Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động 1

fsF
w
−∞
−∞=
∑
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ −+−−
=
L
!2
11
)()(
2
* (8.6) 
Vì Tw là bé nên 
kTs
k
w
kTs
k
w
T eTkTfes
sTkTfsF
w
−∞
−∞=
−∞
−∞=
∑∑ =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= )()()(* (8.7) 
Cuối cùng thực hiện biến đổi về miền thời gian 
)()()(* kTtkTfTtf
k
wTw
−= ∑∞
−∞=
δ (8.8) 
8.2 Mô hình giữ mẫu bậc không 
Bước cuối cùng trong việc xây dựng mô hình của máy tính số là mô hình giữ 
mẫu bậc không. Nếu coi bộ trích mẫu là lý tưởng thì Tw =1 và xét tại thời điểm t 
= 0 và t = T ta có 
Ts
h ess
sG −−= 11)( (8.9) 
 136
Hình 8.5: Tín hiệu r(t) được trích mẫu 
f(t) 
 t 
f*(t)
 T 2T 3T 4T 
f(kT)δ(t-kT) 
 T 2T 3T 0 0 
 0 
t
fh(t) 
fh(t) 
ZOH 
f*(t) f(t) 
Bộ trích mẫu 
lý tưởng 
 4T 3T 2T T 
 4T 
t 
Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động 1 
8.3 Biến đổi Z 
Mục đích của biến đổi z là đưa về hàm trưyền đạt chứa đựng thông tin về hệ 
thống mà ta có thể phân tích và thiết kế được sự ổn định của hệ thống. 
Thực hiện biến đổi Laplce với bộ trích mẫu là lý tưởng 
kTs
k
T ekTfsF w
−∞
=
∑=
0
* )()( (8.10) 
Thay thế z = e – Ts
k
k
zkTfzF −
∞
=
∑=
0
)()( (8.11) 
Ví dụ: xác định hàm truyền z của bộ lấy mẫu sườn dốc 
Đối với tín hiệu có sườn dốc f(kT) = kT 
)()(
0
* kTtkTtf
k
−=∑∞
=
δ (8.12) 
Thực hiện biến đổi Laplace 
kTs
k
ekTsF −
∞
=
∑=
0
* )( (8.13) 
Thực hiện biến đổi z = e – Ts
)32()( 321
00
L+++=== −−−−∞
=
−∞
=
∑∑ zzzTekTekTzF kz
k
kz
k
 (8.14) 
Biến đổi đưa về dạng zF(z) 
)321()( 21 L+++= −− zzTzzF (8.15) 
Lấy công thức (8.15) trừ (8.14) ta được 
)1()()1()()( 21 L+++=−=− −− zzTzFzzFzzF (8.16) 
Mặt khác 
L+++=−
−−
−
21
1
1
1
1 zz
z
 (8.17) 
 137
Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động 1 
Thay (8.17) vào (8.16) 
2)1(
)( −= z
zTzF (8.18) 
Nếu muốn thực hiện phép biến đổi z ngược ta có hai cách: 
- Phân tích thành các phân thức thành phần. 
- Hạ bậc phân thức. 
