Bài giảng Biến đổi năng lượng điện cơ - Bài giảng 3 - Nguyễn Quang Nam

rước tiên
dọc các trục xi, rồi dọc mỗi trục ii. Khi tính tích phân dọc xi, 
W’m = 0 vì fe bằng 0. Khi đó,
Tính đồng năng lượng W’m
( )
( )
( )∫
∫
∫
−+
++
=
Ni
NMNNN
i
M
i
Mm
dixxxiiii
dixxxii
dixxxiW
0
'
21
'
121
0
'
221
'
212
0
'
121
'
11
'
,...,,,,...,,
...,...,,0,...,,
,...,,0,...,0,
2
1
λ
λ
λ
Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013
16
31Bài giảng 3
Tính đồng năng lượng W’m (tt)

 Chú ý các biến dùng để tính tích phân. Với trường hợp 
đặc biệt của hệ 2 cửa điện và 2 cửa cơ,
( ) ( )∫∫ +=
21
0
'
221
'
212
0
'
121
'
11
' ,,,,,0,
ii
m dixxiidixxiW λλ
Và,
1
'
1
dx
W
f me
∂
=
2
'
2
dx
W
f me
∂
=
32Bài giảng 3
 Tính W’m và mômen (do điện sinh ra) của một hệ 3 cửa 
điện và 1 cửa cơ, với các từ thông móc vòng cho trước.
Ví dụ 4.10
( )ψφλ −+= cos31111 MiiL ( )ψφλ −+= sin32222 MiiL
( ) ( )ψφψφλ −+−+= sincos 213333 MiMiiL
( ) ( ) ( )
( ) ( )ψφψφ
ψφλψφλψφλ
−+−+++=
++= ∫∫∫
sincos
2
1
2
1
2
1
,,,,,,0,,,,0,0,
3231
2
333
2
222
2
111
0
'
3
'
3213
0
'
2
'
212
0
'
1
'
11
' 321
iMiiMiiLiLiL
diiiidiiidiiW
iii
m
Đồng năng lượng:
Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013
17
33Bài giảng 3
Mặc dù chỉ có 1 cửa cơ, hệ được mô tả bởi 2 biến cơ học 
(các góc quay). Do đó, các thành phần lực xoắn (mômen) là
Ví dụ 4.10 (tt)
( ) ( )ψφψφ
φφ
−+−−=
∂
∂
= cossin 3231
'
iMiiMi
W
T me
( ) ( )ψφψφ
ψψ
−−−=
∂
∂
= cossin 3231
'
iMiiMi
W
T me
34Bài giảng 3

 Bỏ qua tổn thất trong từ trường, có thể rút ra quan hệ đơn 
giản cho hệ ghép,
Biến đổi năng lượng – Kiểm tra tính bảo toàn
Σ
dt
d
i
λ
vf e
( )ωeT
dt
dWm
Nhớ lại
( )
x
xW
f me
∂
∂
−=
,λ ( )
λ
λ
∂
∂
=
xW
i m
,
Và chú ý rằng
λλ ∂∂
∂
=
∂∂
∂
x
W
x
W mm
22

 Điều kiện cần và đủ để cho hệ là bảo toàn sẽ là
( ) ( )
λ
λλ
∂
∂
−=
∂
∂ xf
x
xi e ,, ( ) ( )
i
xif
x
xi e
∂
∂
=
∂
∂ ,,λ
hay
Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013
18
35Bài giảng 3

 Với hệ này
Hệ thống 2 cửa điện và 1 cửa cơ

 Các điều kiện cho sự bảo toàn là
1
'
1
i
Wm
∂
∂
=λ
dxfdididW em ++= 2211
' λλ

 Các phương trình cho từ thông và lực (do điện sinh ra) là
2
'
2
i
Wm
∂
∂
=λ
x
W
f me
∂
∂
=
'
1
1
i
f
x
e
∂
∂
=
∂
∂λ
2
2
i
f
x
e
∂
∂
=
∂
∂λ
1
2
2
1
ii ∂
∂
=
∂
∂ λλ

