27Bài giảng 3

 Mô tả ñộng học hoàn chỉnh của hệ thu ñược từ việc viết các phương trình cho 
phía ñiện và phía cơ. Các phương trình này có liên kết, và tạo ra một hệ các 
phương trình vi phân bậc nhất dùng cho phân tích. Hệ phương trình này ñược 
coi là mô hình không gian trạng thái của hệ thống.

 Vd. 4.19: Với hệ thống trong hình 4.43, chuyển các phương trình ñiện và cơ 
về dạng không gian trạng thái. Từ thông móc vòng từ vd. 4.8,
Mô hình không gian trạng thái
( ) ( )xR
iN
xRR
iN
gc
22
=
+
=λ ( )xR
iNWm 2
22
'
=

 Ở phía ñiện,
( ) ( ) dt
dx
AxR
iN
dt
di
xR
NiRvs
0
2
22 2
µ
−+=
28Bài giảng 3

 Ở phía cơ,
Mô hình không gian trạng thái (tt)
( ) ( )xAR
iNf
dt
dxBlxK
dt
xdM e 2
0
22
2
2
µ
−==+−+
với l > 0 là ñiểm cân bằng tĩnh của phần tử chuyển ñộng. Nếu vị trí của phần tử
chuyển ñộng ñược ño từ vị trí cân bằng, các phương trình cơ có biến (x – l) thay 
vì x. Quan hệ trên có ñược dưới ñiều kiện sau,
( ) ( ) 02
2
=
−
=
−
dt
lxd
dt
lxd

 Mô hình không gian trạng thái của hệ thống là một hệ 3 phương trình vi phân 
bậc nhất. Ba biến trạng thái là x, dx/dt (hay v), và i.
29Bài giảng 3

 Ba phương trình bậc nhất có ñược bằng cách ñạo hàm x, v, và i và biểu diễn 
các ñạo hàm này chỉ theo x, v, và i, và ngõ vào bất kỳ của hệ thống. Do ñó, các 
phương trình sau cho ta mô hình không gian trạng thái,
Mô hình không gian trạng thái (tt)
v
dt
dx
=
( ) ( ) 




−−−
−
= BvlxK
xAR
iN
Mdt
dv
2
0
221
µ
( ) ( ) 




++−= svvAxR
iNiR
xLdt
di
0
2
2 21
µ
với ( ) ( )xR
N
xL
2
=
( )32111 ,, xxxfx =&
( )32122 ,, xxxfx =&
( )uxxxfx ,,, 32133 =&
30Bài giảng 3

 Xét phương trình . Nếu ngõ vào u là không ñổi, khi ñó
bằng việc ñặt , sẽ thu ñược các phương trình ñại số . 
Phương trình này có thể có vài nghiệm, và ñược gọi là các ñiểm cân 
bằng tĩnh.

 Trong các hệ thống ít chiều, có thể dùng ñồ thị. Trong các hệ bậc cao, 
thường cần dùng các kỹ thuật tính số ñể tìm nghiệm.

 Với vd. 4.19, ñặt các ñạo hàm bằng 0 cho ta
Các ñiểm cân bằng
( )uxfx ,=&
0=x& ( )uxf ˆ,0 =
0=ev Rvi s
e
= ( ) ( )( ) ( )xifxAR
iNlxK ee
e
,2
0
22
−==−−
µ
xe có thể tìm bằng ñồ thị bằng cách tìm giao ñiểm của –K(x – l) và
–fe(ie, x).
31Bài giảng 3

 Hai loại phương pháp: tường minh và ngầm ñịnh. Phương pháp Euler là dạng 
tường minh, dễ hiện thực cho các hệ thống nhỏ. Với các hệ lớn, phương pháp 
ngầm ñịnh tốt hơn nhờ tính ổn ñịnh số của nó.

 Xét phương trình
với x, f, và u là các vectơ.

 Thời gian tích phân sẽ ñược chia ñều thành những bước ∆t (Hình 4.45). 
Trong mỗi bước thời gian từ tn ñến tn+1, biểu thức tích phân ñược coi là không 
ñổi bằng giá trị ứng với thời ñiểm trước ñó tn. Như vậy,
Tích phân số
( )uxfx ,=& ( ) 00 xx =
( ) ( )∫∫ ++ = 11 ,n
n
n
n
t
t
t
t
dtuxfdttx&
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]nnnnnnnn tutxfttutxftttxtx ,,11 ∆=−=− ++
32Bài giảng 3

 Tính x(t) ở t = 0,1, 0,2, và 0,3 giây.
Ví dụ 4.21
( ) 22 xtx +−=& ( ) 10 =x
( ) ( ) ( )( )[ ]nnnn txftxx ,1 ∆+=+

 Có thể chọn ∆t = 0.1 s. Công thức tổng quát ñể tính x(n+1) là
,...2,1,0=n
( ) 10 =x
 Tại t0

 Tại t1 = 0,1 s
( )( ) ( ) 2120, 200 −=+−=txf
( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) 8,021,01, 0001 =−×+=∆+= txftxx
( ) 8,01 =x ( )( ) ( ) 344,18,021,0, 211 −=+−=txf
( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) 6656,0344,11,08,0, 1112 =−×+=∆+= txftxx

 Tương tự,
( ) 5681,03 =x ( ) 4939,04 =x
33Bài giảng 3

 Tìm i(t) bằng pp Euler. R = (1 + 3i2) Ω, L = 1 H, và v(t) = 10t V.
Ví dụ 4.22
( )tviR
dt
diL =+ ( ) ( )tvii
dt
di
=++ 231 ( ) 00 =i

 Đặt i = x, và v(t) = u
( ) ( ) ( )tuxftuxx
dt
dx
,,31 2 =++−= ( ) ( )000 xx ==
( ) ( ) ( ) ( )( )nnnnn tuxtfxx ,,1 ∆+=+ ,...2,1,0=n
( ) 00 =x ( ) 00 =u ( ) ( )( ) 0,, 000 =tuxf ( ) 01 =x⇒
( ) 01 =x ( ) 25,01 =u ( ) ( )( ) ( ) 25,025,0001,, 2111 =++−=tuxf
( ) ( ) ( )( ) 00625,025,0025,012 =+= xx⇒