Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 4: Véctơ ngẫu nhiên - Hoàng Văn Hà

ai biến ngẫu nhiên rời rạc
Hai biến ngẫu nhiên rời rạc X và Y gọi là độc lập với nhau nếu thỏa một
trong các tính chất sau
(1) fXY (x , y) = fX (x).fY (y) ∀x , y .
(2) fY |x(y |x) = fY (y) ∀x , y và fX (x) > 0.
(3) fX |y(x |y) = fX (x) ∀x , y và fY (y) > 0.
(4) P(X ∈ A,Y ∈ B) = P(X ∈ A).P(Y ∈ B) với tập A, B bất kỳ trên
miền xác định tương ứng của X và Y .
Ví dụ 5
Kiểm tra tính độc lập của hai biến ngẫu nhiên trong ví dụ 2.
Ha Hoang V. () Véc-tơ ngẫu nhiên Ngày 13 tháng 10 năm 2012 20 / 43
Véc-tơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều Phân phối có điều kiện và sự độc lập
Ví dụ 6
Cho véc-tơ ngẫu nhiên (X ,Y ) có hàm xác suất đồng thời
f (x , y) = c(x + y) x = 1, 2, 3 và y = 1, 2, 3
(a) Tìm c.
(b) Tính P(X = 1,Y < 4), P(X = 1), P(Y = 2), P(X < 2,Y < 2).
(d) Tìm phân phối lề cho X , phân phối lề cho Y .
(e) Tìm phân phối của Y cho biết X = 1; phân phối của X cho biết
Y = 2.
(f) Tính E(Y |X = 1) và E(X |Y = 2).
(g) X và Y có độc lập?
Ha Hoang V. () Véc-tơ ngẫu nhiên Ngày 13 tháng 10 năm 2012 21 / 43
Véc-tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều Phân phối đồng thời
Hàm mật độ đồng thời
Định nghĩa 3.1 (Joint probability density function)
Hàm mật độ xác suất đồng thời của véc-tơ ngẫu nhiên (X ,Y ), ký hiệu
fXY (x , y), là hàm hai biến thỏa các điều kiện sau
(1) fXY (x , y) ≥ 0 với mọi −∞ < x , y <∞
(2)
∫∞
−∞
∫∞
−∞ fXY (x , y)dxdy = 1
(3) Với mọi tập I ⊂ R2
P ((X ,Y ) ∈ I ) =
∫∫
I
f (x , y)dxdy
Ha Hoang V. () Véc-tơ ngẫu nhiên Ngày 13 tháng 10 năm 2012 22 / 43
Véc-tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều Phân phối đồng thời
Hàm phân phối đồng thời
Khi biết fXY (x , y), hàm phân phối xác suất đồng thời (Joint probability
cumulative function) được xác định như sau
F (x , y) =
x∫
−∞
y∫
−∞
f (u, v)dvdu (14)
và khi F (x , y) khả vi theo x và y , hàm mật độ đồng thời
f (x , y) =
∂2
∂x∂y
F (x , y) (15)
Ha Hoang V. () Véc-tơ ngẫu nhiên Ngày 13 tháng 10 năm 2012 23 / 43
Véc-tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều Phân phối đồng thời
Phân phối đồng thời
Ví dụ 7
Giả sử f (x , y) = K (x2 + y2) là hàm mật độ đồng thời của (X ,Y ) xác định
trên hình vuông đơn vị bị chặn bởi các điểm (0, 0), (1, 0), (1, 1) và (0, 1).
(a) Tìm K.
(b) Tính P [X + Y ≥ 1].
(c) Tìm F (x , y).
Ha Hoang V. () Véc-tơ ngẫu nhiên Ngày 13 tháng 10 năm 2012 24 / 43
Véc-tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều Phân phối đồng thời
Phân phối đồng thời
Ví dụ 8
Cho véc-tơ ngẫu nhiên liên tục (X ,Y ) có hàm mật độ đồng thời
f (x , y) =
{ 2
75
(
2x2y + xy2
)
với 0 ≤ x ≤ 3 và 1 ≤ y ≤ 2
0 nơi khác
(a) Tính P
(
1 ≤ X ≤ 2,
4
3
≤ Y ≤
5
3
)
.