 Điều này có thể mở rộng cho các hệ có nhiều cửa điện và 
nhiều cửa cơ.
36Bài giảng 3

 Nhớ lại
Biến đổi năng lượng giữa hai điểm
( ) ( )( )dxxfdxidW em ,, λλλ −+=

 Khi đi từ a đến b trong hình 4.31, độ thay đổi năng lượng 
lưu trữ là
( ) ( ) 


−+=− ∫∫
b
a
b
a
x
x
e
aambbm dxfidxWxW
λ
λ
λλλ ,,
bababam
EFMEFEW
→→→
+=∆
Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013
19
37Bài giảng 3
Biến đổi năng lượng giữa hai điểm (tt)
Với EFE viết tắt cho “energy from electrical” (năng lượng từ 
hệ điện) và EFM viết tắt “energy from mechanical” (năng 
lượng từ hệ cơ).

 Để đánh giá EFE và EFM, cần có một đường đi cụ thể. 
Khái niệm EFM này có ích trong việc nghiên cứu sự biến 
đổi năng lượng theo chu kỳ của thiết bị.
38Bài giảng 3

 Trong 1 chu kỳ, khi hệ thống trở về trạng thái khởi đầu, dWm = 0.
Biến đổi năng lượng trong 1 chu kỳ
( )∫∫∫∫ −+=−= dxfiddxfid ee λλ0

 Từ hình 4.30, idλ = EFE, và –fedx = EFM. Như vậy, trong 1 chu 
kỳ,
∫ ∫ =+ 0EFMEFE 0=+ cyclecycle EFMEFE

 Có thể tính EFE hoặc EFM trong 1 chu kỳ. Nếu EFE|cycle
> 0, hệ thống đang hoạt động như một động cơ, và 
EFM|cycle < 0. Nếu EFE|cycle < 0, hệ thống đang vận hành 
như một máy phát, và EFM|cycle > 0.
hay
Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013
20
39Bài giảng 3

 Các phần tử tập trung của hệ cơ: khối lượng (động 
năng), lò xo (thế năng), và bộ đệm (tiêu tán). Định luật 
Newton được dùng cho phương trình chuyển động.

 Xét khối lượng M = W/g được treo trên lò xo có độ cứng 
K. Ở điều kiện cân bằng tĩnh, trọng lực W = Mg được cân 
bằng bởi lực lò xo Kl, với l là độ giãn của lò xo gây ra bởi 
khối lượng W.
Động học của hệ tập trung – Hệ khối lượng-lò xo
40Bài giảng 3

 Nếu vị trí cân bằng được chọn làm gốc, chỉ có lực sinh ra 
bởi dịch chuyển cần được xem xét. Xét mô hình vật tự do 
trong hình 4.35(c).

 Định luật Newton: Lực gia tốc theo chiều dương của x 
bằng với tổng đại số tất cả các lực tác động lên khối lượng 
theo chiều dương của x.
Động học của hệ tập trung – Hệ khối lượng-lò xo
KxxM −=ɺɺ 0=+ KxxM ɺɺhay
Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013
21
41Bài giảng 3

 Nếu vị trí chưa biến dạng được chọn làm gốc (Hình 4.36), 
khi đó
Hệ khối lượng-lò xo với phần tử tiêu tán
MgKyyM +−=ɺɺ MgKyyM =+ɺɺ
KlMg =
( ) 0=−+ lyKyM ɺɺ

 Chú ý rằng

 Xét khối lượng M được đỡ bởi lò xo (hình 4.37), và một tổ 
hợp lò xo-bộ đệm. f(t) là lực áp đặt. x được đo từ vị trí cân 
bằng tĩnh. Một bộ đệm lý tưởng sẽ có lực tỷ lệ với vận tốc 
tương đối giữa hai nút, với ký hiệu như trong hình 4.38.
42Bài giảng 3
Hệ khối lượng-lò xo với phần tử tiêu tán (tt)
M
x
fK1 fB1f(t)
fK2
( )
( )
dt
dx
BxKxKtf
ffftfxM BKK
−−−=
−−−=
21
21
ɺɺ

