Bài giảng Chuyên đề Phương pháp tính - Chương 3: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Chương 3 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM 
 VÀ TÍCH PHÂN 
3.1 Tính gần đúng đạo hàm 
+ Ta biểu diễn hàm f(x) bằng đa thức nội suy: f(x) = P(x), với P(x) 
là đa thức nội suy (đa thức nội suy tiện lợi là spline bậc 3); Tiếp theo ta tính 
gần đúng đạo hàm f ’(x) ở đa thức nầy: 
 f’(x) = P’(x) 
+ Ta cũng có thể áp dụng khai triển Taylor: 
 f(x + h) = f(x) + h f’(x) + 
!2
2h f”(c), với c = x + θh, 0 < θ < 1. 
Từ đó ta tính được: f’(x) ≈ h
)x(f)hx(f −+
3.2 Tính gần đúng tích phân xác định 
3.2.1 Công thức hình thang: 
Trong từng khoảng chia (i,i+1), đường cong Mi, 
Mi+1 được xấp xỉ thành đường thẳng. 
Đối với tích phân thứ (i + 1), ta có: 
∫+ ++=1i
i
x
x
1ii
2
yyhdx)x(f
Với xi = a + ih, h = n
ab −
, 
i = 1, 2, . . . . . , n; a = x0 , b = xn 
I= ∫∫∫ ∫
−
++=
n
1n
2
1
1
0
x
x
x
x
b
a
x
x
dx)x(f........dx)x(fdx)x(fdx)x(f
( )[ ]


 +++++≅
++++++≅
−
−
1n21
n0
T
n1n2110T
y.......yy
2
yyhI
)yy(.......)yy(yy
2
hI
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 14 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Sai số: I - IT  ≤ )ab(h12
M 2 − , với M = max f”(x), a ≤ x ≤ b 
3.2.2 Công thức Simson 
Bây giờ cứ mổi đoạn cong Mi, Mi+1 được xấp xỉ bằng đường cong bậc 
hai, đi qua ba giá trị yi, yi+1 và giá trị y tại x = (xi + xi+1)/2, có nghĩa chia 
[a,b] thành 2n đoạn bằng nhau,bởi các điểm chia xi: 
 a = x0 < x1 < x2 < ...< x2n =b, nghĩa là: xi = a +ih 
Với h = (b – a)/2n, với: i = 0, 1,2,.,2n 
Dùng đa thức nội suy bậc 2 xấp xỉ theo Newton, ta có công thức tính gần 
đúng tích phân theo Simson: 
 dtyttytyhdxxpdxxf
x
x
x
x
)
2
)1(()()( 0
2
0
2
0
02
2
0
2
0
∆++∆+=≈ ∫∫∫ 
 )4(3
)( 210
2
0
yyyhdxxf
x
x
++≅∫ 
Tổng quát : 
)4(
3
)( 22122
22
2
++ ++≅∫+ iii
x
x
yyyhdxxf
i
i
 Vậy: 
)]...(2)...(4)[(
3
)]4(....)4()4[(
3
)(
2242123120
21222432210
−−
−−
+++++++++≅
+++++++++≅∫
nnn
nnn
b
a
yyyyyyyyhI
yyyyyyyyyhdxxf
Sai số: 
 )(180
4
abhMII S −≤−
 Với: M = max | fiv(x) |, a ≤ x ≤b. 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 15 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
3.2.3 Công thức của Gauss 
3.2.3.1Liên hệ giữa các hệ toạ độ tổng thể và hệ toạ độ địa phương 
Trong nhiều trường hợp ta cần tính tích phân số với độ chính xác rất cao, 
như trong phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH), miền tính toán Ω được 
chia nhỏ thành nhiều miền con, phương pháp biến phân trọng số xây dựng 
trên các miền con này. Do đó dẫn đến tích phân hàm dạng trên miền con. 
 Nếu tích phân hàm dạng bậc cao với sử dụng hệ toạ độ tổng thể 
(x,y,z, global coordinate) thì thông thường sẽ xuất hiện các biểu thức đại số 
rất phức tạp khi phần tử là hai, ba chiều (Irons and Ahmad, 1980). 
 Thay vào đó nếu chúng ta thực hiện chúng trong hệ toạ độ địa phương 
(ξ,η,ζ, local coordinate) hay còn gọi là toạ độ chuẩn hay toạ độ tự nhiên 
(normal coordinate hay natural coordinate) thì sẽ đơn giản hơn rất nhiều 
[Taig, 1961]; bởi lẽ nó thuận lợi trong việc xây dựng hàm nội suy, tích phân 
số dùng được cách thiết lập của Gauss-Legendre (phổ biến nhất). 
ev
ξ
η
rv k
j
i
x3
x2
x1
→
→
→
eτ Phần tử thực 
Xj 
Xk 
Phần tử chiếu 
0,0 
1,0 
0,1 
3 
2 1 
x 
xi
y 
Hình 3.3: Biểu thị phần tử chiếu Vr vào phần tử thực Ve 
 Với phần tử đẳng tham số (isoparametric), ta có thể viết công thức 
biến đổi toạ độ cho phần tử tứ giác tuyến tính có bốn điểm nút như sau: 
44332211
4
1
xNxNxNxNxNx
i
ii +++==∑
=
)10.3(44332211
4
1
xNxNxNxNxNy
j
jj +++== ∑
=
 Với phần tử tam giác tuyến tính có ba điểm nút: 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính ∑
=
++==
3
1
332211
i
ii xNxNxNxNx Trang 16 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
 ở đây Ni, Nj là hàm dạng hay còn gọi là hàm nội suy (shape function hay 
interpolation function). 
∑
=
++==
3
1
332211 (3.11)
j
jj yNyNyNyNy
Từ luật đạo hàm đạo hàm riêng phần, ta có: 






