Giáo trình Quy hoạch tuyến tính - Chương 1: Lý thuyết cơ bản về quy hoạch tuyến tính

b
x
x
 NB
NB
N
B
 B là ma trận cơ sở của phương án cơ sở khả thi x* 
 B có ma trận nghịch đảo là B-1 
 ⇒ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥≥
=+
0 x0x
bNxBx
NB
NB
 ⇒ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥≥
==+
0 x0x
I)B(B bBNxBBxB
NB
-1-1
N
-1
B
-1
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
25 
 ⇒ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥≥
=+
0 x0x
.bBNxBx
NB
-1
N
-1
B
 ⇒ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥≥
=
0 x0x
NxB-bBx
NB
N
-1-1
B
Tính giá trị hàm mục tiêu đối với phương án x ta được : 
z(x) = cTx 
 = [ ] NTNBTB
N
BT
N
T
B xcxcx
x
 cc +=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
 = ( ) NTNN11TB xcNxBbB c +− −− 
 = N
T
NN
1T
B
1T
B xcNxBcbBc +− −−
 = (1) N
1T
B
T
N
1T
B N)xBc-(cbBc
−− +
Vì x* là phương án cơ sở khả thi tương ứng với ma trận cơ sở B nên 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≥= −
0x
0bBx
*
N
1*
B
Tính giá trị hàm mục tiêu đối vơi phương án cơ bản x* ta được : 
 z(x*) = cTx* 
 = [ ] *NTN*BTB*
N
*
BT
N
T
B xcxcx
x
 cc +=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
 = ( vì ) (2) bBcxc 1TB
*
B
T
B
−= 0x*N =
Từ (1) và (2) ta có : 
 z(x) ≤ z(x*) vì 0 NBcc 1TBN ≤− −
Vậy x* là phương án tối ưu. 
Ðiều kiện cần 
 Giả sử là phương án tối ưu với ma trận cơ sở B, cần 
chứng minh rằng : 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
=
≥==
−
0x
0bBx
*x
*
N
1*
B
0 NBccc 1TB
T
N
T
N ≤−= − . 
 ( Nc là vectơ có n-m thành phần) 
 Ta sẽ chứng minh điều này bằng phản chứng. 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
26 
Giả sử rằng tồn tại một thành phần cs của Nc mà cs > 0. Dựa vào cs người ta 
xây dựng một vectơ x như sau : 
 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
≥=
−==
−
0θIx
NxBxx
x
sN
N
1*
BB
Trong đó θ>0 và Is là một vectơ có (n-m) thành phần bằng 0, trừ thành phần 
thứ s bằng 1 . Vậy 
 (*) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=−=
≥== −−−
s
11
s
1*
BB
sN
NBbBINBxx
0x
x
θIθ
θI
 Do B-1b ≥ 0 nên người ta có thể chọn θ>0 đủ nhỏ để xB > 0 
Vậy x được chọn như trên sẽ thoả : 
x ≥ 0 (3) 
Ta kiểm chứng x thỏa ràng buộc của bài toán bằng cách tính : 
 Ax = [ ] NB
N
B NxBx 
x
x
 NB +=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
 = ( ) ss1*B NNBxB θIθI +− − 
 = ( ) ss11 NNBbB B θIθI +− −− 
 = ss
11 NINBBbBB θIθ +− −−
 = ss NNb θIθI +− 
 = b (4) 
 Từ (3) và (4) cho thấy x là một phương án khả thi của bài toán 
Bây giờ ta chỉ ra mâu thuẩn bằng so sánh giá trị hàm mục tiêu tại x và x* . Ta 
có : 
z(x) = cTx 
 = [ ] NTNBTB
N
BT
N
T
B xcxcx
x
 cc +=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
 = ( ) NTNN1*BTB xcNxBxc +− − 
 = N
T
NN
1T
B
*
B
T
B xcNxBcxc +− −
 = )0xc (vì xcNxBcxcxc *N
T
NN
T
NN
1T
B
*
N
T
N
*
B
T
B =+−+ −
 = [ ] ( ) N1TBTN*
N
*
BT
N
T
B xNBccx
x
 c c −−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
 = ( ) s1TBTN*T θI NBccxc −−+ 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
27 
 = s
T
N
*T θIcxc + = θIcxc sTN*T + 
 = z(x*) + θsc > z(x*) ( vì 0c s >θ ) 
Vậy x* không phải là phương án tối ưu nên mâu thuẩn với giả thiết . 
 Chú ý 
 Qua việc chứng minh định lý dấu hiệu tối ưu ta thấy rằng từ một phương án 
cơ sở khả thi chưa tối ưu có thể tìm được các phương án khả thi càng lúc càng tốt 
hơn nhờ lặp lại nhiều lần công thức (*). Vấn đề được đặt là đại lượng θ được chọn 
như thế nào để nhanh chóng nhận được phương án tối ưu. 