 Áp dụng định luật Newton, có thể viết được phương trình 
chuyển động của vật tự do như sau
Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013
22
43Bài giảng 3
 Viết các phương trình cơ học cho hệ trong hình 4.40.
Ví dụ 4.17
M1
x1
K2x
11B xɺ xɺ2B
K1x1
f1(t)
23B xɺ
M2
x2
K3x2
xɺ2B
K2x
f2(t)

 Định nghĩa x2 – x1 = x
( ) ( ) ( ) 1111122122111 xKxBxxBxxKtfxM −−−+−+= ɺɺɺɺɺ
( ) ( ) ( ) 2323122122222 xKxBxxKxxBtfxM −−−−−−= ɺɺɺɺɺ
44Bài giảng 3

 Mô tả động học hoàn chỉnh của hệ thu được từ việc viết 
các phương trình cho phía điện và phía cơ. Các phương 
trình này có liên kết, và tạo ra một hệ các phương trình vi 
phân bậc nhất dùng cho phân tích. Hệ phương trình này 
được coi là mô hình không gian trạng thái của hệ thống.

 Vd. 4.19: Với hệ thống trong hình 4.43, chuyển các 
phương trình điện và cơ về dạng không gian trạng thái. Từ 
thông móc vòng từ vd. 4.8,
Mô hình không gian trạng thái
( ) ( )xR
iN
xRR
iN
gc
22
=
+
=λ ( )xR
iN
Wm
2
22
' =
Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013
23
45Bài giảng 3
Mô hình không gian trạng thái (tt)

 Ở phía hệ điện,
( ) ( ) dt
dx
AxR
iN
dt
di
xR
N
iRvs
0
2
22 2
µ
−+=

 Ở phía hệ cơ,
( )
( )xAR
iN
f
dt
dx
BlxK
dt
xd
M e
2
0
22
2
2
µ
−==+−+
với l > 0 là điểm cân bằng tĩnh của phần tử chuyển động. 
Nếu vị trí của phần tử chuyển động được đo từ vị trí cân 
bằng, các phương trình cơ có biến (x – l) thay vì x.
46Bài giảng 3
Mô hình không gian trạng thái (tt)

 Quan hệ trên có được dưới điều kiện sau,
( ) ( )
0
2
2
=
−
=
−
dt
lxd
dt
lxd

 Mô hình không gian trạng thái của hệ thống là một hệ 3 
phương trình vi phân bậc nhất. Ba biến trạng thái là x, dx/dt 
(hay v), và i. Ba phương trình bậc nhất có được bằng cách 
đạo hàm x, v, và i và biểu diễn các đạo hàm này chỉ theo x, 
v, và i, và ngõ vào bất kỳ của hệ thống. Do đó, các phương 
trình sau cho ta mô hình không gian trạng thái,


Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013
24
47Bài giảng 3
Mô hình không gian trạng thái (tt)
v
dt
dx
=
( )
( ) 





−−−
−
= BvlxK
xAR
iN
Mdt
dv
2
0
221
µ
( ) ( ) 




++−= svv
AxR
iN
iR
xLdt
di
0
2
2 21
µ
với
( )
( )xR
N
xL
2
=
( )32111 ,, xxxfx =ɺ
( )32122 ,, xxxfx =ɺ
( )uxxxfx ,,, 32133 =ɺ
48Bài giảng 3

 Xét phương trình . Nếu ngõ vào u là không 
đổi, khi đó bằng việc đặt , sẽ thu được các phương 
trình đại số . Phương trình này có thể có vài 
nghiệm, và được gọi là các điểm cân bằng tĩnh.