∂
∂
∂
∂
=






∂
∂
∂
∂








∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=






∂
∂
∂
∂
y
xJ
y
x
yx
yx
ηη
ξξ
η
ξ (3.12) 
Hay: 






∂
∂
∂
∂
=






∂
∂
∂
∂
−
η
ξ1J
y
x (3.13) 
ở đây J là ma trận Jacobian biến đổi toạ độ. Định thức của ma trận nầy, det 
J , cũng phải được ước lượng bởi lẽ nó được dùng trong các tích phân biến 
đổi như sau: 
+ Cho phần tử tứ giác tuyến tính: 
 ∫∫ ∫ ∫
− −
=
e
ddJdxdy
ω
ηξ
1
1
1
1
det (3.14) 
+ Cho phần tử tam giác tuyến tính: 
 ∫∫ ∫ ∫
−
=
e
ddJdxdy
ω
ξ
ξη
1
0
1
0
det (3.15) 
1 
3 
2 
4 
1 
4 
3 
2 
Hình 3.4: Phần tử tứ giác có ma trận Jacobian không xác định 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 17 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Trong một số trường hợp, ví dụ như ở Hình 3.4, phần tử tứ giác có 4 điểm 
nút, nếu dạng hình học như vậy, ma trận Jacobian trở nên không xác định; 
để nó có giá trị tốt, các hình dạng phần tử như cạnh và góc của nó cần phải 
đều đặn hơn (ví dụ tam giác đều, tứ giác đều ≡ hình vuông, đây là các dạng 
phần tử lý tưởng). 
3.2.3.2 Tích phân số 
Một số tích phân của các loại bài toán hai chiều (2D), ba chiều (3D), theo 
phương pháp PTHH có thể được ước lượng bằng giải tích, nhưng nó không 
thực dụng cho các hàm số phức tạp , đặc biệt trong trường hợp tổng quát khi 
( )ηξ , là toạ độ cong. Trong thực hành (3.14), (3.15) được ước lượng bằng số, 
gọi là tích phân số (numerical integration hay còn gọi là numerical 
quadrature). Dùng tích phân số của Gauss, với phần tử tứ giác, miền hai 
chiều ta có: 
 (3.16) ( ) (∫ ∫ ∑∑
− − = =
≅
1
1
1
1 1 1
,,
n
i
n
j
jiji fwwddf ηξηξηξ )
Với phần tử tam giác: 
 ( ) (∫ ∫ ∑−
=
≅
1
0
1
0 1
,
2
1,
ξ
ηξξηηξ n
i
ii
i fwddf ) (3.17) 
Với phần tử tứ giác thì wi, wj là hệ số trọng số và ji ηξ , là các vị trí toạ độ 
bên trong phần tử, cho ở Bảng 2 (Xem Kopal 1961); còn với phần tử tam 
giác, tương tự như phần tử tứ giác, nhưng các điểm tích phân là các điểm 
mẫu ( sampling Points), Bảng 1. 
 Thông thường người ta muốn các tích phân số đạt độ chính xác cao, 
nhưng có những trường hợp đặc biệt lại không cần thiết. ở tích phân Gauss 
(3.16), với n = 2, sẽ chính xác khi hàm f là cubic (bậc 3 ), còn ở tích phân 
(3.17), n = 1, sẽ chính xác khi đa thức f bậc nhất, còn n = 3, sẽ chính xác 
khi đa thức f bậc hai. 
Bảng 1: Điểm tích phân cho phần tử tam giác 
theo công thức (3.17) 
n ξi ηi wi 
1 
1/ 3 
1/ 3 
1 
3 
1/ 2 
1/ 2 
0 
1/ 2 
0 
1/ 2 
1/ 3 
1/ 3 
1/ 3 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 18 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Bảng 2: Trọng số và điểm tích phân Gauss – Legendre 
theo công thức (3.16) 
Điểm tích phân iξ Số điểm tích phân r Trọng số wi 
0.0000000000 Một điểm 0000000000.2 
5773502692.0± Hai điểm 0000000000.1 
0000000000.0 Ba điểm 8888888889.0 
7745966692.0± 5555555555.0 
3399810.0± 435 Bốn điểm 6521451548.0 
8611363116.0± 0.3478548451 
0000000000.0 0.5688888889 
5384693101.0± Năm điểm 0.4786286705 
9061798459.0± 0.2369268850 
2386191861.0± 0.4679139346 
6612093865.0± Sáu điểm 0.3607615730 
9324695142.0± 0.1713244924 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 19