Ví dụ : Tìm f*(t) của hàm F(z) sau 
)7.0)(5.0(
5.0)( −−= zz
zzF (8.19) 
Thực hiện chia cho z và phân tích thành các phân thức con 
7.0
5.2
5.0
5.2
7.05.0)7.0)(5.0(
5.0)(
−+−
−=−+−=−−= zzz
B
z
A
zzz
zF (8.20) 
hay 
7.0
5.2
5.0
5.2
)7.0)(5.0(
5.0)( −+−
−=−−= z
z
z
z
zz
zzF (8.21) 
Tra ngược lại 
f(kT) = -2.5(0.5)k + 2.5(0.7)k (8.22) 
Tìm dạng sóng f*(t) lý tưởng 
[ )(2.5(0.7)k 2.5(0.5)k -)()()(* kTtkTtkTftf
kk
−+=−= ∑∑ ∞
−∞=
∞
−∞=
δδ ] (8.23) 
Nếu thay k = 0, 1, 2 và 3 ta có 4 số hạng đầu tiên là 
)3(545.0)2(6.0)(5.0)(0)(* TtTtTtttf −+−+−+= δδδδ (8.24) 
Nếu thực hiện bằng cách chia liên tiếp ta có 
 138
Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động 1 
21.0545.0
21.0720.06.0
175.06.0
175.06.05.0
5.035.02.1
545.06.05.0
1
1
1
1
2
321
−
+−
−
+−
+−
++
−
−
−
−
−−−
z
z
z
zz
zzz
zzz
 (8.25) 
Sử dụng tử số và định nghĩa z 
L+++= −−− TsTsTs eeesF 32* 545.06.05.0)( (8.26) 
Từ miền thời gian 
L+−+−+−= )3(545.0)2(6.0)(5.0)(* TtTtTttf δδδ (8.27) 
8.4 Hàm truyền đạt 
Ta có dạng của tín hiệu 
)()()( kTtkTftf
k
−= ∑∞
−∞=
δ (8.28) 
Tín hiệu trích mẫu đầu vào là 
)()()(
0
* nTtnTftr
n
−=∑∞
=
δ (8.29) 
G(s)
C(s) R(s) 
R*(s)
R*(s)
G(s)
C(s) C*(t) R(s) 
G(s)
C(s) R(s) 
Hình 8.6: Hệ thống tín hiệu trích mẫu 
Đáp ứng xung của hệ thống G(s) là g(t), tín hiệu ra của G(s) có thể được viết 
bằng tổng các xung được tạo ra khi cho tín hiệu tác động ở đầu vào. 
 139
Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động 1 
)()()(
0
nTtgnTrtc
n
−=∑∞
=
 (8.30) 
Sử dụng công thức 8.11 ta có 
k
k
zkTczC −
∞
=
∑=
0
)()( (8.31) 
Sử dụng công thức 8.30 với t = kT 
)()()(
0
nTkTgnTrkTc
n
−=∑∞
=
 (8.32) 
Thay công thức 8.32 vào công thức 8.31 ta được 
 140
][ k
k n
zTnkgnTrzC −
∞
=
∞
=
∑∑ −=
0 0
)()()( (8.33) 
Đặt m = k – n 
[ ]
[ ] [ ] ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧=
=
−∞
=
−∞
=
+−∞
=+
∞
=
∑∑
∑ ∑
n
n
m
m
nm
nm n
zmTgnTrzmTg
zmTgnTrzC
00
)(
0 0
)(
)()(
 (8.34) 
Tại giới hạn dưới m + n → m. Mặt khác m + n = 0 khi m 0. Nhưng 
khi m < 0 thì g(mT) = 0, m không nhỏ hơn 0. Bên cạnh đó g(t) = 0 khi t < 0. 