 Trong các hệ thống ít chiều, có thể dùng đồ thị. Trong các 
hệ bậc cao, thường cần dùng các kỹ thuật tính số để tìm 
nghiệm. Chú ý các đại lượng có ký hiệu gạch dưới là các 
vectơ.
Các điểm cân bằng
( )uxfx ,=ɺ
0=xɺ
( )uxf ˆ,0 =
Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013
25
49Bài giảng 3

 Với vd. 4.19, đặt các đạo hàm bằng 0 cho ta
Các điểm cân bằng (tt)
0=ev
Rvi s
e =
( ) ( )
( )
( )xif
xAR
iN
lxK ee
e
,
2
0
22
−==−−
µ
xe có thể tìm bằng đồ thị bằng cách tìm giao điểm của 
–K(x – l) và –fe(ie, x).
50Bài giảng 3

 Hai loại phương pháp: tường minh và ngầm định. 
Phương pháp Euler là dạng tường minh, dễ hiện thực cho 
các hệ thống nhỏ. Với các hệ lớn, phương pháp ngầm định 
tốt hơn nhờ tính ổn định số của nó.

 Xét phương trình
với x, f, và u là các vectơ.

 Thời gian tích phân sẽ được chia đều thành những bước 
∆t (Hình 4.45).
Tích phân số
( )uxfx ,=ɺ ( ) 00 xx =
Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013
26
51Bài giảng 3

 Trong mỗi bước thời gian từ tn đến tn+1, biểu thức tích 
phân được coi là không đổi bằng giá trị ứng với thời điểm 
trước đó tn. Như vậy,
Tích phân số (tt)
( ) ( )∫∫
++
=
11
,
n
n
n
n
t
t
t
t
dtuxfdttxɺ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )[ ]nn
nnnnnn
tutxft
tutxftttxtx
,
,11
∆=
−=− ++
52Bài giảng 3
 Tính x(t) ở t = 0,1, 0,2, và 0,3 giây, biết rằng
Ví dụ 4.21
( ) 22 xtx +−=ɺ ( ) 10 =x
( ) ( ) ( )( )[ ]nnnn txftxx ,1 ∆+=+

 Có thể chọn ∆t = 0.1 s. Công thức tổng quát để tính x(n+1)
là
,...2,1,0=n
( ) 10 =x

 Tại t0
( )( ) ( ) 2120, 200 −=+−=txf
( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) 8,021,01, 0001 =−×+=∆+= txftxx
Biến Đổi Năng Lượng Điện Cơ NQN-TCB, HCMUT, 2013
27
53Bài giảng 3
Ví dụ 4.21 (tt)

 Tại t1 = 0,1 s
( ) 8,01 =x ( )( ) ( ) 344,18,021,0, 211 −=+−=txf
( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) 6656,0344,11,08,0, 1112 =−×+=∆+= txftxx

 Tương tự,
( ) 5681,03 =x
( ) 4939,04 =x
54Bài giảng 3
 Tìm i(t) bằng pp Euler. R = (1 + 3i2) Ω, L = 1 H, và v(t) = 10t V.
Ví dụ 4.22
( )tviR
dt
di
L =+ ( ) ( )tvii
dt
di
=++ 231 ( ) 00 =i

 Đặt i = x, và v(t) = u
( ) ( ) ( )tuxftuxx
dt
dx
,,31 2 =++−= ( ) ( )000 xx ==
( ) ( ) ( ) ( )( )nnnnn tuxtfxx ,,1 ∆+=+ ,...2,1,0=n
( ) 00 =x ( ) 00 =u ( ) ( )( ) 0,, 000 =tuxf ( ) 01 =x⇒
( ) 01 =x ( ) 25,01 =u ( ) ( )( ) ( ) 25,025,0001,, 2111 =++−=tuxf
( ) ( ) ( )( ) 00625,025,0025,012 =+= xx⇒