 Bổ đề 
 Xét bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc 
⎩⎨
⎧
≥
=
=
 0x
 bAx
 xc)x(zmax T
với B là một cơ sở khả thi nào đó và x0 là phương án cơ sở tương ứng, tức là 
 và ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
=
≥==
−
0x
0bBx
x
0
N
10
B0 bBc)z(x 1TB
0 −=
 Xét NBccc 1TB
T
N
T
N
−−= . 
 Nếu tồn tại một biến ngoài cơ sở xs sao cho sc >0 với sc là thành phần thứ s 
của Nc thì : 
a- Hoặc là người ta có thể làm tăng một cách vô hạn giá trị của xs mà không đi 
ra khỏi tập hợp các phương án khả thi, và trong trường hợp này phương án tối ưu của 
bài toán không giới nội. 
b- Hoặc là người ta có thể xác định một cơ sở khả thi khác là có phương án cơ sở 
khả thi tương ứng với nó là tốt hơn , tức là : 
∧
B
∧
x
 z(x0) < z( ) 
∧
x
 Chứng minh 
 Trong quá trình chứng minh định lý dấu hiệu tối ưu ta có phương án mới được 
xác định như sau : 
 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=−=
≥== −−−
s
11
s
1*
BB
sN
NBbBINBxx
0x
x
θIθ
θI
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
28 
 Ký hiệu : 
 NBN 1−= 
 sN là cột s của N 
 bBb 1−= 
 Như vậy ta có : ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
θ=
θ−==
sN
sB
Ix
N bx
x 
 Hai trường hợp có thể xảy ra như sau : 
 a- Trường hợp 0Ns ≤ 
 Trong trường hợp này xs có thể nhận một giá trị θ lớn tuỳ mà vẫn đảm bảo xB 
≥ 0, nghĩa là x luôn luôn thoả ≥ 0 . Khi đó như đã biết giá trị hàm mục tiêu tương ứng 
là 
 z(x) = [ ] NTNBTB
N
BT
N
T
B xcxcx
x
c c +=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
 = ( ) sTNs11TB IθcIθNBbBc +− −− 
 = s
T
Ns
1T
B
1T
B IθcIθNBcbBc +− −−
 = ( ) s1TBTN0 IθNBcc)x(z −−+ 
 = s
T
N
0 Iθc)x(z + 
= z(x0) + θcs 
với θcs có thể lớn vô hạn thì giá trị của hàm mục tiêu là không giới nội. 
 b- Trường hợp tồn tại i=1→m sao cho 0Nis > 
 ( 0Nis > là thành phần thứ i của sN ) 
 Trong trường hợp này giá trị của θ>0 mà xs có thể nhận không thể tăng vô hạn 
vì phải đảm bảo xB>0. Giá trị lớn nhất của θ mà x
∧
θ s có thể nhận được xác định 
như sau : 
m)1i( 
N
b
0N ,
N
b
 min
rs
r
is
is
i
→=∀
=
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ >=θ∧
 Phương án cơ sở khả thi mới có các thành phần như sau : 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
−== ∧∧
∧∧
∧
sN
sB
Iθx
N θbx
x 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
29 
và giá trị hàm mục tiêu tương ứng là : 
)x(zcθ)x(z)x(z 0s0 >+= ∧∧ 
 Ghi chú : 
 Trong trường hợp bài toán không suy biến, nếu được xác định một cách duy 
nhất thì phương án mới có đúng m thành phần khác 0. Thật vậy : 
∧
θ
∧
x
 - Biến xs đang bằng 0 trong phương án x0 trở thành dương thật sự vì 
 θˆx s =
 - Biến xr đang dương thật sự bây giờ nhận giá trị : 
 0bbN
N
b
bNθbx rrrs
rs
r
rrsrr =−=−=−= ∧∧ 
 Vậy phương án mới là một phương án cơ sở. Nó tương ứng với cơ sở ở 
được suy ra từ B bằng cách thay thế cột r bằng cột s. 
∧
x
∧
B
 Người ta nói rằng hai cơ sở B và là kề nhau, chung tương ứng với những 
điểm cực biên kề nhau trong tập hợp lồi S các phương án khả thi của bài toán. 
∧
B
CÂU HỎI CHƯƠNG 1 
1- Trình bày các bước nghiên cứu một quy hoạch tuyến tính. 
2- Định nghĩa quy hoạch tuyến tính chính tắc. 
3- Trình bày khái niệm về phương án của một quy hoạch tuyến tính. 
4- Trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp hình học giải một quy hoạch tuyến tính 
hai biến. 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
30 
BÀI TẬP CHƯƠNG 1 
xuất hai loại sản phẩm : thép tấm và thép cuộn. 
bao nhiêu trong 
- Có 3 người cùng phải đi một quảng đường dài 10km mà chỉ có một chiếc xe đạp 
hời gian người cuối cùng đến đích là ngắn nhất. 