Áp dụng định nghĩa biến đổi z ta có 
[ ] [ ] )()()()(
00
zRzGzmTgnTrzmTgzC n
n
m
m
=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧= −∞
=
−∞
=
∑∑ (8.35) 
Ví dụ: Ta có khâu giữ mẫu bậc không ghép nối tầng với 
1
21)(hay 
1
2)(1 +
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=+
+=
−
s
s
s
esG
s
ssG
Ts
 (8.36) 
Tìm hàm truyền G(z) nếu như chu kỳ trích mẫu là 0.5s 
Giải 
Vì khâu z.0.h được mắc nối tầng với G1(s) nên ta có thể viết như sau 
Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động 1 
( ) )(1)( 1
s
sGesG Ts−−= (8.37) 
từ 
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧−=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧−= −
s
sGz
z
z
s
sGzzzG )(1)()1()( 111 (8.38) 
Thực hiện biến đổi Laplace ngược 
1
12
1)1(
2)()( 12 ++=++=+
+==
sss
B
s
A
ss
s
s
sGsG (8.39) 
Biến đổi Laplace ngược 
tetg −−= 2)(2 (8.40) 
và khi t = kT 
kTekTg −−= 2)(2 (8.41) 
Tra bảng ta tìm được G2(z) 
Tez
z
z
zzG −−−−= 1
2)(2 (8.42) 
Thay T = 0.5 vào 8.42 
)607.0)(1(
214.0
607.01
2)()(
2
1
2 −−
−=−−−=⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧=
zz
zz
z
z
z
z
s
sGzG (8.43) 
Thay vào 8.38 ta tìm được G(z) 
607.0
214.0)(1)( 2 −
−=−=
z
zsG
z
zzG (8.44) 
8.5 Sự ổn định 
Sự khác nhau về sự ổn định giữa hệ thống điều khiển phản hồi tương tự và số 
như sau 
 141
Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động 1 
142
Hình 8.7: Mặt phẳng phân bố sự ổn định 
Trong mặt phảng phức s thì miền ổn định nằm bên trái trục ảo. Hệ thống có 
hàm truyền G(s) được chuyển sang miền gián đoạn là G(z), miền ổn định được 
xác định như sau: 
z = esT = e(σ + jω)T = e σTےωT (8.45) 
trong đó s = σ + jω 
Ở bên trái mặt phẳng phức s, σ <0 tương ứng với 0 < z < 1 thì hệ thống ổn định. 
Ví dụ: cho hệ thống sau 
Hình 8.8: Hệ thống điều khiển phản hồi đã được trích mẫu 
Với T = 1 và 
)1(
)( += ss
KsGp (8.46) 
Thực hiện biến đổi z ta có 
azaz
bazK
zz
zKzG ++−
+=+−
+=
)1(
)(
3678.03678.1
)2644.03678.0()( 22 (8.47) 
e*(t)
G0(s)
r(t) c(t) 
Gp(s)
Im 
Mặt phẳng z
Re
Im 
A
C 
B 
Mặt phẳng s
B 
C ReA
Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động 1 
Với a = 0.3678 và b = 0.2644 
Điểm cực của hệ thống kín là nghiệm của phương trình q(z) = 1 + G(z) = 0 
q(z) = 1 + G(z) = z2 – (1-a)z + a + Kaz + Kb = 0 (8.48) 
Khi K = 1 
 q(z) = z2 – z + 0.6322 
 = (z – 0.50 + j0.6182)(z – 0.50-j0.6182) = 0 (8.49) 
Hệ thống ổn định vì các nghiệm đều nằm trong đường tròn đơn vị. 
Khi K = 10 
 q(z) = z2 + 2.310z + 3.012 
 = (z + 1.155 + j1.295)(z + 
Hệ thống không ổn định vì các nghiệm nằ
Với 0 < K < 2.39 thì hệ thống ổn định. 
8.6 Sai số xác lập 
Chúng ta xem sự ảnh hưởng của việc
thống số. Để đưa ra được các kết luận tổ
vì vị trí trích mẫu có thể làm thay đổi hàm
ta giả thiết vị trí của bộ trích mẫu nằm sau
E*(sR(s) 
s
e−1
T 
Hình 8.9: Sai số xác lập
Sai số trích mẫu là E*(s) = E(z) 
Từ sơ đồ ta có 
 143
 1.155 – j1.295) = 0 (8.50) 
m ở bên ngoài đường tròn đơn vị. 
 trích mẫu đến sai số xác lập trong hệ 
ng quát về sai số xác lập là rất khó bởi 
 truyền đạt của hệ hở. Trong phần này 
 tín hiệu sai lệch. 