(b) Tìm F (x , y).
Ha Hoang V. () Véc-tơ ngẫu nhiên Ngày 13 tháng 10 năm 2012 25 / 43
Véc-tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều Phân phối lề
Phân phối lề
Định nghĩa 3.2 (Marginal probability density function)
Nếu véc-tơ ngẫu nhiên (X ,Y ) có hàm mật độ đồng thời là f (x , y) thì hàm
mật độ xác suất lề của X và Y được xác định bởi
fX (x) =
∞∫
−∞
fXY (x , y)dy (16)
fY (y) =
∞∫
−∞
fXY (x , y)dx (17)
Từ các hàm mật độ lề fX (x) và fY (y) ta có thể tìm được hàm phân phối
lề cho X và Y là FX (x) và FY (y).
Ha Hoang V. () Véc-tơ ngẫu nhiên Ngày 13 tháng 10 năm 2012 26 / 43
Véc-tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều Phân phối lề
Kỳ vọng và phương sai từ phân phối đồng thời
Định nghĩa 3.3
Cho véc-tơ ngẫu nhiên (X ,Y ) có hàm mật độ đồng thời f (x , y), khi đó
E(X ) = µX =
∞∫
−∞
xfX (x)dx =
∞∫
−∞
x

 ∞∫
−∞
fXY (x , y)dy

 dx
=
∫∫
R
xfXY (x , y)dxdy (18)
Var(X ) =
∫∫
R
x2fXY (x , y)dxdy − µ2X (19)
Ta có định nghĩa tương tự cho kỳ vọng và phương sai cho Y .
Ha Hoang V. () Véc-tơ ngẫu nhiên Ngày 13 tháng 10 năm 2012 27 / 43
Véc-tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều Phân phối lề
Kỳ vọng và phương sai từ phân phối đồng thời
Kỳ vọng của hàm của biến ngẫu nhiên
Nếu h(x , y) là hàm hai biến và véc-tơ ngẫu nhiên (X ,Y ) có phân phối
đồng thời thì kỳ vọng của h(X ,Y ) được xác định bởi
E [h(X ,Y )] =
∞∫
−∞
∞∫
−∞
h(x , y)f (x , y)dydx (20)
Ha Hoang V. () Véc-tơ ngẫu nhiên Ngày 13 tháng 10 năm 2012 28 / 43
Véc-tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều Phân phối lề
Phân phối đồng thời
Ví dụ 9
Cho véc-tơ ngẫu nhiên (X ,Y ) có hàm mật độ xác suất đồng thời
f (x , y) =
3(2 − 2x − y)
2
xác định trên miền bị chặn bởi y = 0, x = 0 và y = 2− 2x.
(a) Tìm P(X > 12).
(b) Tìm P(X > Y ).
Ha Hoang V. () Véc-tơ ngẫu nhiên Ngày 13 tháng 10 năm 2012 29 / 43
Véc-tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều Phân phối lề
Phân phối đồng thời
Ví dụ 10
Cho véc-tơ ngẫu nhiên (X ,Y ) có hàm mật độ xác suất đồng thời
f (x , y) =
3
2
(x2 + y2) với 0 ≤ x , y ≤ 1
(a) Tìm các hàm mật độ lề fX (x) và fY (y).
(b) Tìm các hàm phân phối lề FX (x) và FY (y).
(c) Tính E
[
X 2 + Y 2
]
.