- Một nhà máy sản xuất ba loại thịt : bò, lợn và cừu với lượng sản xuất mỗi ngày là 
1- Một nhà máy cán thép có thể sản 
Nếu chỉ sản xuất một loại sản phẩm thì nhà máy chỉ có thể sản xuất 200 tấn thép tấm 
hoặc 140 tấn thép cuộn trong một giờ . Lợi nhuận thu được khi bán một tấn thép tấm 
là 25USD, một tấn thép cuộn là 30USD. Nhà máy làm việc 40 giờ trong một tuần và 
thị trường tiêu thụ tối đa là 6000 tấn thép tấm và 4000 tấn thép cuộn . 
 Vấn đề đặt ra là nhà máy cần sản xuất mỗi loại sản phẩm là 
một tuần để đạt lợi nhuận cao nhất. Hãy trình bày bài toán quy hoạch tuyến tính cho 
vấn đề trên. 
2
một chổ ngồi. Tốc độ đi bộ của người thứ nhất là 4km/h, người thứ hai là 2km/h, 
người thứ ba là 2km/h. Tốc độ đi xe đạp của người thứ nhất là 16km/h, người thứ hai 
là 12km/h, người thứ ba là 12km/h. 
 Vấn đề đặt ra là làm sao để t
Hãy trình bày bài toán quy hoạch tuyến tính cho vấn đề trên. 
3
480 tấn thịt bò, 400 tấn thịt lợn, 230 tấn thịt cừu. Mỗi loại đều có thể bán được ở dạng 
tươi hoặc nấu chín. Tổng lượng các loại thịt có thể nấu chín để bán là 420 tấn trong 
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
31 
Nấu chín trong giờ Nấu chín ngoài giờ 
giờ và 250 tấn ngoài giờ. Lợi nhuận thu được từ việc bán một tấn mỗi loại thịt được 
cho trong bảng sau đây : 
 Tươi 
Bò 8 14 11 
Lợn 4 12 7 
Cừu 4 13 9 
h bày bài toán quy hoạch tuyến tính để nhà máy sản xuất đạt lợi nhuận 
cao nhấ
 Một xưởng mộc làm bàn và ghế. Một công nhân làm xong một cái bàn phải mất 2 
- Một nhà máy sản xuất hai kiểu mũ. Thời gian để làm ra một cái mũ kiểu thứ nhất 
- Trong hai tuần một con gà mái đẻ được 12 trứng hoặc ấp được 4 trứng nở ra gà 
- Giải những bài toán quy hoạch tuyến tính sau đây bằng phương pháp hình học : 
Hãy trìn
t. 
4-
giờ, một cái ghế phải mất 30 phút. Khách hàng thường mua nhiều nhất là 4 ghế kèm 
theo 1 bàn do đó tỷ lệ sản xuất giữa ghế và bàn nhiều nhất là 4:1. Giá bán một cái bàn 
là 135USD, một cái ghế là 50USD. Hãy trình bày bài toán quy hoạch tuyến tính để 
xưởng mộc sản xuất đạt doanh thu cao nhất, biết rằng xưởng có 4 công nhân đều làm 
việc 8 giờ mỗi ngày. 
5
nhiều gấp 2 lần thời gian làm ra một cái kiểu thứ hai. Nếu sản xuất toàn kiểu mũ thứ 
hai thì nhà máy làm được 500 cái mỗi ngày. Hàng ngày, thị trường tiêu thụ nhiều nhất 
là 150 cái mũ kiểu thứ nhất và 200 cái kiểu thứ hai. Tiền lãi khi bán một cái mũ kiểu 
thứ nhất là 8USD, một cái mũ thứ hai là 5USD. Hãy trình bày bài toán quy hoạch 
tuyến tính để nhà máy sản xuất đạt lợi nhuận cao nhất. 
6
con. Sau 8 tuần thì bán tất cả gà con và trứng với giá 0,6USD một gà và 0,1USD một 
trứng. Hãy trình bày bài toán quy hoạch tuyến tính bố trí 100 gà mái đẻ trứng hoặc ấp 
trứng sao cho doanh thu là nhiều nhất. 
7
LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 
32 
 a)- b)- 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
≤
≤
≤−
≥+
≥+
−=
5x
5x
1xx
4x2x
3xx3
xxz max
2
1
21
21
21
21
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤
≤+−
≤−
≤−−
+−=
0x,x
1xx
4x2x
6x2x
xxw min
21
21
21
21
21
 c)- d)- 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥+−
≥−
+=
tuy ý xx 21,
2x3x2
2x2x
x65xz max
21
21
21
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥
≥−
≤+
−=
0x,x
3xx
6x2x
x-2xw min
21
21
21
21
e)- f)- 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥
≥+
≤+
+=
0x,x
1x43x
2x2x
x23xz max
21
21
21
21
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≥
≤
≤
≤+
−≥−
−=
0x,x
6x
6x
14xx2
4xx
x43xz max
21
1
2
21
21
21
 g)- 
0x,x
4x2x
9x4x
14x3x
24x32x
12x32x
x3x4z(x) maxmin/
21
21
21
21
21
21
21
≥
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≥+
≥+
≤−
≤+
−≥−
+=