C(s) 
Gp(s) Ts−
 của hệ điều khiển số 
Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động 1 
)(1
)()( 
)()()()(
zG
zRzEhay
zGzEzRzE
+=
−=
 (8.51) 
Và áp dụng định lý về giá trị xác lập 
)(1
)()1(lim)()1(lim)( 1
1
1
1
*
zG
zRzzEze
zz +−=−=∞
−
→
−
→ (8.52) 
Nếu tín hiệu vào là tín hiệu bậc thang đơn vị 
1
)( −= z
zzR (8.53) 
Thay R(z) vào 
)(lim1
1)(
1
*
zG
e
z→+
=∞ (8.54) 
Lúc đó hằng số sai số tính là 
)(lim
1
zGK
zp →= (8.56) 
Viết lại theo Kp 
pK
e +=∞ 1
1)(* (8.57) 
Nếu tín hiệu vào là tín hiệu có sườn dốc thì 
2)1(
)( −= z
TzzR (8.58) 
Sai số là 
 1)(
vK
e =∞ (8.59) 
trong đó )()1(lim1
1
zGz
T
K
zv
−= → (8.60) 
Nếu tín hiệu vào là đường Parabol 
 144
Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động 1 
3
2
)1(2
)1()( −
+=
z
zzTzR (8.61) 
Sai số là 
 1)(
aK
e =∞ (8.62) 
trong đó )()1(lim1 2
12
zGz
T
K
za
−= → (8.63) 
Ví dụ: tìm sai số xác lập của hệ thống khi 
)1(
10)( += sssGp (8.64) 
Giải 
Đầu tiên tìm G(s) 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++−−=+
−= −
−
1
111)1(10
)1(
)1(10)(
22 sss
e
ss
esG Ts
Ts
 (8.65) 
Thực hiện biến đổi z 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−+−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+−−−−=
−
−
−
T
T
ez
z
z
Tz
ez
z
z
z
z
TzzzG
11
1
10
)1()1(
)1(10)( 2
1
 (8.66) 
Đối với tín hiệu bậc thang đơn vị 
∞== → )(lim1 zGK zp 01
1)(* =+=∞ pK
e (8.67) 
Đối với tín hiệu sườn dốc 
10)()1(lim1
1
=−= → zGzTK zv 0.1
1)( ==∞
vK
e (8.68) 
Đối với tín hiệu Parabol 
 145
Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động 1 
0)()1(lim1 2
12
=−= → zGzTK za 
1)( ∞==∞
aK
e (8.69) 
 146
Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động 1 
Bài tập chương 8 
1. Tìm f(kT) của các hàm truyền z sau: 
a, 
)7.0)(5.0(
)1()( −−
+=
zz
zzzF b, 
)7.0)(5.0(
)2)(1()( −−
++=
zzz
zzzF 
2. Tìm hàm truyền G(z) từ các hàm truyền trong miền phức G(s) với T = 
0.5s 
a, 
)3)(1(
5)( ++
+=
ss
ssG b, 
)4)(3(
)2)(1()( ++
++=
ss
sssG 
c, 
1
2)( +
+=
s
ssG d, 
)134)(2(
30)( 2 +++= ssssG 
3. Tìm hàm truyền G(z) của các hệ thống sau: 
4. Tìm K để hệ thống sau là ổn định. 
5.Tìm hằng số sai số tĩnh sse của hệ thống sau 
Nếu tín hiệu đầu vào là 
a, )(tu
b, )(ttu
c, )(
2
1 2 tut 
 147
Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động 1 
Tài liệu tham khảo 
[1] Norman S.Nise, Control System Engineering, Addision-Wesley 
Publishing Company, 1995. 
[2] Richard C.Dorf, Robert H.Bishop, Modern Control System, Tenth 
Edition, Pearson Prentice Hall, 2005. 
[3] Nguyễn Doãn Phước, Lý thuyết điều khiển tuyến tính, Nhà xuất bản 
Khoa học và kỹ thuật, 2004. 
[4] Phạm Công Ngô, Lý thuyết điều khiển tự động, Nhà xuất bản Khoa học 
và kỹ thuật, 2006. 
[5] Nguyễn Phương, Nguyễn Thị Phương Giang, Cơ sỏ tự động hoá sử dụng 
trong ngành cơ khí, Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật, 2005. 
[6] Nguyễn Hoài Nam, Bài giảng lý thuyết điều khiển tự động, Đại học Kỹ 
thuật công nghiệp Thái Nguyên. 
[7] Lương Thanh Bình, Bài giảng lý thuyết điều khiển tự động, Đại học Sư 
phạm kỹ thuật Vinh. 
 148