Ha Hoang V. () Véc-tơ ngẫu nhiên Ngày 13 tháng 10 năm 2012 30 / 43
Véc-tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều Phân phối có điều kiện và sự độc lập
Phân phối có điều kiện
Định nghĩa 3.4 (Conditional probability density function)
Xét véc-tơ ngẫu nhiên liên tục (X ,Y ) có hàm mật độ xác suất đồng thời
fXY (x , y), hàm phân phối xác suất có điều kiện của Y cho trước giá trị
X = x được xác định bởi
fY |x(y) =
fXY (x , y)
fX (x)
với fX (x) > 0 (21)
Tương tự, phân phối có điều kiện của X cho trước giá trị Y = y là
fX |y(x) =
fXY (x , y)
fY (y)
với fY (y) > 0 (22)
Ha Hoang V. () Véc-tơ ngẫu nhiên Ngày 13 tháng 10 năm 2012 31 / 43
Véc-tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều Phân phối có điều kiện và sự độc lập
Kỳ vọng có điều kiện
Định nghĩa 3.5 (Conditional mean)
Xét véc-tơ ngẫu nhiên (X ,Y ), kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Y cho trước
X = x, ký hiệu E(Y |X = x) = µY |x là hàm số của biến ngẫu nhiên X và
E(Y |X = x) =
∞∫
−∞
yfY |x(y)dy (23)
Tương tự, kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X cho trước Y = y , ký hiệu
E(X |Y = y) = µX |y , xác định bởi
E(X |Y = y) =
∞∫
−∞
xfX |y(x)dx (24)
Ha Hoang V. () Véc-tơ ngẫu nhiên Ngày 13 tháng 10 năm 2012 32 / 43
Véc-tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều Phân phối có điều kiện và sự độc lập
Sự độc lập
Sự độc lập của hai biến ngẫu nhiên liên tục
Hai biến ngẫu nhiên liên tục X và Y gọi là độc lập với nhau nếu thỏa một
trong các tính chất sau
(1) fXY (x , y) = fX (x).fY (y) ∀x , y .
(2) fY |x(y |x) = fY (y) ∀x , y và fX (x) > 0.
(3) fX |y(x |y) = fX (x) ∀x , y và fY (y) > 0.
(4) P(X ∈ A,Y ∈ B) = P(X ∈ A).P(Y ∈ B) với tập A, B bất kỳ trên
miền xác định tương ứng của X và Y .
Ha Hoang V. () Véc-tơ ngẫu nhiên Ngày 13 tháng 10 năm 2012 33 / 43
Véc-tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều Phân phối có điều kiện và sự độc lập
Phân phối có điều kiện và sự độc lập
Ví dụ 11
Cho véc-tơ ngẫu nhiên (X ,Y ) có hàm mật độ xác suất đồng thời
f (x , y) =
3
2
(x2 + y2) với 0 ≤ x , y ≤ 1
(a) Tìm hàm mật độ có điều kiện fX |Y (x |Y = 0.3).
(b) Tính E(X |Y = 0.3) và Var(X |Y = 0.3).
Ha Hoang V. () Véc-tơ ngẫu nhiên Ngày 13 tháng 10 năm 2012 34 / 43
Véc-tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều Phân phối có điều kiện và sự độc lập
Phân phối có điều kiện và sự độc lập
Ví dụ 12
Cho véc-tơ ngẫu nhiên (X ,Y ) có hàm mật độ xác suất đồng thời
f (x , y) =
pi
2
(
sin
pi
2
y
)
e−x với 0 < x <∞ và 0 < y < 1
(a) Tính P(X > 1|Y = 12 ).
(b) Tìm fX (x) và fY (y).
(c) X và Y có độc lập?
Ha Hoang V. () Véc-tơ ngẫu nhiên Ngày 13 tháng 10 năm 2012 35 / 43
Hiệp phương sai và hệ số tương quan Hiệp phương sai
Hiệp phương sai
Định nghĩa 4.1 (Covariance)
Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên, hiệp phương sai giữa X và Y , ký hiệu
Cov (X ,Y ) (hay σXY ) được định nghĩa như sau
Cov (X ,Y ) = E (X − E [X ]) (Y − E [Y ]) (25)
= E(XY )− E(X )E(Y )
Hiệp phương sai là đại lượng dùng để đo mối liên hệ tuyến tính giữa hai
biến ngẫu nhiên X và Y .
