Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương: Biến đổi Laplace - Đặng Quang Hiếu

ET 2060
Biến đổi Laplace
TS. Đặng Quang Hiếu
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Viện Điện tử - Viễn thông
2011-2012
Giới thiệu về biến đổi Laplace
Xét hệ thống LTI với đáp ứng xung h(t) và đầu vào x(t) = est , ta
có:
y(t) = H(s)est
trong đó
H(s) =
∫ ∞
−∞
h(t)e−stdt
◮ Có thể coi biến đổi Fourier là trường hợp riêng của biến đổi
Laplace (với s = jΩ).
◮ Phân tích hệ thống LTI, đặc biệt là tính ổn định.
◮ Ứng dụng trong lý thuyết mạch, lý thuyết điều khiển, v.v.
Định nghĩa
t s
L
L−1
Biến đổi Laplace
x(t)
L←−→ X (s)
trong đó s là biến số phức: s = σ + jΩ.
X (s) ,
∫ ∞
−∞
x(t)e−stdt
Ví dụ: Tìm biến đổi Laplace của x(t) = eatu(t)
Liên hệ với biến đổi Fourier
◮ Biến đổi Fourier là biến đổi Laplace xét trên trục ảo s = jΩ.
X (jΩ) = X (s)|s=jΩ
◮ Biến đổi Laplace là biến đổi Fourier của x(t)e−σt
X (s) =
∫ ∞
−∞
x(t)e−(σ+jΩ)tdt = FT{x(t)e−σt}
◮ Miền hội tụ (ROC) là những giá trị của s trên mặt phẳng
phức sao cho X (s) <∞ (tức là tồn tại biến đổi Fourier của
x(t)e−σt). Điều kiện hội tụ:∫ ∞
−∞
|x(t)e−σt |dt <∞
Ví dụ
Tìm biến đổi Laplace và vẽ miền hội tụ cho các trường hợp sau:
(a) x(t) = δ(t)
(b) x(t) = −eatu(−t)
(c) x(t) = e2tu(t) + e3tu(−t)
(d) x(t) = cos(Ω0t)u(t)
Điểm cực và điểm không
◮ Điểm cực: s = spk nếu X (spk) =∞.
◮ Điểm không: s = s0k nếu X (s0r ) = 0.
◮ Nếu X (s) biểu diễn bởi một hàm hữu tỉ:
X (s) =
N(s)
D(s)
thì spk là nghiệm của đa thức D(s) và s0r là nghiệm của đa
thức N(s).
Ví dụ: Tìm biến đổi Laplace và vẽ các điểm cực, điểm không
x(t) = δ(t)− 3e−2tu(t) + 2etu(t)
Các tính chất của ROC
(i) ROC chứa các dải song song với trục ảo trên mặt phẳng s.
(ii) ROC không chứa các điểm cực
(iii) Nếu x(t) có chiều dài hữu hạn và
∫∞
−∞ |x(t)|dt <∞ thì ROC
sẽ là cả mặt phẳng phức.
(iv) Nếu x(t) là dãy một phía (trái hoặc phải) thì ROC?
(v) Nếu x(t) là dãy hai phía thì ROC?
Biến đổi Laplace ngược
Áp dụng biến đổi Fourier ngược:
x(t)e−σt =
1
2pi
∫ ∞
−∞
X (σ + jΩ)ejΩtdΩ
Ta có:
x(t) =
1
2pij
∫ σ+j∞
σ−j∞
X (s)estds
◮ Nếu X (s) là hàm hữu tỷ thì biến đổi ngược bằng cách khai
triển thành các phân thức tối giản.
◮ Lưu ý về ROC.
Ví dụ: Tìm biến đổi ngược của
X (s) =
−5s − 7
(s + 1)(s − 1)(s + 2) , ROC : −1 < Re{s} < 1
Các tính chất
◮ Tuyến tính
◮ Dịch thời gian: x(t − t0) L←−→ e−st0X (s)
◮ Dịch trên miền s: es0tx(t)
L←−→ X (s − s0)
◮ Co dãn: x(at)
L←−→ 1|a|X (s/a)
◮ Liên hợp phức: x∗(t) L←−→ X ∗(s∗)
◮ Chập: x1(t) ∗ x2(t) L←−→ X1(s)X2(s)
◮ Đạo hàm trên miền t: dx(t)dt
L←−→ sX (s)
◮ Đạo hàm trên miền s: −tx(t) L←−→ dX (s)ds
◮ Tích phân trên miền t:
∫ t
−∞ x(τ)dτ =
1
sX (s)
◮ Định lý giá trị đầu và cuối: Nếu tín hiệu nhân quả (x(t) = 0,
∀t < 0) thì
x(0+) = lim
s→∞ sX (s), limt→∞ x(t) = lims→0
sX (s)
Hàm truyền đạt H(s) của hệ thống LTI
x(t) y(t)h(t)
y(t) = x(t) ∗ h(t)
Biến đổi Laplace cả hai vế, áp dụng tính chất chập, ta có:
H(s) =
Y (s)
X (s)
◮ Hệ thống nghịch đảo: Hinv (s) =
1
H(s)
◮ Hệ thống pha tối thiểu: H(s) và Hinv (s) đều nhân quả, ổn
định.
Hệ thống LTI nhân quả và ổn định
◮ Nhân quả: ROC của H(s) là nửa bên phải của mặt phẳng
phức
◮ Nhân quả, với H(s) là hàm hữu tỷ: ROC là phần mặt phẳng
bên phải của điểm cực ngoài cùng.
◮ Ổn định: ROC chứa trục ảo (s = jΩ).
◮ Nhân quả, ổn định, H(s) hữu tỷ: Tất cả các điểm cực của
H(s) nằm bên trái trục ảo của mặt phẳng phức.
◮ Hệ thống pha tối thiểu: Tất cả các điểm cực và điểm không
của H(s) đều nằm bên trái trục ảo.
Tìm đáp ứng xung của hệ thống LTI
Cho hệ thống LTI được biểu diễn bởi phương trình sai phân tuyến
tính hệ số hằng:
d3
dt3
y(t) + 3
d2
dt2
y(t)− 4y(t) = 4 d
2
dt2
x(t) + 15
d
dt
x(t) + 8x(t)
Hãy tìm đáp ứng xung h(t) trong trường hợp hệ thống nhân quả,
ổn định.
Biến đổi Laplace một phía
X (s) ,
∫ ∞
0
x(t)e−stdt
Ký hiệu:
x(t)
Lu←−→ X (s)
Các tính chất tương tự như biến đổi Laplace hai phía, ngoại trừ:
dx(t)
dt
Lu←−→ sX (s)− x(0−)
Giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng
Cho hệ thống LTI được biểu diễn bởi phương trình vi phân tuyến
tính hệ số hằng
d2
dt2
y(t) + 5
d
dt
y(t) + 6y(t) =
d
dt
x(t) + 6x(t)
Hãy tìm đầu ra y(t) của hệ thống khi có đầu vào x(t) = u(t) ,với
các điều kiện đầu: y(0−) = 1 và y ′(0−) = 2.
Bài tập
1. Sử dụng hàm roots để tìm điểm cực và điểm không của hàm
truyền đạt H(s).
2. Sử dụng hàm residue để phân tích H(s) hữu tỷ thành các
phân thức tối giản.
3. Tìm hiểu về cách sử dụng các hàm tf, zpk, ss, pzmap,
tzero, pole, bode và freqresp để biểu diễn và phân tích hệ
thống.