Ha Hoang V. () Véc-tơ ngẫu nhiên Ngày 13 tháng 10 năm 2012 36 / 43
Hiệp phương sai và hệ số tương quan Hiệp phương sai
Hiệp phương sai
Tương quan dương Tương quan âm
Ha Hoang V. () Véc-tơ ngẫu nhiên Ngày 13 tháng 10 năm 2012 37 / 43
Hiệp phương sai và hệ số tương quan Hiệp phương sai
Hiệp phương sai
Không tương quan Không tương quan
Ha Hoang V. () Véc-tơ ngẫu nhiên Ngày 13 tháng 10 năm 2012 38 / 43
Hiệp phương sai và hệ số tương quan Hiệp phương sai
Hiệp phương sai
Tính chất
Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập và có phương sai hữu hạn thì
Cov (X ,Y ) = 0 (26)
và phương sai của X + Y
Var (X + Y ) = Var (X ) + Var (Y ) (27)
Chú ý
Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y có Cov (X ,Y ) = 0 thì ta nói X và Y
không tương quan, nhưng không thể suy ra được X và Y là độc lập.
Ha Hoang V. () Véc-tơ ngẫu nhiên Ngày 13 tháng 10 năm 2012 39 / 43
Hiệp phương sai và hệ số tương quan Hiệp phương sai
Hiệp phương sai
Định lý 2 (Phương sai của tổng n biến ngẫu nhiên)
Nếu X1, . . . ,Xn là n biến ngẫu nhiên sao cho Var (Xi) < +∞ với mọi
i = 1, . . . , n thì
Var
(
n∑
i=1
Xi
)
=
n∑
i=1
Var (Xi) + 2
∑∑
i<j
Cov (Xi ,Xj) (28)
Trường hợp hai biến
Với a, b và c là hằng số, ta có
Var(aX + bY + c) = a2Var(X ) + b2Var(Y ) + 2abCov(X ,Y )
Ha Hoang V. () Véc-tơ ngẫu nhiên Ngày 13 tháng 10 năm 2012 40 / 43
Hiệp phương sai và hệ số tương quan Hệ số tương quan
Hệ số tương quan
Định nghĩa 4.2 (Coefficient of Correlation)
Hệ số tương quan giữa hai biến ngẫu nhiên X và Y , ký hiệu ρXY , được
định nghĩa như sau
ρXY =
Cov(X ,Y )√
Var(X )Var(Y )
=
σXY
σXσY
(29)
Tính chất
−1 ≤ ρXY ≤ +1
Ha Hoang V. () Véc-tơ ngẫu nhiên Ngày 13 tháng 10 năm 2012 41 / 43
Hiệp phương sai và hệ số tương quan Hệ số tương quan
Hệ số tương quan
Ví dụ 13
Cho véc-tơ ngẫu nhiên rời rạc (X ,Y )
có phân phối xác suất đồng thời như
hình bên. Tính Cov(X ,Y ) và ρXY .
Ha Hoang V. () Véc-tơ ngẫu nhiên Ngày 13 tháng 10 năm 2012 42 / 43
Hiệp phương sai và hệ số tương quan Hệ số tương quan
Hệ số tương quan
Ví dụ 14
Cho véc-tơ ngẫu nhiên liên tục (X ,Y ) có hàm mật độ xác suất đồng thời
f (x , y) =
1
16
xy với 0 ≤ x ≤ 2 và 0 ≤ y ≤ 4
Chứng tỏ rằng σXY = 0.
Ví dụ 15
Cho véc-tơ ngẫu nhiên (X ,Y ) có ρXY = 13 , và σ
2
X = a, σ
2
Y = 4a. Biến
ngẫu nhiên Z = 3X − 4Y có σ2Z = 11. Tìm a.
Ha Hoang V. () Véc-tơ ngẫu nhiên Ngày 13 tháng 10 năm 2012 43 / 43